В истории математики традиционно выделяются несколько
этапов развития математических знаний:
- Формирование понятия геометрической
фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств
однородных объектов. Появление счёта
и измерения, которые позволили сравнивать
различные числа, длины, площади и объёмы.
- Изобретение арифметических
операций. Накопление эмпирическим путём
(методом проб и ошибок) знаний о свойствах
арифметических действий, о способах измерения
площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом
направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийскиематематики древности.
- Появление в древней Греции дедуктивной математической
системы, показавшей, как получать новые
математические истины на основе уже имеющихся.
Венцом достижений древнегреческой математики
стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта
математической строгости в течение двух
тысячелетий.
- Математики стран
ислама не только
сохранили античные достижения, но и смогли
осуществить их синтез с открытиями индийских
математиков, которые в теории чисел продвинулись
дальше греков.
- В XVI—XVIII веках
возрождается и уходит далеко вперёд европейская
математика. Её концептуальной основой
в этот период являлась уверенность в
том, что математические модели являются
своего рода идеальным скелетом Вселенной[1], и поэтому открытие математических
истин является одновременно открытием
новых свойств реального мира. Главным
успехом на этом пути стала разработка
математических моделей зависимости переменных
величин (функция) и общая теория движения
(анализ бесконечно
малых). Все естественные
науки были перестроены на базе новооткрытых
математических моделей, и это привело
к колоссальному их прогрессу.
- В XIX—XX веках становится
понятно, что взаимоотношение математики
и реальности далеко не столь просто, как
ранее казалось. Не существует общепризнанного
ответа на своего рода «основной вопрос
философии математики»[2]: найти причину «непостижимой
эффективности математики в естественных
науках»[3]. В этом, и не только в этом,
отношении математики разделились на
множество дискутирующих школ. Наметилось
несколько опасных тенденций[4]: чрезмерно узкая специализация,
изоляция от практических задач и др. В
то же время мощь математики и её престиж,
поддержанный эффективностью применения,
высоки как никогда прежде.
Помимо большого исторического
интереса, анализ эволюции математики представляет
огромную важность для развития философии и методологии математики. Нередко знание
истории способствует и прогрессу конкретных
математических дисциплин; например, древняя китайская задача
(теорема) об остаткахсформировала
целый раздел теории чисел.