Задачи на построение с помощью циркуля и линейки

Автор: Пользователь скрыл имя, 11 Мая 2011 в 00:03, курсовая работа

Краткое описание

Цель моей курсовой работы – изучить геометрические построения одним циркулем.
Для достижения заданной цели были поставлены следующие задачи:
– проанализировать литературу, посвященную геометрическим
построениям на плоскости;
– рассмотреть доказательство теоремы Мора – Маскерони;
– изучить метод инверсии в геометрии циркуля;
– подобрать и решить геометрические задачи на построение одним
циркулем.

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………...3
1 Постулаты построений (аксиомы построения)………………………………..5
1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии……………………………...5
1.2 Аксиома построения одним циркулем…………………………………….8
2 Задачи на построение с помощью циркуля и линейки……………………….9
2.1 Понятие задачи на построение……………………………………………..9
2.2 Схема решения задач на построение……………………………………..13
3 Теорема Мора – Маскерони…………………………………………………..15
4 Инверсия и ее основные свойства…………………………………………….19
5 Решение геометрических задач на построение одним циркулем…………..23
Заключение……………………………………………………………………….28
Список использованной литературы…………………………………………...29

Файлы: 1 файл

КУРСОВАЯ РАБОТА,геометрия.docx

— 162.39 Кб (Скачать)
"justify">(1΄) Построить точки пересечения двух известных непараллельных прямых (не строя этих прямых).

(2΄) Построить  точки пересечения построенной окружности и известной прямой (если такие точки существуют).

(4΄) Построить точки, принадлежащих известной прямой.

(6΄) Построить точки, заведомо не принадлежащих соединению конечного числа построенных точек, построенных окружностей и известных прямых.

    Построение (1΄). Даны точки А, В, С, D. Построить точку пересечения прямых АВ и СD, пользуясь только циркулем. Допустим, что задача решена и точка L (рис.3.1) искомая. Построим точки C΄, D΄, симметричные точкам С, D относительно прямой АВ. Искомую точку пересечения прямых АВ и СD можно рассматривать теперь как точку пересечения прямых СD и C΄D΄. Если СDD΄E - параллелограмм , то точки С,С΄ и Е лежат на одной прямой. Точка Е  может быть построена как точка пересечения окружностей (C, DD΄) и (D΄, DC). Из подобия треугольников CLC΄  и  ED΄C΄   видно что  C΄E : C΄D΄= C΄С : C΄L. Поэтому отрезок C΄L может построен как 4-й пропорциональный к трем известным отрезкам   C΄E ,C΄D΄ и C΄С. Искомая точка L найдется после этого в пересечении окружностей (C΄ ,C΄L) и (C ,C΄L).

    Если  прямые АВ и СD  окажутся перпендикулярными (СС΄ и DD΄ на одной прямой), то решение задачи упрощается: искомая точка L может быть построена как середина отрезка CC΄.

                                                   Рисунок 3.1 

    Построение (2΄). Даны две точки А и В и окружность (О, r). Требуется построить общие точки прямой АВ и окружности (О, r), не проводя прямой AB.

    Пусть О΄ (рис.3.2) - точка, симметричная с точкой О относительно АВ.

Обозначим через M и N точки пересечения окружности (О΄, r) с окружностью (О, r). Так как каждая из этих точек одинаково удалена от точек О и О΄, то  эти точки располагаются на прямой AB, которая служит симметралью отрезка ОО΄. Значит, M и N – искомые точки. Если окружности (О, r) и (О΄, r) касаются, то их общая точка является искомой.

Рисунок 3.2 

    Построение (4΄). Пусть известны две точки А и В. Требуется построить произвольное количество точек прямой АВ, не проводя этой прямой. Изберем произвольную точку С плоскости. Если она окажется  расположенной на прямой АВ, то эта точка искомая. Допустим, что это не так. Тогда построим (рис.3.3) точку С1, симметричную с точкой С относительно прямой АВ. После этого для получения новых точек прямой АВ (на рисунке точки М1 и М2) достаточно провести окружности (С, r) и (С1, r), где r – произвольный отрезок, больший чем ½ СС1(например, отрезок СС1) и построить точки их пересечения; эти точки заведомо принадлежат прямой АВ, так как каждая из них одинаково удалена от точек С и С1.

Рисунок 3.3

    Построение (6΄). Пусть построены k точек А1, А2, …, Аk и n окружностей ω1, ω2, …, ωn, а также известны m прямых а12,…,аm. Ищется точка, не совпадающая ни с одной из этих точек и не принадлежащая ни одной из этих прямых или окружностей. Изберем произвольную точку А и какую-либо точку В, не лежащую ни на одной из построенных окружностей (для чего не требуется ни линейки, ни циркуля). Тогда окружность  ωn+1(А,АВ) не совпадает ни с одной из окружностей ω1, ω2,…, ωn. Этой окружности могут принадлежать некоторые из точек А1, А2,…, Аk, на ней могут оказаться также точки пересечения с заданными окружностями. Изберем на окружности ωn+1,сверх этих, еще 2m+1 точек. Тогда по крайней мере одна из этих 2m+1 точек удовлетворяет требованиями задачи, так как прямые a1,a2,…,am могут встретиться с окружностью ωn+1 самое большее в 2m точках. Путем конечного числа испытаний среди 2m+1 избранных точек можно выделить искомую.

    Теорема Мора – Маскерони, таким образом, доказана.

    Для доказательства теоремы Мора – Маскерони можно воспользоваться также свойствами инверсии.  

4 Инверсия и ее основные свойства. 

    В конце XIX столетия А. Адлер применил принцип инверсии к теории геометрических построений одним циркулем. С помощью  этого принципа он установил в  геометрии циркуля общий способ решения задач на построение.

    Пусть в плоскости чертежа дана некоторая  окружность (О, r) и точка Р, отличная от точки О (рис. 4.1)

    

                                                       Рисунок 4.1 

    Возьмем на луче ОР точку P' так, чтобы произведение длин отрезков  ОР и ОР ' равнялось квадрату радиуса данной окружности, т.е.

|ОР|·|ОР'|=r²  (1)

    Такую точку Р' называют инверсной точке  Р относительно окружности (О, г). Окружность (О, г) называют окружностью инверсии или базовой окружностью, ее центр О – центром инверсии или полюсом инверсии, а величину r² степенью инверсии.

    Если  точка Р' инверсна точке Р, то, очевидно, и наоборот, точка Р инверсна точке  Р'. Соответствие между инверсными точками, или иначе, преобразование, которое  каждой точке Р некоторой фигуры ставит в соответствие ей инверсную точку Р', называется инверсией или преобразованием обратных радиусов.

    Из  определения инверсии следует, что  каждой точке Р на плоскости соответствует  определенная и единственная точка Р' той же плоскости, причем, если |ОР| > r, то |ОР'| < r. Исключение составляет центр инверсии О. Точке О не может быть инверсна никакая точка плоскости, что немедленно следует из равенства (1).

    Пусть (АР) и (A1P) – касательные, проведенные к окружности инверсии (О, r) из точки Р, лежащей вне этой окружности (см. рис. 4.1). Тогда точка Р' пересечения прямых АА1 и ОР будет инверсна точке Р. Действительно, в прямоугольном треугольнике ОАР (АР'- высота)

    |ОР|·|ОР'|= |ОА| = г²

    Пусть точка Р перемещается по некоторой  кривой l, тогда ее инверсная точка  Р' будет также описывать некоторую кривую l'. Кривые l и l' называются взаимно инверсными.

    Лемма. Если точки Р' и Q' иверсны токам Р и Q относительно окружности (О, r), то OP'Q' OQP и OQ'P' OPQ.

Доказательство. Из равенств |ОР|·|ОР'|=|ОQ|·|ОР'|=г² следует, что треугольники OQ'Р' и OQР подобны (рис.4.2). Этим утверждение леммы доказано.

      Из определения инверсии следуют  две теоремы.

    Теорема I. Если две кривые пересекаются в точке Р, то инверсные им кривые пересекаются в точке Р', инверсной точке Р.

     Теорема II. Прямая, проходящая через центр инверсии О, caмa себе инверсна.

 

                                                   Рисунок 4.2

                                                 

    Теорема III. Кривая, инверсная данной прямой АВ, не проходящей через центр инверсии, есть окружность (О1, |ОО1|), проходящая через центр инверсии О, причем всегда (OO1) (AB).

Доказательство. Пусть Q - основание перпендикуляра, опущенного из центра О на данную прямую. Обозначим через Q' точку, инверсную точке Q. Возьмем на данной прямой произвольную точку Р и обозначим через Р' инверсную ей точку (рис.4.3). На основании леммы можем записать: OP'Q' = OQP = 90°.

 

                                                    Рисунок 4.3 

    Следовательно, когда точка Р будет перемещаться по прямой АВ, ииверсная ей точка P' будет описывать окружность, имеющую отрезок OQ' своим диаметром.

    Так как окружность (О1,|ОО1|) и данная прямая АВ являются взаимно инверсными, то имеет место так же обратное утверждение, а именно, что окружности, проходящей через центр инверсии, будет инверсна прямая линия.

    Теорема IV. Кривая, инверсная данной окружности (01,R), не проходящей через центр инверсии, есть также окружность. Центр инверсии является при этом центром подобия этих окружностей.

    Доказательство. Пусть линия центров 001 окружности инверсии (О, r) и данной окружности (01,R) пересекает последнюю из них в точках А и B. Обозначим через А' и B' точки, инверсные точкам А и В. Возьмем на окружности (01,R) произвольную точку Р и инверсную ей точку обозначим через Р' (рис.4.4).  

    

                                                              Рисунок 4.4

                                                        

Применяя   лемму,    получим  OA'P' OPA и OB'P' OPB, отсюда

  ОВ'Р' - ОА'Р'= ОРВ - ОРА. В треугольниках А'Р'В' и АРB:

 А'Р'В' = ОВ'Р' - ОА'Р' и АРВ = ОРВ - ОРА = 90°. Принимая во внимание предыдущее равенство, получим А'Р'В' = АРВ = 90°. Пусть точка Р перемещается по данной окружности (О1, R), тогда инверсная ей точкa Р' будет описывать окружность (О2, |О2Р'|), имеющую отрезок А' В' своим диаметром. Теорема доказана.  

5 Решение геометрических задач на построение одним циркулем. 

    Многие  геометрические задачи на построение решаются  с привлечением только циркуля, причем в привлечении линейки  иногда не только нет необходимости, но это даже не может упростить  решение таких задач. Такова, например, задача 1:

Построить точку, симметричную данной точке С  относительно данной прямой АВ.

Дано: (АВ) и точка С. Построить: Cl =S(AB)(C).

Построение: Проводим окружности (А, |АС|) и (В, |ВС|), которые пересекутся в точке C1 (рис.5.1). Точка С1— искомая.

 

Рисунок 5.1. 

Если  точка С лежит на прямой АВ, то она сама себе симметрична (т. е. C=S(AB)C))).

Примечание. Чтобы определить, лежат ли три  данные точки А, В и X на одной прямой линии, нужно вне прямой АВ взять  произвольную точку С и построить  симметричную ей точку С1. Очевидно, точка X лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда |CX| = |C1X|.

    Задача 2. Повторить данный отрезок n раз, пользуясь только циркулем.

Пусть А и А1- две данные точки. Требуется найти на прямой АА1 такие точки А2, А3,…., Аn, чтобы AA2=2АА1, АА3=3АА1,…, ААn=nАА1. Проведем окружности ω(А11А) и ω(А,АА1), и пусть В- одна из точек их пересечения (рис.6.2). Строим далее окружность ω2(В,ВА1) и отмечаем тоску С ее пересечения с окружностью ω, отличную от А. Наконец, проводим окружность ω3(С,СА1) и пусть А2 - точка ее пересечения с окружностью ω, отличная от В.

Информация о работе Задачи на построение с помощью циркуля и линейки