Параметрична оптимізація економічних процесів

              У зв'язку зі складністю отримання об'єктивно обґрунтованої залежності (2.3) широкого поширення набули формальні методи встановлення зв'язку між частковими критеріями. Один з найпростіших формальних методів заснований на принципі однаковості. Цей принцип полягає в наступному. У нормованому вигляді всі часткові критерії можуть змінювати свої числові значення в межах 0—1. Бажано, щоб усі часткові критерії були якнайближчими до свого максимального значення — одиниці. Якщо виходити з однакової важливості виконання цього поба­жання для всіх часткових критеріїв (у цьому й полягає принцип однаковості), то умова оптимального розв'язку запишеться так:

                            .                                            (2.7)

Тут х10, х20... хn0 — нормувальні дільники.

              Графічне пояснення принципу однаковості стосовно двокритеріальної задачі подане на рис. 2.6,а. Іноді замість строгої рівності шукають розв'язок, який забезпечує „квазіоднаковість" нормованих критеріїв (рис. 2.6,б).

              У літературі з векторної оптимізації наведено декілька принципів пошуку компромісу, що також грунтуються на ідеї рівномірності. Розглянемо один з них, який іноді називають принципом максиміну.

              За великої кількості часткових критеріїв домогтися їхньої однаковості (у  нормованому  вигляді)  іноді надзвичайно важко через складні взаємозв'язки. У цьому випадку і може бути корисним принцип максиміну. Сутність цього принципу полягає в послідовному „підтягуванні" тих нормованих критеріїв, числові чинення яких у вихідному розв'язку виявилися найменшими. Через те, що операції здійснюють в області компромісу, підтягування „відстаючого" критерію неминуче призводить до зниження інших. Але при виконанні низки кроків можна домогтися певного ступеня вирівнювання всіх часткових критеріїв, що і є метою принципу максиміну.

Рис. 2.6. Графічна інтерпретація принципу однаковості

              Принцип максиміну доцільно застосовувати й у таких багатокритеріальних задачах, в яких аналітична залежність між критеріями невідома.

              Найрозвинутішими принципами векторної оптимізації є прин­ципи справедливої поступки. Термін „справедливість" введений у теорію оптимізації лише з тією метою, щоб підкреслити потребу в кожному конкретному випадку вникати в сутність задачі, не (опускаючи шаблону, і застосовувати принцип поступки, адекват­ний розглянутій задачі.

              Короткому огляду принципу справедливої поступки і питанню пріоритетності критеріїв присвячені два наступних параграфи цієї глави.

1.5. Адитивний критерій оптимальності

              Позначатимемо нормовані часткові критерії символами x(j)1,

X(j)2,..., x(j)n,  де j — номер розв'язку, а узагальнений критерій j-го

розв'язку — символом X(j). Якщо всі часткові критерії мають однакову важливість, то цілком логічним є таке міркування.

              Оскільки в області компромісу збільшення одного критерію може досягатися лише зменшенням іншого (інших), то справедли­вим є такий компроміс, при якому абсолютний рівень зниження одного критерію не перевищує сумарного абсолютного рівня збільшення інших критеріїв.

              Припустимо, що від розв'язку Х(1) ми перейшли до розв'язку Х(2), тоді відповідно до наведеного принципу потрібно обчислити суму абсолютних змін усіх часткових критеріїв, обумовлених цим переходом:

                                                                                             (2.8)

              У випадку > 0 розв'язок X(2) за принципом справедливої абсолютної поступки визнається кращим, ніж розв'язок Х(1) . Якщо ж < 0, то кращим вважають розв'язок Х(1) . Але тоді найкращим розв'язком, що допускається обставинами, тобто оптимальним, буде такий, для якого при переході від нього до будь-якого іншого розв'язку.

              Таким чином, принцип справедливої абсолютної поступки приводить до твердження, що оптимальний розв'язок означає максимізацію суми нормованих часткових критеріїв:

                                              ХI                                                                           (2.9)                                                                         

              Бачимо, що замість векторного критерію оптимальності в результаті застосування принципу справедливої абсолютної поступки сформувався узагальнений (чи, як його ще називають, скалярний, інтегральний) критерій оптимальності. Узагальнений критерій є сумою нормованих часткових критеріїв, і тому його можна назвати адитивним критерієм оптимальності.

              Найкращий розв'язок відповідає максимуму адитивного критерію.

              Зведення багатокритеріальної задачі до однокритеріальної за рахунок введення узагальненого критерію замість низки часткових критеріїв означає власне кажучи розв'язання задачі. Такий висновок випливає з того, що для розв'язання однокритеріальних задач існує багато добре розвинених методів (див. розд. 3).

              З появою узагальненого критерію зникають логічні проблеми і залишаються лише обчислювальні труднощі. Такі радикальні результати застосування принципу справедливої абсолютної пос­тупки вимагають аналізу обгрунтованості цього принципу. Тут і знаходиться основна проблема сучасної теорії багатокритеріальної оптимізації. Автор праці [16], розглядаючи узагальнений адитив­ний критерій, вказує на його недоліки, головним чином на те, що в адитивному критерії може відбуватися взаємна компенсація часткових критеріїв. Це означає, що зменшення одного з критеріїв аж до нульового значення може бути перекрито зростанням іншого критерію. Для послаблення цього недоліку застосовують спеціальні обмеження на мінімальні значення часткових критеріїв, цінові коефіцієнти критеріїв та інші прийоми.

              Найбільша вразливість адитивного критерію в тому, що він але ніяк не випливає з об'єктивної ролі часткових критеріїв у функ­ціонуванні системи і виступає тому як формальний математичний прийом, що надає задачі зручного для розв'язування вигляду.

              Незважаючи на свої слабкі сторони, узагальнений адитивний критерій дає змогу в багатьох випадках успішно розв'язувати (багатокритеріальні задачі й отримувати корисні результати.

              У більшості задач немає підстав надавати однакову важливість, нормованим частковим критеріям. Різна значимість критеріїв при формуванні узагальненого адитивного критерію X враховується за допомогою вагових коефіцієнтів:

                                                                                                                                         (2.10)

причому

                                                                                                                                                             (2.11)

              Тут х, — і-й частковий критерій якості системи; хі0 — I-й нормувальний дільник; — ваговий коефіцієнт і-го критерію; п- кількість часткових критеріїв.

              Введення вагових коефіцієнтів лише створює видимість біль­шої об'єктивності формули (2.10), бо їхнє визначення стикається із серйозними труднощами і звичайно зводиться до експертних оцінок [4, 17, 24, 27]. Для спрощення роботи експертів пропо­нують вимагати від них тільки рангування критеріїв за важли­вістю. Далі ранги переводять у вагові коефіцієнти за визначеними формулами без участі експертів. Існує кілька таких формул. Дві з них наведені нижче:

                                                                                                                                           (2.12)

                                                                                                                                        (2.13)

              Передбачається, що частковому критерію присвоєний номер призначеного йому рангу. Це означає, що найважливіший критерій х1 наступний за важливістю х2 і т. д. Легко бачити, що формула (2.12) підкреслює значимість критеріїв високого рангу (j = 1; 2). Формула (2.13) дає лінійне зниження вагових коефіцієнтів. Норму­вання для переходу до , що задовольняють умову (2.11), не складає жодних труднощів.

              З наведеного короткого огляду видно, що об'єднання часткових критеріїв в адитивний узагальнений критерій хоч і дає уяву про порівняльні властивості систем за сукупністю їхніх характеристик, але має істотні недоліки. Головними з них є такі:

              І) слабкий зв'язок вагових коефіцієнтів з дійсною роллю часткових критеріїв у виконанні системою своїх функцій;

              2) труднощі пошуку об'єктивного способу нормування част­инних критеріїв для зведення їх до безрозмірного вигляду;

              З) мала чутливість узагальненого критерію до змін величини окремих часткових критеріїв, особливо якщо їхня загальна кількість велика; компенсація малої величини одного критерію надлишковою величиною іншого.

1.6. Мультиплікативний критерій оптимальності

              Принцип справедливої абсолютної поступки привів до адитивного критерію оптимальності [6]. Але, природно, виникає питання: а чи є абсолютна поступка дійсно „справедливою"? Чи не буде справедливіше при пошуку найкращого розв'язку в області компромісу оперувати відносними величинами поступок, тобто збільшувати один критерій за рахунок зменшення іншого в чистках тих величин, які спочатку мали ці критерії?

              У певному сенсі подібний підхід, дійсно, виглядає справедли­вішім. Якщо, скажемо, критерій x1 дорівнював 0,9, а критерій х2 — 0,2, то при абсолютній поступці в 0,1 на користь першого критерію ми отримали б х1=1, х2=0,1. У підсумку критерій х1 зріс приблизно всього на 10 %, але при цьому критерій х2 знизився вдвічі. Де ж тут справедливість?

              Такі міркування привели до принципу справедливої відносної поступки, що формулюється так: справедливим варто вважати такий компроміс, коли сумарний рівень відносного зниження пішого чи декількох критеріїв не перевищує сумарного рівня підносного збільшення інших критеріїв.

              У математичній формі умова оптимальності на основі принци­пу справедливої відносної поступки має вигляд:

                                                                                                                                           (2.14)

де х — збільшення величини i-го критерію; хi — первісна величина i-го критерію; п — кількість критеріїв.

              Покладаючи , можна подати (2.14) як диференціал натурального логарифма. Тоді маємо

                                                                (2.15)
 

              Через монотонність логарифмічної функції умова (2.14) означає, що досягає максимального значення функція, яка стоїть під знаком логарифма в останній рівності формули (2.15). Таким чином, принцип справедливої відносної поступки приводить до мультиплікативного узагальненого критерію оптимальності:

                                                                                                                                                   (2.16)

              Узагальнений мультиплікативний критерій не потребує нормування часткових критеріїв, і в цьому полягає його важлива перевага перед адитивним критерієм. Але, як наголошується в [33], мультиплікативний критерій також має істотні недоліки: він компенсує недостатню величину одного часткового критерію надлишковою величиною іншого; має тенденцію згладжувати рівні часткових критеріїв, оскільки відповідно до принципу відносної поступки абсолютна зміна критерію при оптимізації тим більша, чим більша його первісна величина.

              Мультиплікативний критерій утворюється шляхом простого перемножування часткових критеріїв у тому випадку, коли всі вони мають однакову важливість. Якщо ж це не так, то замість простого добутку мультиплікативний узагальнений критерій виражають через часткові критерії так:

                                                   Х =                                                                                    (2.17)

де показники степеня А,,, означають вагові коефіцієнти важливості.

Розділ 2

Математичні моделі параметричної

оптимізації економічних систем

2.1. Особливості задач параметричної оптимізації кібернетичних економічних систем

2.1.1. Роль і місце оптимізаційних задач у моделюванні економіки

Неможливо представити сучасну автоматизовану систему управління виробництвом, галуззю, регіоном або в цілому економікою країни, в якій не використовувалися б інформаційні технології вироблення оптимальних рішень. Управлінцям будь-якого рангу доводиться стикатися з проблемою вибору того або іншого варіанту рішення. Розв'язати проблему вибору, тобто знайти якнайкраще (оптимальне) рішення з безлічі альтернативних варіантів, і допомагають сучасні інформаційні технології оптимальних рішень, які використовують методи математичного програмування.