Шпаргалка по "Концепциям современного естествознания"

Динамическая  система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюция во времени которых однозначно определяется начальным состоянием.

Динамическая система  представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или  явления.

Динамическая система  также может быть представлена как  система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое.

Различают системы  с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описываетсяпоследовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с  непрерывным временем) является по существу синонимом автономной системы дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем — это  исследование кривых, определяемых дифференциальными  уравнениями. Сюда входит разбиение  фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения  этих траекторий: поиск и классификация  положений равновесия, выделение  притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репелеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы).

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию  динамической системы с инвариантной мерой.

Современная теория динамических систем является собирательным названием  для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО

геометрический  образ, представленный множеством всевозможных состояний физ. системы, наделённых естеств. понятием близости.

Состояние системы  в нек-рый момент времени изображается в виде точки в этом пр-ве. Так, напр., состояние груза, вертикально  подвешенного на пружине, определяется растяжением пружины s и скоростью  груза v. Множество его состояний, представленных в виде точек с  координатами s и v, образуют плоскость, к-рая и явл. двухмерным Ф. п. рассматриваемой  системы. При этом близким состояниям груза на пружине отвечают близкие  точки фазовой плоскости, и наоборот. Ф. п. физ. маятника, состояния к-рого определяются углом j и угл. скоростью j, явл. двухмерным (поверхностью цилиндра). Более сложные физ. системы могут иметь многомерные и бесконечномерные Ф. п. Бесконечномерное Ф. п. имеют распределённые физ. системы, такие, как струна, мембрана, упругая среда, эл.-магн. поле и т. д.

При изменении состояния  системы точка, изображающая это  состояние в Ф. п., описывает нек-рую  кривую, наз. фазовой траекторией. Через  каждую точку Ф. п. проходит, вообще говоря, одна, и только одна, фазовая  траектория, поэтому Ф. п. разбивается  на непересекающиеся фазовые траектории, соответствующие всевозможным состояниям системы. Этот геом. образ — Ф. п., заполненное непересекающимися  фазовыми траекториями, наз. фазовым  портретом системы. Его можно  трактовать как изображение течения  нек-рой воображаемой фазовой жидкости, отдельные ч-цы к-рой движутся по фазовым траекториям.

Представлением  о Ф. п. широко пользуются в статистической физике и колебаний и волн теории. Для статистич. физики важнейшим  является св-во сохранения фазового объёма при течении фазовой жидкости, её несжимаемость, имеющая место  для консервативных систем; для теории колебаний — фазовая трактовка  отд. движений, их св-в и зависимости  от параметров. Так, состояние равновесия изображается фазовой траекторией, состоящей из одной точки. Периодич. движение изображается замкнутой фазовой  траекторией, обегаемой фазовой  точкой за время, равное периоду изменения  состояния физ. системы. Св-ву устойчивости состояния равновесия или периодич. движения физ. системы соответствует  определённая картина поведения  фазовых траекторий, близких к  изображающим эти движения фазовым  траекториям: близкие фазовые траектории при t®? от них не удаляются.

Матем. изучение фазовых  портретов, как геом. изображения  всех решений дифференц. ур-ний, описывающих  состояние физ. системы, было начато в 19 в. А. Пуанкаре. Многие физ. колебательные  явления — автоколебания, мягкий и жёсткий режимы возбуждения  колебаний, захватывание, затягивание  и синхронизация, удвоение периода  и модуляция автоколебаний —  получили адекватное матем. описание на фазовых портретах. Соответствующая  матем. дисциплина наз. качественной теорией  дифференц. ур-ний (или более общо — теорией динамич. систем).

Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка.^[1] Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, которое может иметь бо́льшую размерность.

В физике колебаний на оси абсцисс фазовой плоскости откладывается значения параметра x, а на оси ординат – первая производная x по времени (что, очевидно, связывает ось ординат с импульсом. См. Фазовое пространство).^[2]

Каждая точка фазовой  плоскости отражает одно состояние  системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой.^[3] Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек. Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени. Полная совокупность различных фазовых траекторий — это фазовый портрет. Он даёт представление о совокупности всех возможных сочетаний системы и типах возможных движений в ней. Фазовый портрет удобен для рассмотрения движений макроскопических и квантовых частиц

Динами́ческий ха́ос — явление в теории динамических систем, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами.

Причиной появления хаоса является неустойчивость (чувствительность) по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы.

Так как начальное  состояние физической системы не может быть задано абсолютно точно (например, из-за ограничений измерительных  инструментов), то всегда необходимо рассматривать  некоторую (пусть и очень маленькую) область начальных условий. При  движении в ограниченной области пространства экспоненциальная расходимость с течением времени близких орбит приводит к перемешиванию начальных точек по всей области.

После такого перемешивания  бессмысленно говорить о координате частицы, но можно найти вероятность  её нахождения в некоторой точке.

Примерами хаотических  динамических систем могут являться подкова Смейла и преобразование пекаря.

Обратным, в некотором  смысле, к динамическому хаосу  является динамическое равновесие и явления гомеостаза.

Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух),периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Странный аттрактор — это аттрактор, имеющий два существенных отличия от обычного аттрактора: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция.

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической: прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом, отличая его от стохастического хаоса, возникающего в стохастических динамических системах. Это явление также называют эффектом бабочки, подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.

Среди странных аттракторов  встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца.