Параметрична оптимізація економічних процесів

              Клас 4 — множина стадій. Технічна система функціонує протягом кількох стадій (як правило, тимчасових), причому якість функціонування на кожній стадії характеризується своїм частко­вим критерієм. Ефективність системи залежить від її функціо­нування на всіх стадіях і, отже, виражається векторним критерієм, складовими якого будуть часткові, по стадійні критерії.

              Клас 5 — множина варіантів постановки задачі. У системах цього класу невизначеність виникає в самій постановці задачі, наприклад, якість функціонування системи залежить від значення деякого параметра, про яке відома лише область його можливої зміни й залежність часткового критерію від числового значення параметра. Якщо закон розподілу для параметра невідомий, то ефективність   системи   виражатиметься   векторним   критерієм, складовими якого будуть часткові критерії для всіх можливих значень невідомого параметра. Розмірність часткових критеріїв у задачах цього класу однакова.

              Крім перелічених класів задач можуть виникати також задачі, що містять ознаки двох чи більше класів, або задачі, в яких складові векторного критерію, у свою чергу, є не скалярні, а векторні часткові критерії.

1.2. Принципи пошуку області зміни критеріїв

              Проблемі пошуку оптимального розв'язку багатокритеріальних задач присвячена велика кількість праць [1, 2, 7, 10, 11, 14 — 17, 18, 19, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 40, 41, 44 та ін.]. На сьогодні теорія векторної оптимізації ще далека від досконалості, але вже розроблені деякі принципи та прийоми, придатні для розв'язу­вання багатьох практичних задач. Разом з тим, як буде продемонс­тровано нижче, на шляху створення загальної теорії багатокритеріальної оптимізації існує багато принципових труднощів.

              Перша проблема, що виникає при розв'язуванні багатокритеріальних задач, полягає у визначенні області зміни часткових критеріїв, у якій знаходиться оптимальний розв'язок. Найлегше уявити собі суть цієї проблеми при її геометричному тлумаченні. І І,е, щоправда, вимагає обмежитися розглядом двокритеріальних задач, але подальший перехід до багатокритеріального випадку не зустрічає принципових труднощів.

              Отже, припустимо, що потрібно оптимізувати систему, ефективність якої визначається двома критеріями х1 та х2. Не звужуючи суті міркувань, можна вважати, що ефективність системи зростає і зі збільшенням х1 і зі збільшенням х2, причому обидва критерії можуть набувати тільки додатних значень. Тоді на п носкому полі з декартовими координатами х1 і х2 кожен розв'язок зображатиметься точкою (х1і, х2і,), а ефективністю Е1 цього розв'язку є деяка функція від координат зображувальної точки: Е1 =F(х1і, х2і).  Якщо відомо, що ефективність зростає як зі збільшенням  х1 , так і зі збільшенням х2, то можна було б надати цим критеріям як завгодно великих значень, отримавши при цьому максимальну ефективність розв'язку. Цьому заважають неминучі у кожній реальній системі обмеження. Найтиповішими є два види обмежень. Обмеження першого виду називають фізичними або абсолютними.

              Фізичним називають таке обмеження величини критерію хи яке не залежить від величини інших критеріїв. Система, в якій два критерії х1 і х2 мають тільки фізичні обмеження, зображувати­меться на координатному полі множиною точок, обмежених двома прямими лініями хmax та х2ітіх і осями координат (рис. 1.1,а). Оптимальний розв'язок у цьому випадку можна вказати без будь-яких досліджень: його зображає точка М. Подібні системи на практиці зустрічаються рідко. Реальні системи мають обмеження другого виду, що виявляються у взаємній залежності часткових критеріїв. Ця взаємна залежність, у свою чергу, виникає через деяку загальну обмежувальну вимогу. В результаті область можливих розв'язків для двокритеріальної системи матиме вже вигляд, зображений на рис. 1.1,б.

Рис. 1.1. Можливі розв’язки для двох часткових критеріїв

              Область можливих розв'язків, загалом, перевищує область допустимих розв'язків. Вона визначається такими мінімальними значеннями критерію х1=х]min чи х2=х2min при переході через який ефективність системи стає неприпустимо малою або рівною нулеві (рис. 1.1,в).

              Якщо ефективність системи підвищується і зі збільшенням критерію х1, і зі збільшенням критерію х2, то оптимальний розв'язок лежить на обмежувальній лінії. Більш того, можна стверджувати, що оптимальний розв'язок лежить на тій частині обмежувальної лінії, яка позначена точками на рис. 1.1, г,д,е. Цю частину обмежувальної лінії називають областю компромісу, бо саме тут збільшення одного з критеріїв можна досягти лише ціною зменшення іншого. Обмежувальна лінія, зображеного на рис. 1.1, г вигляду зустрічається рідко. Найтиповіший вигляд обмежувальної лінії зображений на рис. 1.1, д, є.

              Відшукати область компромісу не завжди просто, однак це дозволяє досліджувати не всю множину допустимих розв'язків, а пише його незначну частину, в якій свідомо знаходиться опти­мальний розв'язок. Область компромісу не обов'язково повинна нуги неперервною межею (лінією, поверхнею чи гіперповерхею): якщо критерії можуть набувати лише дискретних значень, то область компромісу також буде сукупністю дискретних точок чи відрізків, що лежать на цій межі.

1.3. Нормування часткових критеріїв

              Деякі класи багатокритеріальних задач відрізняються тим, що
часткові критерії мають різну фізичну природу і тому різну розмірність. Це обставина істотно ускладнює розв'язування багатокритеріальних задач. Дійсно, коли збільшення числового значення одного критерію може бути досягнуто лише зменшенням іншого, то важко вирішити, чи приведе до підвищення ефектив­ності технічної системи такий захід, якщо один з критеріїв вимі­рюється, скажемо, у радіанах, а інший — у ньютонах. У зв'язку з ним розроблені різні методи нормування критеріїв [7]. В усіх цих методах замість "натурального" критерію вводять його відно­шення до деякої нормувальної величини, яка вимірюється в тих же одиницях, що й сам критерій. У результаті такої операції всі часткові критерії набувають безрозмірного вигляду.

              Зміст операції нормування можна трактувати й так: будь-який простір повинен володіти метричністю, а для цього всі його координати повинні мати однакову розмірність. При нормованих критеріях ця вимога виконується, і тоді стають звичайними поняття збільшення і зменшення вектора, що характеризує той чи інший допустимий розв'язок задачі. Але нормування не можна здійснювати діленням величини часткового критерію на довільно обрану величину тієї ж розмірності. Нормувальний дільник повинен мати під собою добре обґрунтовану логічну базу, що спричиняє певні труднощі.

              Один з методів заснований на нормуванні до заданих значень. Якщо в технічних вимогах на систему зазначена потрібна величина i-го критерію xi0, то природно оцінювати розв'язок тим, наскільки запропоноване в ньому числове значення хi, критерію відповідає заданому. У залежності від величини уі=хі/хі0 можливі такі випадки:

              при  уi « 1  розв'язок неприйнятний, оскільки не забезпечує

заданого значення параметра;

              при уi=1 розв'язок заслуговує на пильну увагу, бо можливим є отримання критерію х, саме такої величини, яку вимагає технічне завдання;

              при уi > 1 перевершені вимоги завдання, і тому можна сказати, що знайдено оптимальний чи, в усякому разі, добрий розв'язок.

              Слабким моментом нормування до заданих значень критеріїв є негласне припущення, що автори технічного завдання, власне кажучи, знайшли оптимальний розв'язок. Інакше чим можна пояс­нити, чому вся сукупність заданих значень критеріїв розглядається як взірець (еталон).

              Другий метод, який називають нормуванням до максимуму, ґрунтується на таких міркуваннях. Після того, як ми знайшли область компромісу, нам відомо, яких максимальних значень може в цій області набути кожний із часткових критеріїв. Вважають, що чим ближче частковий критерій до свого максимально можливого значення, тим краще для системи загалом.

              Недолік методу нормування до максимуму полягає в наступ­ному. Чим більше максимальне значення часткового критерію, тим меншим може виявитися його нормована величина для деякого конкретного варіанта. Але при пошуку оптимального розв'язку на основі оперування з нормованими частковими критеріями природно прагнути до можливого вирівнювання їхніх числових значень. У результаті той критерій, що може мати максимальну ненормовану величину, отримає пріоритет перед іншими частковими критеріями і в процесі пошуку оптимального розв'язку може бути необгрунтовано збільшеним.

              Ще один спосіб нормування критеріїв передбачає в якості нормувальних дільників різницю між максимальним і мінімаль­ним значеннями відповідного критерію в області компромісу. При цьому безрозмірні критерії виражаються так:

Xf = f/(fmax-fmin)

де f — поточне значення відповідного критерію; fmax, fmin — максимальне та мінімальне значення відповідного критерію в області компромісу.

              У пересічних випадках для реальних числових значень критеріїв їхні нормовані зазначення, визначені таким методом, змінюються неістотно. Але часто зустрічаються задачі, в яких діа­пазон зміни певного критерію в зоні компромісу невеликий, і тоді її нормованому вигляді цей критерій буде невиправдано великим.

              Значного поширення набуло нормування критеріїв виробу, що проектується, до критеріїв аналогічного за призначенням виробу, прийнятого за базовий. Цим, фактично, передбачається, що останній є матеріалізацією оптимального розв'язку.

              На перелічених вище недоліках нормування часткових критеріїв акцентують увагу автори праць [7, 15, 18]. На їхню думку нормування — це формальна операція для надання критеріям безрозмірної форми. Значною мірою вона є суб'єктивною.

1.4. Загальний підхід до пошуку оптимального розв'язку багатокритеріальних задач

              Найповніше дослідження методів багатокритеріальної оптимізації наведено в [31]. Автор показав, що усі відомі методи векторного синтезу оптимальної системи безпосередньо чи опосередковано зводяться до скалярного синтезу. Інакше кажучи, часткові критерії х, (і=1 — n) тим чи іншим способом об'єднують

в інтегральний критерій X=f(xi) що потім максимізується (чи мінімізується). Якщо інтегральний критерій з'являється в резуль­таті проникнення у фізичну суть функціонування системи і розкриття об'єктивно існуючої взаємозалежності між частковими та інтегральним критеріями, то й оптимальний розв'язок є об'єктивним. Однак відшукати подібну взаємозалежність надзви­чайно важко, а іноді й неможливо. Тому на практиці інтегральний критерій переважно утворюють формальним об'єднанням частко­вих критеріїв, що неминуче веде до суб'єктивності отриманого „оптимального" розв'язку.

              Знання аналітичного вигляду залежності інтегрального крите­рію від часткових критеріїв не потрібно, якщо розв'язок шукають на основі безумовного критерію переваги (БКП). Останній озна­чає, що коли для систем І і II, що характеризуються частковими критеріями х1і, х11 (і=1—п), виконується нерівність

                                                                                                                         (2.1)

у тому числі хоча б для одного номера і нерівність виконується строго, те система І переважає систему II. Але в загальному випадку БКП не дає змоги довести задачу до завершення, а дає можливість знайти лише область компромісу, в якій знаходиться оптимальний розв'язок. Це обмеження можливостей БКП змушує звертати пильну увагу на методи, засновані на формуванні інтег­рального (узагальненого) критерію.

              Узагальнений критерій можна назвати умовним критерієм переваги (УКП), оскільки з його допомогою шукають оптимальний розв'язок — максимум УКП в області компромісу, тобто в тій області, де  одна чи  кілька умов (2.1) не  виконуються. Якщо функціональна залежність узагальненого критерію від часткових критеріїв встановлена, то оптимальний розв'язок знайти неважко.               Розглянемо для простоти випадок одного обмеження:

                                                                                                          (2.2)                          

              Якщо знайдено узагальнений критерій

                                                                                                                     (2.3)

то оптимальним буде такий розв'язок, який надає максимуму виразу (2.3) при виконанні умови (2.2). Для пошуку максимуму хmax і оптимальних значень       xi opt,{і=1-п), що забезпечують цей максимум, можна скористатися, наприклад, методом невизначених множників Лагранжа. Для цього утворять допоміжну функцію:

                                                                                                (2.4)

де — невизначений множник, і потім прирівнюють до нуля всі часткові похідні цієї функції за критеріями хі:

                                                      j = 1-п.                                                                      (2.5)

              У результаті отримують п рівнянь типу (2.5) з п+1 невідомими: х1, х2,...,xn,. Разом з умовою (2.2) загалом матимемо n +1 рівняння. їхній спільний розв'язок дає оптимальні значення часткових критеріїв   хіорt,,х2орt,...,хпopt і максимум узагальненого критерію

                                          (2.6)

              Якщо на систему накладено не одне, а два чи більше обме­ження виду (2.2), то в допоміжне рівняння (2.4) вводять у вигляді доданків усі ці обмеження, кожне зі своїм невизначеним множни­ком. Після цього задача розв'язується за схемою, наведеною вище. Зазначимо, що, прирівнюючи до нуля частинні похідні, треба переконатися, що знайдено екстремум, а не точку перегину. Це здійснюють звичайними прийомами.