Рассчитаем выборочную дисперсию  для вариационного ряда переменной  «Пятилетняя доходность», приведенного в табл.1 

S²= 16,895 

Рассчитаем  среднее квадратическое отклонение S

для вариационного  ряда переменной «Пятилетняя доходность»

S= 4,11 

10.2.3Коэффициент вариации

     Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к выборочному  среднему, выраженное в процентах. Коэффициент вариации – показатель относительной изменчивости переменной, определяемый выражением (9):

                                                                    CV = 100                        (9)

     Рассчитаем  коэффициент вариации для вариационного  ряда переменной «Пятилетняя доходность», приведенного в табл.1:

CV=(4,11/10,59)*100%=31,81% 

     10.2.4 Межквартильный размах

     Межквартильный  размах BV – это разность между третьим Q₃ и первым Q₁ квартилями выборки и определяется выражением (10):

                                                                   BV = Q₃ - Q₁                                  (10)

     Эта величина позволяет оценить разброс 50% членов ряда и не учитывать влияние  экстремальных элементов (выбросов). Межквартильный размах используют вместо СКО  при наличии в выборке выбросов.

     Первый  Q₁ и третий Q₃ квартили определяются аналогично определению медианы.

     Первый  квартиль выборки Q₁ – это значение переменной в середине первой половины вариационного ряда данных, т.е. первый квартиль разделяет пополам (т.е. по 25%) первую половину  вариационного ряда.

     Третий  квартиль выборки Q₃ – это значение переменной в середине второй половины вариационного ряда данных, т.е. третий квартиль разделяет пополам (т.е. по 25%) вторую половину  вариационного ряда.

     Рассчитаем  межквартильный размах для вариационного  ряда переменной «Пятилетняя доходность», приведенного в табл.1. Первый и третий квартили в табл.1 выделены затенением серого цвета.

     BV = 12,9-9= 3,9

     Межквартильный размах BV = 3,9 

     10.3 Показатели формы распределения

     Показатели  формы распределения, как и показатели вариации, также полезны для понимания  природы распределения переменной. Форму распределения оценивают  с помощью двух показателей:

• Асимметрия  (Srewness);
• Эксцесс (Kurtosis).

1. Асимметрия

     Распределение переменной может быть симметричным или асимметричным (скошенным). При  симметричном распределении частоты  любых двух значений переменной, которые  расположены на одном и том  же расстоянии от центра распределения, одинаковы. Равны между собой также и значения среднего арифметического, медианы и моды. При этом центральный момент третьего порядка равен нулю, т.е. μ₃ = = 0. Кривая нормального распределения, изображенная на рис.1 красным цветом, является симметричной, т.е. μ₃ = 0. 

     Распределение асимметрично, если значения переменной, равноудаленной от среднего, имеют  разную частоту. При этом центральный  момент третьего порядка не равен  нулю, т.е.  μ₃= ≠ 0. Для оценки асимметрии используют нормированный момент третьего порядка, т.е. r₃ = μ₃/ S³.

     При r₃ > 0 говорят о правосторонней или положительной асимметрии распределения, В этом случае среднее арифметическое переменной больше медианы. Приведенная на рис.1 гистограмма распределения имеет положительную асимметрию, т.к. = 10,59 > Me=10,1 Проведенные с помощью программы Statistica расчет дает значение r₃ = -1,0227.

     При r₃ < 0 говорят о левосторонней асимметрии распределения, В этом случае среднее арифметическое переменной меньше медианы.

     10.3.2 Эксцесс

     Эксцесс – это показатель относительной крутости кривой вариационного ряда (островершинности или плосковершинности) по сравнению с кривой нормального распределения. Эксцесс нормально распределенной случайной величины равен нулю.

     Для оценки эксцесса используют центральный момент четвертого порядка μ₄= В качестве показателя эксцесса принимается показатель Ex, определяемый соотношением (11):

                                              Ex=                                               (11) 

     Если  Ex > 0, то ряд островершинный, если Ex < 0, то ряд плосковершинный.

     Приведенная на рис.1 гистограмма распределения  имеет положительный эксцесс  Ex = 3,049, т.е. гистограмма более островершинная, чем кривая нормального распределения. 
 

Применение  описательных статистик для сравнения различных совокупностей

     Используем  рассмотренные выше статистики для  сравнения совокупностей «Риск» и «5летняя доходность». В табл.3 приведены  сгруппированные данные, используемые для сравнения.

     В качестве зависимой переменной выберем переменную «5летняя доходность», для которой и будут рассчитываться описательные статистики, обеспечивающие возможность сравнения независимой переменной «Риск», имеющей следующие уровни:

1. Очень низкий
2. Низкий
3. Средний
4. Высокий
5. Очень высокий.

     Т.е. по описательным статистикам определим какие группы риска наиболее предпочтительны с точки зрения пятилетней доходности.

     В качестве параметров сравнения используем следующие показатели переменной «5летняя доходность» для каждого уровня переменной «Риск»:

     n – объем выборки;

       – выборочное среднее;

     Me – медиана;

     X_min – минимальная доходность;

     X_max – максимальная доходность;

     R – размах вариации;

     S² – дисперсия;

     S – среднее квадратическое отклонение;

     CV – коэффициент вариации;

     Q₁ – первый квартиль;

     Q₃ – третий квартиль;

     BV – межквартильный размах;

     r₃ - асимметрия;

     Ex – эксцесс.

Таблица 14 - Риск х 5-летняя доходность

 

  Результаты  расчетов показателей переменной «5летняя доходность» для каждого уровня переменной «Риск» с использованием программы Statistica приведены в табл. 15. 
 
 
 
 
 

Таблица 15 - Результаты расчетов показателей переменной «5летняя доходность»

 
 

  По  результатам расчетов можно сделать  следующие выводы:

     1  Фонд с очень низким уровнем риска характеризуется самой высокой средней доходностью с минимальной относительной изменчивостью. Этот фонд является наиболее привлекательными для вложения временно свободных средств. Однако малый объем выборки не дает 100% гарантий.

     2  Фонды с очень высоким уровнем  риска характеризуются самой низкой средней доходностью при максимальной относительной изменчивости и малым объемом выборки. Поэтому эти фонды являются наименее привлекательными для вложения временно свободных средств.

     3. Фонды с низким уровнем риска характеризуются высокой средней доходностью при максимальной относительной изменчивости. Поэтому эти фонды являются привлекательными для вложения временно свободных средств. Достаточно большой объем выборки дает уверенность в результатах.

     3  Наиболее привлекательными для вложения временно свободных средств являются фонды с низкими, средними и высокими рисками. Они имеют сравнительно высокие значения средних выборочных значений пятилетней доходности и невысокие значения относительной изменчивости. Достаточно большие объемы выборок дают уверенность в результатах проведенных вычислений. 

11. Разведочный  анализ качественных переменных  с помощью кросстабуляции.

 

     Разведочный анализ – это предварительный  анализ всего массива информации с целью получения предварительной  информации. Одним из методов разведочного анализа неметрических переменных является кросстабуляция

     Кросстабуляция - это процесс объединения неметрических  переменных так, что каждая ячейка (клетка) в построенной таблице представляется единственной комбинацией значений или уровней табулированных неметрических переменных. Количество ячеек суммарной частотной таблицы равно произведению уровней всех исследуемых переменных. Таким образом, кросстабуляция позволяет совместить частоты появления наблюдений на всех уровнях рассматриваемых факторов.