Инвестиционные риски

Рассмотрим как вычисляется  стандартное отклонение портфеля. Для портфеля, состоящего из трех ценных бумаг (ОФЗ 27018, ОФЗ 45001, ОФЗ 46001), формула выглядит следующим образом:

 

s = [ ] , (2.1)

 

где sij обозначает ковариацию доходностей ценных бумаг i и j.

Ковариация – это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных. То есть это мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ценных бумаг зависят друг от друга. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем ожидаемая, доходность другой ценной бумаги. Отрицательная ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной ценной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходностью другой ценной бумаги. Относительно небольшое или нулевое значение ковариации показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба либо отсутствует вообще.

Очень близкой к ковариации является статистическая мера, известная как  корреляция. На самом деле, ковариация двух случайных переменных равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

s = p s s , (2.2)

где pij (греческая буква р) обозначает коэффициент корреляции между доходностью на ценную бумагу i и доходностью на ценную бумагу j. Коэффициент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных.

Пусть ОФЗ 27018 является ценной бумагой под номером один, ОФЗ 45001 – под номером два и ОФЗ 46001 – под номером три.

Коэффициент корреляции между  первой и второй ценной бумагой составил р12 = 0,994, р13 = 0,990, р23 = 0,999.

Коэффициент корреляции всегда лежит в интервале между -1 и +1. Если он равен –1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если +1 – полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремальными значениями. Все три бумаги имеют достаточно высокий коэффициент корреляции, близкий единице. Данный факт дает основания предположить, что все три бумаги практически одинаково реагируют на изменение рыночной ситуации.

Чтобы найти ковариации ценных бумаг, нужно рассчитать их стандартные  отклонения. При расчетах используется база данных с января по май 2003 года. Проведя расчеты получили следующие результаты: s1 = 3,72, s2 = 4,34, s3 = 6,27. Отсюда можно сделать вывод, что дюрация облигации прямо пропорциональна стандартному отклонению, т.е. облигация, обладающая большей дюрацией, имеет больший риск.

Зная стандартные отклонения и коэффициенты корреляции ценных бумаг  i и j, можем найти их ковариацию. Так расчеты показали, что s12 = 15,88, s13 = 22,83, s23 = 25,35. Найдем дисперсию для каждой ценной бумаги, которая понадобится для составления ковариационоой матрицы. Дисперсия для первой ценной бумаги равна s11 = 1 * s1 * s1 = s1 = 13,69. Аналогично, s22 = 17,58, s33 = 35,88. В результате получаем на выходе следующую ковариационную матрицу.

 

Таблица 2.1. Ковариационная матрица

Наименование ценной бумаги	27018	45001	46001
27018	13,69	15,88	22,83
45001	15,88	17,58	25,35
46001	22,83	25,35	35,88

 

Все необходимое для расчета  риска портфеля мы получили. Находим стандартное отклонение портфеля: sр = [Х1Х1s11 + Х1Х2s12 + Х1Х2s13 + Х2Х1s21 + Х2Х2s22 + Х2Х3s23 + Х2Х1s31 + Х3Х2s32 + Х3Х3s33] = [(0,25*0,25*13,69) + (0,25*0,45*15,88) + (0,25*0,3*22,83) + (0,45*0,25*15,88) + (0,45*0,45*17,58) + (0,45*0,3*25,35) + (0,3*0,25*22,83) + (0,3*0,45*25,35) + 0,3*0,3*35,88)] = [21,49] = 4,64%.

В портфельной теории под риском понимается возможность отклонения, как положительного, так и отрицательного, фактической доходности актива от его ожидаемой доходности. Иными словами, риск здесь рассматривается как неопределенность результата инвестирования, а не только как возможность понести убытки или недополучить прибыль. Численно риск оценивается по величине среднего квадратического (стандартного) отклонения доходности актива:

 

 (2.3)

 

где – ожидаемая доходность инвестиционного актива; r_i - доходности инвестиционного актива при различных вариантах; p_i – вероятности соответствующих вариантов; n – количество вариантов.

Ожидаемая доходность инвестиционного  актива находится по следующей формуле:

 

 (2.4)

 

где r_i - доходности инвестиционного актива при различных вариантах; p_i - вероятности соответствующих вариантов; n – количество вариантов.

Также измерителем риска является фактор «бета». Коэффициент «бета» бумаги показывает ее чувствительность к колебаниям рынка в будущем. Для оценки «беты» должны быть учтены всевозможные источники подобных колебаний. Затем необходимо оценить, как отреагирует цена бумаги на каждое из этих изменений, а также вероятность такого изменения.

«Бету» бумаги можно интерпретировать как наклон графика рыночной модели. Если этот коэффициент был постоянным от периода к периоду, то «историческую бету» (historical beta) бумаги можно оценить путем сопоставления прошлых данных о соотношении доходности рассматриваемой бумаги и доходности рынка. Статистическая процедура для получения таких апостериорных (прошлых) значений коэффициента «бета» называется простой линейной регрессией (simple linear regression), или методом наименьших квадратов. Как становится ясно, истинное значение коэффициента «бета» ценной бумаги невозможно установить, можно лишь оценить это значение.

Модели, рассматриваемые  в финансовом анализе, связывают  случайную величину r с величинами, которые объективно характеризуют финансовый рынок в целом. Такие величины называются факторами. В зависимости от постановки задачи факторы могут считаться как случайными, так и детерминированными, т.е. точно известными величинами.

В самом простом случае выделяется один фактор. Тогда статистическая модель имеет вид:

 

. (2.5)

 

Здесь и – постоянные (неизвестные параметры), - случайная величина, удовлетворяющая условию: , где – условное математическое ожидание случайной величины относительно F. Из этого предположения следует, что и безусловное математическое ожидание величины также равно нулю. Коэффициент показывает чувствительность доходности ценной бумаги к фактору F. Коэффициент называют сдвигом.

Одна из самых распространенных моделей использует в качестве фактора F доходность рыночного индекса.

Рыночная модель (market mode) – это один из путей отражения  взаимосвязи доходности акции за определенный период с доходностью  за тот же период акции на рыночный индекс:

 

r_i = a_iI + b_iI r_I + e_{iI, (2.6)}

 

где r_i – доходность ценной бумаги i за данный период; r_I - доходность на рыночный индекс I за этот же период; a_iI - коэффициент смещения; b_iI - коэффициент наклона; e_iI - случайная погрешность.

Как видно из выражения, при  условии положительности коэффициента наклона, чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше доходность ценной бумаги. «Бета» коэффициент исчисляется следующим образом:

 

 (2.7)

 

где s_iI, обозначает ковариацию между доходностью акции i и доходностью на рыночный индекс, а s_I² обозначает дисперсию (квадрат стандартного отклонения) доходности на индекс.

Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией и обозначенный как s²_i, состоит из двух частей: (1) рыночный (или систематический) риск (market risk); (2) собственный (или несистематический) риск (unique risk). Таким образом, s²_i равняется следующему выражению:

 

 (2.8)

 

где s²_i обозначает дисперсию доходности на рыночный индекс, b²_iIs²_i - рыночный риск ценной бумаги i, а s² _ei – собственный риск ценной бумаги i, мерой которого является дисперсия случайной погрешности e_iI.

В рыночной модели общий  риск портфеля, измеряемый дисперсией его доходности выражается следующим  образом:

 

, (2.9)

 

где , .

В общем случае можно заметить, что чем более диверсифицирован портфель (т.е. чем большее количество ценных бумаг в него входит), тем меньше каждая доля Хi. При этом значение не меняется существенным образом, за исключением случаев преднамеренного включения в портфель ценных бумаг с относительно низким или высоким значением «беты». Так как «бета» портфеля является средним значением «беты» ценных бумаг, входящих в портфель, то нет оснований предполагать, что увеличение диверсификации портфеля вызовет изменение «беты» портфеля и, таким образом, рыночного риска портфеля в какую-либо сторону. Таким образом, можно утверждать, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска.

Совершенно другая ситуация возникает при рассмотрении собственного риска портфеля. Если предположить, что во все ценные бумаги инвестировано одинаковое количество средств, то доля Х составит 1/N. Если портфель становится более диверсифицированным, то количество бумаг в нем (равное N) становится больше. Это также означает, что величина 1/N уменьшается, что приводит к уменьшению собственного риска портфеля. Можно сделать следующее заключение: диверсификация существенно уменьшает риск.

Другим фактором, часто  используемым в линейных регрессионных  моделях, является доходность некоторого выделенного портфеля ценных бумаг, который называется касательным. Каждому портфелю соответствует случайная величина rp – доходность.

 

 (2.10)

 

 – риск портфеля.

Оптимальной для любого инвестора  стратегией в этой модели оказывается  инвестирование части средств в  касательный портфель, а части  – в безрисковые облигации. Либо наоборот: получение займа для дополнительного инвестирования в касательный портфель. Чем меньше будет доля средств, вложенных в рисковые активы по отношению к безрисковым, тем меньше будет величина риска.

Очевидно, что доходности ценных бумаг, обращающихся на рынке, можно  рассматривать в зависимости  от времени. При этом будут зависеть от времени числовые характеристики случайной величины rp. Так же, вообще говоря, будут зависеть от времени и значения параметров и .

Модель финансового рынка  называется равновесной, если числовые характеристики входящих в нее случайных величин постоянны во времени. Экономический смысл подобного предположения очевиден: рынок считается «устоявшимся», сбалансированным. В этом случае можно получить некоторые конкретные результаты, существенно упрощающие ситуацию.

Будем рассматривать модель зависимости доходности ценной бумаги от доходности касательного портфеля (предполагается, что безрисковая ставка получения и предоставления займов для всех участников рынка одна и та же и равна rf). Если модель равновесная, т.е. рынок сбалансированный, то касательный портфель удовлетворяет следующему свойству: доля каждой ценной бумаги в нем соответствует ее относительной рыночной стоимости. Такой портфель называется рыночным и определяется однозначно. Таким образом, рассматривая равновесные модели, мы будем отождествлять понятия касательного и рыночного портфеля, доходность которого обозначим rM.

Итак, регрессионная модель для i-й ценной бумаги имеет вид:

 

 (2.11)

 

Оказывается, в равновесном  случае имеет место следующая  теорема: «для всех ценных бумаг, обращающихся на рынке, коэффициент , один и тот же и равен безрисковой ставке».

 

Имеем (2.12)

 

Единственным параметром, характеризующим ценную бумагу, является ее чувствительность «бета» к рыночному  портфелю.

Следующим методом является модель оценки финансовых активов (CAPM).

Уравнение называется рыночной линией ценной бумаги. Уравнение называется уравнением модели оценки финансовых активов. Для ее использования необходимо получить оценки параметров касательного портфеля – ожидаемой доходности и риска, а также ковариаций доходностей ценных бумаг, входящих в р, с доходностью рыночного портфеля.

Практическое значение модели оценки финансовых активов заключается  в том, что она может служить  для выявления неверно оцененных  бумаг в неравновесной ситуации, т.е. в ситуации несбалансированного рынка. Так, если доходность ной бумаги выше той, которая задается уравнением, то бумага является переоцененной, в противоположном случае – недооцененной.

Однофакторные модели во многих случаях являются вполне адекватными, однако чаще всего они оказываются  слишком упрощенными и тогда  приходится рассматривать зависимость  доходности ценной бумаги от нескольких (т) факторов, т.е. линейные регрессионные модели вида:

 

 (2.13)

 

Здесь и к – параметры, – факторы, определяющие состояние рынка (i – номер наблюдения).