Задачи на построение с помощью циркуля и линейки

Рисунок 5.2 

Тогда точки А, А1 и А2 расположены на одной прямой и А1А2=АА1,т.к. точки A, B, C  и А2 представляют 4 последовательные вершины правильного шестиугольника вписанного в окружность   ω. Таким образом, АА2=2АА1,т.е А2- первая из искомых точек. Применяя такое же построение к отрезку А1А2, получим точку А3, такую, что А2А3=А1А2 и , значит, АА3=3АА1 и т.д.

    Задача 3. Построить 1/n часть заданного отрезка.

Пусть А и B-две данные точки. Находится  такая точка С отрезка АВ, чтобы АС=1/n·АВ. Пусть ААn=n·АB(на рисунке n=3).Строим окружности  ω1(А, АВ) и ω2(Аn, АnА),и пусть M и N - точки их пересечения . Искомая точка С может быть получена теперь как точка пересечения окружностей (М,МА) и (N,NA),отличная от АВ самом деле:

1) Отрезок MN-общая хорда двух окружностей ω1 и ω2.Поэтому линия центров этих окружностей ААn перпендикулярна отрезку MN и проходит через его середину. Отсюда и вытекает, что на прямой ААn лежат все точки, равноудаленные от точек M и N, в частности точка С.

2) ΔАМС подобен ΔААnM, т.к. они оба равнобедренные и имеют один и тот же угол  при основании ( А), поэтому АС : АМ= АМ : ААn или АС : ААn=1/n

                                                   Рисунок 5.3 

    Задача 3. Даны 3 точки А, В, С. Пользуясь только циркулем, установить, лежат ли эти точки на одной прямой. Проведем окружности ω1(А, АС) и ω2(В,ВС). В силу аксиомы 2 можно считать построенным пересечение этих окружностей. Эти окружности имеют общую точку С. Если точка С является единственной их общей точкой (рис.5.4), то окружности эти касаются и точка С лежит на прямой АВ. Если же окружности ω1 и ω2 имеют две общие точки (рис.5.5), то точка С не лежит на прямой АВ, т.к. точки пересечения двух окружностей симметричны относительно линии центров.

          

         Рисунок  5.4                                          Рисунок 5.5

 

    Задача 4 (на применение метода инверсии). Даны окружность инверсии (О,r) и прямая АВ, не проходящая через центр инверсии. Построить окружность, инверсную этой прямой.

Дано: (О, г) и (АВ) (О не принадлежит (АВ) ). Построить  (О'1, |ОО'1|) инверсную (АВ).

Построение: Строим точку О1, симметричную центру инверсии О относительно прямой АВ. Находим точку О', инверсную точке О1. Окружность (О'1, |ОО'1|) инверсна данной прямой АВ (рис.5.6).

Доказательство: Пусть С и С' - соответственно точки пересечения прямой ОО1 с окружностью (О'1, |ОО'1|) и с данной прямой АВ. Из приведенного построения следует: |ОО1| · |ОО΄1| = г², |ОО1| = 2 |ОС|, |ОС'| = 2|ОО΄1|, (OC) (AB). Отсюда |ОО1| · |ОО΄1| =2|ОС|·|ОС'|/2 = |ОС| · |ОС'| = г². В силу теоремы Ш окружность   (О1 ' , |ОО΄1|) инверсна прямой АВ.

Примечание: Если прямая проходит через центр инверсии, то она сама себе инверсна (теорема II).

 

Рисунок 5.6 
 
 
 
 
 

Заключение 

    В процессе выполнения курсовой работы мною:

    - была изучена литература по  теории геометрических построений. Хочу отметить 3 более понравившиеся мне книги:

1.Адлер, А. Теория геометрических построений / А. Адлер. –3-е изд., – Л., 1940. – 232 с.

2. Аргунов,  Б. И. Геометрические построения на плоскости: пособие для студентов педагогических институтов / Б. И. Аргунов, М. Б. Балк. –  2-е изд. – М., 1957. –  268 с.

3. Костовский, А. Н. Геометрические построения  одним циркулем / А.Н. Костовский. –  М.: Наука, 1984. –  80 с.

- рассмотрено  доказательство теоремы Мора - Маскерони;

- изучена  возможность доказательства этой  теоремы на основе свойств  инверсии;

- решены  задачи на построение с помощью одного циркуля.

      Работа над темой позволила  углубить знания, полученные в  школе и вузе по основам  конструктивной геометрии. Материал, представленный в работе, может  быть использован  при разработке  факультативных занятий для студентов  и элективных курсов для школьников. 
 
 

. 
 
 
 

Список использованной литературы 

1. Адлер,  А. Теория геометрических построений / А. Адлер. –3-е изд., – Л., 1940. – 232 с.

2. Александров, И. И. Сборник геометрических задач на построение / И. И.

Александров. – 18-е изд. –М., 1950. – 176 с.

3. Аргунов, Б. И. Геометрические построения на плоскости: пособие для студентов педагогических институтов / Б. И. Аргунов, М. Б. Балк. – 2-е изд. – М., 1957. – 268 с.

 4. Атанасян, Л. С. Геометрия. В 2-х ч. Ч.I.: учеб.пособие для студентов физ.-мат.фак.пед.ин-тов / Л.С. Атанасян, В. Т. Базылев.– М.: Просвещение, 1986. – 336 с.

5.Воронец, А. М. Геометрия циркуля. /А.М.Воронец / под  ред. Л. А. Люстерника. – Л., 1934. – 40 с.

6. Гейлер, В. А. Неразрешимые задачи на построение / В. А. Гейлер // СОЖ. –1999. – № 12. – С.115–118.

7. Костовский, А. Н. Геометрические построения одним циркулем / А.Н. Костовский. – М.: Наука, 1984. – 80 с.

8. Манин, Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и

  линейки:  энциклопедия элементарной математики / Ю. И Манин. – М., 1963. – 568с.

9. Петерсен, Ю. Методы и теории решения геометрических задач на   

   построение / Ю. Петерсен. –  М., 1892. – 114с.

10. Прасолов, В. В. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, 

   трисекция угла, квадратура круга: популярные  

   лекции по математике / В. В. Прасолов. – М.: Наука, 1992. – 80 с.

11. Штейнер, Я. Геометрические построения, выполняемые с помощью  

     прямой линии и неподвижного круга / Я. Штейнер. – М., 1939. – 80 с.