Параметрична оптимізація економічних процесів

Автоматизовані системи управління є людино-машинними системами. Поведінка і ефективність роботи таких систем багато в чому залежать від рівня закладених в них інформаційних технологій, але, мабуть, в більшій мірі - від людей, що приводять ці технології в дію, тобто від рівня їх кваліфікації і знання можливостей цих технологій.

В даний час велика увага надається навчанню користувачів застосуванню сучасних інформаційних технологій (основні поняття, об'єктний орієнтовані і офісні технології, основи інформаційних систем і телекомунікацій), а при підготовці фахівців для роботи в цій області - вивченню інформаційних систем, математичних технологій, фундаментальної інформатики і мов програмування.

Ефективність роботи людино-машинних систем значно підвищиться, якщо їх інформаційні технології, разом з виконанням рутинних обліково-розрахункових операцій, операцій по інтегрованій обробці даних, здійснюватимуть багатоваріантні розрахунки з вибором якнайкращого, оптимального варіанту, з погляду деякого критерію ефективності.

До задач, вирішуваних в рамках інформаційних технологій оптимальних рішень, відносяться задачі перспективного планування, прогнозування розвитку і спеціалізації підприємств, оптимального розподілу ресурсів, розробки виробничої програми, прикріплення постачальників до споживачів і багато інших. Використовування сучасних інформаційних технологій оптимальних рішень на рівні підприємств, за оцінками фахівців, дозволяє досягти 5-7 % економії капітальних вкладень і зниження на 2-3 % собівартості продукції в порівнянні з рішеннями, прийнятими традиційними методами. При оптимізації структури вироблюваної продукції і її розподілу між споживачами з метою досягнення максимального ефекту на рівні країни економія складає до 10 -15% капітальних вкладень і 4-5 % витрат виробництва.

2.1.2. Формулювання задачі  оптимізації

Оптимізація параметрів кібернетичних СЕС полягає в пошуку таких їхніх значень, які б  найбільшою мірою задовольняли обраному критерію корисності. Вибір критерію в переважній більшості випадків являє собою найбільш складну і відповідальну задачу, що визначає в кінцевому рахунку якість рішення в цілому.

Характеристики СЕС Yj є частковими показниками або частковими критеріями.. Природа їх суперечлива в тому, що поліпшення одних показників може спричинити за собою погіршення інших. Отже, оптимальним буде деяке компромісне рішення, що забезпечує найбільше раціональне сполучення часткових показників якості. При цьому, на часткові показники j, можуть накладатися обмеження Y1j, що забезпечують пошук тільки таких рішень, у котрих (знак означає "краще").

У даному випадку оптимізація проводиться з використанням так званої вагової функції, а оптимальне рішення визначається шляхом пошуку максимуму цієї функції в просторі параметрів х1,…, хп. Визначимо задачу оптимізації в загальному вигляді з використанням векторного запису.

Вагова функція (функція цілі)

,                                                             (2.1)

Допустима область рішень D являє собою множину точок із n- вимірного евклідова простору параметрів Rn

                                     (2.2)

де - вектор, компонентами котрого є нормовані часткові показники якості, що обчислюються за формулами, які враховують необхідний напрямок поліпшення Yj;

- для показників, які збільшуються у процесі пошуку;

  - для показників, які зменшуються у процесі пошуку;

- або обмеження, або значення  j- го показнику, обчисленого в початковій точці пошуку;

- вектор вагових коефіцієнтів, що задають ваги відповідних показників , у функції ,

, - прямі обмеження параметрів, що задають конструктивно реалізовану область рішень, що додатково усікається обмеженнями за нормованими показниками 1.

Введемо вектор ознак функціональних обмежень, компоненти якого приймають значення:

Введемо також вектор ознак оптимальності параметрів, компоненти якого визначаються за правилом:

Пронумеруємо часткові показники - для показників, які збільшуються у процесі пошуку і позначимо:

- частковий показник, обчислений у початковій точці наближення;

- частковий показник, що задається як обмеження у вихідних даних.

Нормування часткового показника працездатності в процесі оптимізації може проводитися за або за залежно від заданих і . Правила нормування ілюструє табл. 2.1.

Таблиця 2.1.  Правила нормування j –го часткового критерію

Приклад 1. Припустимо, особа, яка приймає рішення (ОПР), ставить задачу оптимізації в такому вигляді:              

; .

Тоді:               ;

                                    .

;- являють собою нормуючі вектори, відповідно до часткових показників у ваговій функції і функціональних обмеженнях. Таким чином, у даному прикладі:

1)    максимізується функція , причому і отримані нормуванням за значеннями і   у початковій точці наближення ;

2)    враховуються функціональні обмеження , причому для них нормування проводиться за обмеженнями, що задаються у вихідних даних , .

Приклад 2. Нехай, потрібно змоделювати СЕС з максимальною виробничою спроможністю P при обмежених витратах Q і людських ресурсах L. Тоді маємо задачу оптимізації в загальному вигляді:

Вирази (2.1) і (2.2) показують, що значення вектора параметрів , при якому досягає свого максимуму, залежить від двох факторів: вибору початкової точки наближення і розмірів вагових коефіцієнтів , що призначаються ОПР. У цьому значенні оптимальне рішення в більшою мірою визначається суб'єктивними факторами, тобто інтуїцією ОПР.

Існує декілька методів призначення вагових коефіцієнтів, що дозволяють якоюсь мірою підвищити ступінь об'єктивності оптимального рішення. Далі наводиться їхня стисла характеристика.

1. Метод експертних оцінок полягає в тому, що групою компетентних спеціалістів незалежно призначаються ваги для окремих приватних критеріїв, що потім опосередковуються і приймається в якості розрахункових. Тому що пошук максимуму починається з початкової точки наближення , то необхідно попередньо обчислити часткові критерії і ознайомити експертів із результатами розрахунків.

2. Метод проектування за аналогом. У цьому методі розрахунком, якщо робочі характеристики невідомі, визначають часткові показники працездатності вдалого аналога. Шляхом зіставлення цих даних із розрахунком у початковій точці наближення, вибирають вагові коефіцієнти рj. Варто врахувати, що при невдалому виборі може знадобитися коригування вагових коефіцієнтів у процесі розрахунку.

Найчастіше застосовується і може дати гарні результати метод оптимізації з використанням так званого головного критерію, за яким шукається максимум одного з їх часткових показників, що вважається найбільш важливим, а всі інші або частина з них виступають у якості обмежень (див. постановку задачі у прикладі 2). Дані ситуації при проектуванні СЕС типові.

2.2.           Метод оптимізації

Для оптимізації параметрів СЕС використовується обчислювальна процедура, що одержала назву методу комплексів [ ].

Сутність його полягає в наступному. Довільним чином будується поступально m (не менше ніж n+1) припустимих пробних точок , де n - розмір простору параметрів оптимізації, .

На рис. 2.1 зображено допустиму область, яка висічена в просторі параметрів R2 їхніми параметричними і функціональними обмеженнями. Найпростіший спосіб одержання початкових допустимих точок полягає в генерації за допомогою спеціальної програми псевдовипадкових чисел у діапазоні (0,1) із наступним визначенням координати точки за формулою:    

                                              (2.3)

Потім отриману точку перевіряють на попадання в допустиму область обчислення функціональних обмежень у цій точці.

Рис. 2.1. Допустима область рішень

Параметр  задає відстань відбиття: при має місце розтяг, при - стиск.

Коли знайдена нова точка і обчислені значення цільової функції і функцій, що входять в обмеження, можливі такі випадки:

1. Нова точка , і значення не є мінімальним серед всіх інших. Вибираємо точку з максимум і повторюємо відбиття.

2. і , тоді замість відображення точка пересувається на половину відстані до раніше знайденого центру ваги .

3. у цьому випадку зменшуємо в два рази відстані до обчисленого раніше центру ваги.

Процедура пошуку продовжується, поки багатогранник не буде стягнутий у центр ваги в межах заданої точності і (або) поки різниця між значеннями цільової функції у вершинах не стане достатньо малою.

Вихідні дані для оптимізації готуються в діалоговому режимі підказки. Далі наведені групи вихідних даних, які стосуються тільки безпосередньо моделі.

Уводяться тільки причому, якщо - ознака оптимізованості j - го параметру - дорівнює нулю, , і можна не вказувати; , де  - число параметрів моделі (розмірність вектора ).

2.3. Розробка програми оптимізації методом комплексів

На рис. 2.2 наведена блок-схема алгоритму обирання оптимальних параметрів СЕС (Додаток А). З початку (блок 1) в блоці 2 задаються вихідні дані щодо параметрів і обмежень часткових критеріїв СЕС: , а також параметри процедури оптимізації.

В блоці 3 виконується пошук оптимальних параметрів (вектор оптимальних параметрів ). Якщо вектор не знайдений, то в блоці 4 виконується перехід на коректування вихідних даних (блок 2), якщо знайдений, то виконується перехід до блоку 5. У блоці 5 виконується вибір параметрів з отриманих в процесі оптимізації. У блоці 6 перераховуються часткові критерії якості при скоректованих параметрах СЕС. Якщо (блок 7) згідно умовам (2.2), оптимізація є завершеною (блок 9), якщо ні, то приймається рішення в блоці 7 відносно коректування параметрів . В разі прийняття такого рішення керування передається в блок 5 (“так”), якщо “ні”, то керування передається в блок 2 на коректування вихідних даних.

В Додатку А наведена процедура оптимізації параметрів СЕС методом комплексів, яка реалізується в блоці 3 (рис. 2.2).

Рис. 2.2.  Блок-схема алгоритму обирання оптимальних параметрів СЕС

2.4. Тестування програми оптимізації методом комплексів

Розглядається задача проектування газопроводу (рис. 2.3) в умовах сучасних норм, які є чинними на території України, який повинен забезпечувати перекачування 10 млн. кубічних метрів природного газу в добу, приведених до нормальних умов на відстань L = 600 км. Компресорні станції повинні розпола­гатися на рівній відстані один від одного. Змінними моделі є діаметр труб (D, дюйм), тиску на вході і виході компресора (Р1 і Р2, атм) і (L,  км).  Оптимальні  значення змінних повинні забезпечувати мінімум витрат на трубопровід, які включають постійні витрати на устаткування і витрати по експлуатації компресорних станцій.

Рис. 2.3. Схема газопроводу

Передбачається, що параметри моделі мають наступні значення (hp - потужність компресорних станцій):

      початкова   вартість   компресорної   станції =50000+290 (hp) грн,

      вартість трубопроводу =8120 грн./т,

      вартість дослідницьких робіт, оренди землі і інженерних розробок = 10000 грн. на  1 км  трубопроводу,

      прокладка трубопроводу =820 грн. на 1 км на один дюйм діаметру труб,

      оплата  праці і вартість управління на кожній компресорній станції = 1200+ 1,0 (hp) грн/мес,

      експлуатація і обслуговування =0,30 (hp) грн./мес,

      собівартість палива = 34 грн./ мільйон  норм.  м3,

      споживання палива = 12 норм. М3/(кВтгод),

      амортизаційні відрахування = 15% в рік.

Постійні витрати на устаткування трубопроводу рівні сумі вартостей труб і компресорних станцій. Для обчислення величини річних витрат необхідно пропорційно розподілити постійні витрати по роках, використовуючи 15% - ну норму амортизаційних відрахувань.  Загальні річні витрати  (постійні + поточні) можна виразити, використовуючи змінні D, Р1, Р2 і L.

Витрати  на  компресорні  станції

7.      Вартість встановлених компресорів: число компрессоров = 600/L.

Об’єм перекачуваного газу = 100106 норм. М3/доб =   2,785-105 моль/доб.

Потужність кожного компресора обчислюється за допомогою наступної формули для роботи ідеального газу при адіабатичному стисненні:

                                 (2.4)

де W – робота в БТЕ/(кгмоль), r=P1 / P2, R - універсальна газова постійна  = 1,987 БТЕ/(кгмольград), То – температура газу = 4920R γ – відношення теплоємкостей (коефіцієнт Пуассона)=1,28,   η – к. П. Д. Компресора = 0,75. З формули (2.4) одержуємо, що потужність компресора визначається таким чином: