Алгебра многочленов

По теореме Безу .

 

 

 

2. Достаточность:

Дано: .

Доказать: c – корень .

(т.к. ).

 

.

Замечание:

По схеме Горнера можно решать следующие задачи:

1. Найти частное и остаток от деления многочлена на линейный двучлен.
2. Находить значение многочлена при любом .
3. Определять является ли число c корнем многочлена.

Нахождение  коней многочлена равносильно нахождению его линейных делителей вида .

Кратные корни. Теорема о числе корней многочлена n – степени.

Число c называется k – кратным корнем , если , но не делится .

Кратность корня  многочлена можно определять с помощью схемы Горнера.

Пример: Определить кратность корня

 

 

	1	7	16	8	-16	-16
-2	1	5	6	-4	-8	0

-2 – корень.

 

-2

1

3

0

-4

0

 

-2

1

1

-2

0

 

-2

1

-1

0

 

-2

1

-3

 

 

Теорема:

Если  имеет степень n, то число корней этого многочлена, принадлежащего полю P, не превосходит n.

Доказательство:

     

 

 

 

Пусть – корень .

По следствию из теоремы Безу:

 

Если  не имеет корней над P, то - 1 корень.

Пусть - корень .

 

 

 – корень , т.к.

 

Если  продолжим рассуждения.

Пусть – корень .

 

 – корень  .

m – корень.

 

 

Если бы , то в правой части ст. больше m, получим противоречие. Следовательно, .

Следствие: Нулевой многочлен над любым полем имеет бесконечно много корней.

Алгебраическое  и функциональное равенство многочленов.

Алгебраическое  определение равенства: (1)

 

 

называются  равными, если

На многочлен  можно смотреть как на функцию: (2)

 

 

равны (в  функциональном смысле), если значение .

Теорема:

Алгебраическое  и функциональное определения равенства эквивалентны.

Доказательство:

1) Пусть многочлены равны по (1) определению.

Дано:

       

 

а значение многочлена определено однозначно. Значит , т.к. коэффициенты равны.

2) Пусть  равны по (2) определению.

Дано:

 

: 

 

 является корнем .

 имеет бесконечное  множество корней => - 0-ой

 

Два множества  равны ó их соответствующие коэффициенты равны

.

Приводимые  и неприводимые многочлены над P.

В кольце целых  чисел особую роль играют простые  числа.

В теории многочленов  аналогичную роль играют неприводимые многочлены.

Определение 1: p(x) над P называется непрерывным, если он имеет своими делителями делители вида c и cp(x) и других делителей не имеет.

Определение 2: над P называется приводимым, если кроме делителей c и cf(x) этот многочлен имеет другие делители , .

R:   , 

 

не приводим.

C: кроме

 

приводимый.

Один и  тот же многочлен над одним  полем может оказаться неприводим, а над другим приводим.

 ст. называется приводимым над P, если существуют многочлены над P, что имеет место равенство

 

 

 

 ст. называется неприводимым над P, если в любом его представлении вида

(1) 

один из многочленов  будет иметь 0 степень, другой n.

 

Замечание: Многочлены 0-ой степени играют роль 1. То есть не являются ни приводимыми, ни неприводимыми. Всякий другой многочлен будет либо приводим, либо неприводим.

Свойства:

1. Многочлены 1-ой степени не приводимы над любым числовым полем.

Доказательство:

Дано:

Пусть

 

1 m k

1=m+k ó m=0, k=1 m=1, k=0

m≥0, k≥0

0-ой степени (число)

- 1-ой степени dx+l

• неприводим.

2. Если неприводим над P, то тоже неприводим над этим полем.

Доказательство:

 по свойству делимости  имеют одинаковый делитель, а  т.к.  имеет делитель , те же.

Это свойство позволяет при рассмотрении многочленов  приводимых и неприводимых в разложении многочленов на неприводимые множители  брать со старшим коэффициентом 1.

 

 

3. Если  неприводим над P, а любой , то возможны 2 случая:

1. ;

Доказательство:

Рассмотрим  над P.

 НОД 

, - непр. и .

 

- либо число, либо      

. 

 

4. Произведение двух или нескольких многочленов ó делится на неприводимый многочлен, когда хотя бы 1 из них этот многочлен.

 ó .

Доказательство:

1. Достаточность следует из свойств делимости.
2. Необходимость для случая 2-х сомножителей:

Дано:

По предыдущей теореме .

Или по теореме о взаимно простых многочленах, то .

Для k-1 сомножителя верна.

Для k сомножителей.

Понятие приводимости многочленов является относительным. Это значит, что один и то же многочлен  над одним полем может быть приводим, а над другим нет.

Теорема о разложении многочлена в произведении неприводимых над P множителей.

Теорема:

Всякий , ст. , либо неприводим, либо представим в виде произведения неприводимых множителей:

 – неприводимый многочлен, (1)

причем представление (1) однозначно с точностью до порядка  следования сомножителей и множителей нулевой степени.

1. Существование.

Доказательство: Доказательство существования такого представления проведем методом индукции.

1. над P неприводим (свойство 1), для многочлена 1-ой степени теорема верна.
2. Предположим, что для любого степени , теорема верна.
3. Докажем теорему для многочленов ст. k+1.

Многочлен k+1 степени не является числом, т.к. числами являются только многочлены 0 степени.

Если он неприводим, то теорема  верна.

Если приводим:

ст.

ст.

по предположению эти многочлены удовлетворяют условию теоремы

 

 

 

4. Т.к. А(1) верно и (А(m)) => А(k+1), то на основании принципа мат. индукции это утверждение справедливо для всех многочленов степени n≥1.

2. Единственность.

Разложение  многочлена на неприводимые множители  однозначно, если:

,

.

1. k=l

Метод мат. индукции:

1. разложение из одного сомножителя. Теорема верна.
2. Предположим для любого ст. , разложение однозначно с точностью до порядка следования и множителя 0-ой степени.
3. Докажем единственность разложения для многочленов k+1 степени.

 k+1 степени.

Он разлагается на неприводимые множители по первой части теоремы. Пусть разлагается двумя способами:

,

.

Надо доказать, что .

 

Правая часть , т.к. левая делится, но это возможно, когда .

 

 

Разделим на .

 

Правая и левая части являются разложением многочлена на неприводимый множитель, степень которого ≤ k, а по предположению для таких многочленов теорема справедлива, т.е. разложение однозначно с точностью до порядка следования сомножителей и множителя 0-ой степени, т.е.

,

,

 

 

• Разложение однозначно.

4. А(1) и А(m), () => А(k+1) => А(n) – истина, .

Замечание: В разложении многочлена множители могут повторяться несколько раз:

,

 

.

Если считать, что старший коэффициент у  всех неприводимых многочленов 1, то неприводимый многочлен со старшим коэффициентом 1 называется нормированным.

,

,

.

Последняя формула  – это разложение на нормированные неприводимые множители.

Пример:

Разложим  на неприводимые множители.

- над R.

Над C: .

.

Неприводимый  многочлен  называется k-кратным множителем многочлена , если , но не делится .

Производная многочлена.

Теорема о k-кратном множителе.

.

Первой производной  многочлена называется многочлен вида:

.

Второй производной  многочлена называется производная от первой производной многочлена :

.

 

 

Для многочленов  справедливы правила дифференцирования:

1. ;

.

2. ;

.

3. ;

.

4. ;

.

Теорема о кратном  множителе многочлена :

Если  является k-кратным множителем в разложении многочлена над P, то этот многочлен будет являться множителем (k-1) кратности в разложении его производной .

Доказательство:

 

 

 

 

Покажем, что .

 

 

Сумма .

Многочлен для является (k-1)-кратным.

Теорема о k-кратном корне многочлена :

, c – k-кратный корень многочлена .

Всякое число  с, являющееся корнем k-кратности многочлена , является корнем его производной кратности (k-1).

Доказательство:

Дано: c – k-кратный корень.

 

 

 

 

                                     

 

 

c – корень (k-1) кратности.

Пример: ,            

 

	5	-32	75	-76	28
2	5	-22	31	-14	0

.

с=1 – корень.

Следствие:

1)

    

- могут быть нулями.

.

Произведение  всех общих множителей, входящих в  разложение каждого из них:

.

,

 

произведение  неприводимых множителей, входящих в  разложение хотя бы одного.

Учитывая  теорему о k-кратном множителе многочлена можно доказать следующую теорему.

2) Многочлен  не имеет кратных множителей ó .

Доказательство:

Пусть дан  многочлен   .

.

.