Из  частотной таблицы видно, что 38 взаимных фонда, т.е 40%, имеют доходность в диапазоне от 9,525% до 12,65%, 22 взаимных фонда, т.е. примерно 23%, имеют доходность в диапазоне от 6,4% до 9,525 %.

     Наглядное представление  о распределении  фондов под доходности дает гистограмма  приведенная ниже. 

     

Рис. 5. Гистограмма «Пятилетняя доходность»

10. Статистики, связанные с распределением частот.

     Ряды  распределения, частотные таблицы  и гистограммы легко читаются и содержат основную информацию, но иногда такая информация слишком детализована. Исследователь вынужден обобщать ее с помощью описательных статистик, которые являются более компактными и позволяют легче сравнивать различные совокупности. Обычно используют три группы статистик, связанных с распределением частот:

1. Показатели центра распределения
2. Показатели вариации (изменчивости)
3. Показатели формы распределения.

10.1 Показатели центра распределения

     Показатели  центра распределения характеризуют  положение центра распределения, вокруг которого концентрируются данные, т.е. показывают центральную тенденцию распределения. Основными показателями центра распределения являются:

• Среднее арифметическое, выборочное среднее (Mean);
• Медиана (Median);
• Мода (Mode) .

     10.1.1 Среднее арифметическое или выборочное среднее

     Среднее арифметическое или выборочное среднее – это наиболее часто используемый показатель, характеризующий положение центра распределения. Он используется для оценки среднего значения в случае, если данные собраны с помощью интервальной и относительной шкалы. Среднее арифметическое простое определяется соотношением (1):

                                                        (1)

где n – объем выборки или число членов ряда, i-го элемента выборки или i-го члена ряда,  - сумма значений всех элементов выборки или сумма значений всех членов ряда.

     Рассчитаем  выборочное среднее простое для  вариационного ряда переменной «Пятилетняя  доходность», приведенного в табл.12

 
 

      =10,77

     В случае представления данных переменной «5 летняя доходность» в виде частотной таблицы (см. табл. 2), определяют среднюю арифметическую взвешенную по формуле (2):

      =                                      (2)

где K - число интервалов группирования, - частота j-го интервала группирования,

  – середина j-го интервала группирования, определяемая соотношением (3):

                                                            (3)

Определим, для примера середину 1-го интервала  группирования из табл.2:

     

Табл.13. Частотная таблица переменной «5 летняя доходность»

 

Определим среднюю арифметическую взвешенную для данных табл.13:

 

Средняя арифметическая взвешенная является приближенной оценкой средней арифметической. В нашем случае средняя арифметическая взвешенная оказалась на 1,66% меньше, чем средняя арифметическая простая. Если допустимая погрешность расчетов превышает 1-1,5%, то необходимо использовать в расчетах точное значение средней арифметической взвешенной – 10,59. 

10.1.2 Медиана

Медиана выборки – это значение переменной в середине ряда данных, расположенных  в порядке возрастания (или убывания). Т.е. одна половина всех значений ряда меньше медианы, а вторая половина всех значений ряда больше медианы. Положение медианы определяется ее номером

n_m , которое определяется соотношением (4):

Медиана является основным показателем центра распределения для данных, получаемых по порядковой шкале (т.е. категорийных, атрибутивных данных) и для метрических данных, содержащих выбросы (т.е. сильно отличающиеся данные).

Если  число членов ряда является нечетным числом, например n = 97, то медианой будет значение 49 члена ряда. При этом 48 членов, стоящих перед 49 членом, будут иметь значения меньше или равные значению 49 члена, а 48 членов, стоящих после 49 члена, будут иметь значения больше или равные значению 49 члена.

Me =11,1 

10.1.3 Мода

Мода  – есть значение переменной, которое  чаще всего встречается в выборочном распределении.

Мода  является хорошим показателем центра распределения, если переменная имеет  категорийный характер, т.е. данные можно  разбить на категории.

Мода  является единственным показателем центра распределения для данных, полученных по номинальной шкале.

Для данных, полученных по интервальной или относительной  шкалам, мода плохо отражает положение  центра распределения и используется сравнительно редко.

На рис.1 приведена гистограмма переменной «5- летняя доходность» (т.е. количественные данные), мода которой составляет Mo = 11,1

На рис.2 приведена гистограмма переменной «Вид» (т.е. категорийные данные), из которой  видно, что модой является значение «Крупный капитал», т.к. его частота равна 64 и превышает значения для малого (частота равна 14) и среднего (частота равна 14) капитала.

Рис. 6 

0

Рис. 7 

2. Показатели  вариации (изменчивости)

Изменчивость  можно определить как степень различий между отдельными значениями. Показатели вариации показывают меру разброса (изменчивости) значений переменной. Показатели вариации вычисляют на основании количественных данных, получаемых с помощью интервальных и относительных шкал.  Используют следующие показатели вариации:

• Размах вариации (Range);
• Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - СКО

 (Variance, Standard deviation- Std.Dev);

• Коэффициент вариации (Coefficient of variation);
• Межквартильный размах (Interquartile range).

 

10.2.1 Размах вариации (Range);

Размах  вариации R есть разность между наибольшим и наименьшим значениями переменной в вариационном ряду.

                                             R = X_max – X_min                                             (6)

Для переменной «Пятилетняя доходность» (см. табл.1) получаем:

R = 18,9 –(-6,1) = 25% 

Размах  вариации позволяет измерить общий  разброс. Хотя этот показатель является простой оценкой вариации, его  недостаток заключается в том, что  он никак не учитывает распределение данных между минимальным и максимальным значениями. 

     10.2.2 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение 

     Дисперсия S² и среднее квадратическое отклонение S являются наиболее часто используемыми показателями вариации, т.к. они оценивают степень вариации данных относительно среднего значения. Выборочная дисперсия определяется выражением (7):

                                (7)

     Обозначения в формуле (7) такие  же, как и в формуле (1).

     Среднее квадратическое отклонение (СКО) определяется выражением (8):

                                                               S=                                                   (8)