Шпаргалка по "Концепциям современного естествознания"

ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. 

База  топологии (базис топологии, открытая база, база топологического пространства) — семейство открытых подмножеств топологического пространства X такое, что каждое открытое множество в X является объединением элементов базы. Понятие базы — одно из основных в топологии. Во многих вопросах, относящихся к открытым множествам некоторого пространства, достаточно ограничиться рассмотрением элементов его базы. Топологическое пространство может иметь много баз, наибольшую из которых образует семейство всех открытых множеств.

Часто базу топологии  предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например на метрическом пространстве, топология определяется через базу образованную всеми открытыми шарами.

Гомеоморфи́зм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) в топологии — это взаимно-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.

Гомото́пия — непрерывное семейство отображений 

В геометрии и топологии замыка́ние подмножества топологического пространства — это пересечение всех замкнутых надмножеств данного подмножества. Эквивалентно, замыкание подмножества — это совокупность всех его точек прикосновения.

Многообра́зие — топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство  . Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. Возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например карту полушария, но невозможно составить единую (без разрывов) карту всей её поверхности.

Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Тем не менее, первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века.

Обычно рассматриваются  так называемые гладкие многообразия, то есть те, на которых есть выделенный класс «гладких» функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того, чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — риманова метрика.

В классической механике основным многообразием является фазовое пространство. В общей теории относительности четырёхмерное псевдориманово многообразие используются как модель для пространства-времени.