Задачи на построение с помощью циркуля и линейки

      Выберем в пространстве некоторую  плоскость и назовем ее основной  плоскостью. Будем предполагать, что  все рассматриваемые геометрические фигуры лежат в этой плоскости. Точки, прямые и окружности основной плоскости играют особую роль в задачах на построение с помощью циркуля и линейки, поэтому их, мы называем основными фигурами. Кроме основных фигур, нас будут интересовать также другие простейшие фигуры: отрезки, лучи, углы, полуплоскости, многоугольники и дуги окружностей. Заметим, однако, что каждая из этих фигур определяется заданием точек, прямых или окружностей. Например, отрезок АВ определяется точками А и В и прямой АВ. Луч определяется началом луча (т. е. точкой), прямой, которой он принадлежит, и некоторой его точкой. Таким образом, не нарушая общности, можно считать, что во всякой геометрической задаче на построение требуется по каким-то данным основным фигурам построить другие основные фигуры (точки, прямые или окружности).

    Точки и прямые, как обычно, будем обозначать соответственно прописными и строчными  буквами латинского алфавита (А, В, С, … , а, b, р, l). В дополнение к обычным  обозначениям для отрезков и углов (АВ, CD, ВОА, A ...  будем применять также следующие обозначения отрезки - а, b, с, ... , их длины соответственно а, b, с, ... ; углы φ, ψ,  их градусные меры соответственно φ, ψ. Отметим, наконец, что окружности обозначаем, как обычно, через (О, г), (М, АВ) или в отдельных случаях буквами γ и ω. Для того чтобы в общем виде сформулировать постановку задачи на построение, введем следующие соглашения. Будем считать, что при формулировке и решении каждой конкретной задачи на построение по определенному правилу выделяется некоторое множество Ω основных фигур (т. е. точек, прямых и окружностей), каждый элемент которого называется построенной фигурой. Каждая прямая или окружность множества Ω  рассматривается как единый объект - элемент множества. Например, если γ - построенная окружность, то отсюда не вытекает, что все точки окружности построены, более того, мы не предполагаем даже, что центр окружности  γ является построенной точкой. Конечно, отдельные точки этой окружности как самостоятельные фигуры могут быть построенными, но это должно быть оговорено условиями задачи или получено процессом построения.

    Мы  предполагаем, что введенное неопределяемое понятие построенной основной фигуры удовлетворяет следующим двум требованиям:

а) точки, прямые и окружности, заданные условиями задачи на построение, принадлежат множеству Ω, т.е. считаются построенными фигурами. Множество  Ω  заданных основных фигур конечно;

 б) существует хотя бы одна построенная прямая. На любой построенной прямой или окружности существуют по крайней мере две построенные точки.

    Будем считать далее, что имеются некоторые  операции, которые позволяют присоединять к множеству Ω новые точки, прямые и окружности. Каждую такую  операцию будем называть, шагом построения. Постулаты построений - утверждения, в которых указано, какие шаги построения мы считаем выполнимыми.

    Cформулируем  в общем виде постановку задачи на построение. Дано конечное множество основных построенных фигур F1, F2, ..., Fk и описано свойство, характеризующее искомую непостроенную основную фигуру Ф. Требуется, используя постулаты П1 – П5, получить конечное множество основных построенных фигур, содержащее фигуру Ф.

    Отметим, что в этом определении существенно  предполагается, что число выполняемых  шагов построения конечно.

      При решении задач на построение  часто приходится «произвольно выбирать» промежуточные точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие построенным прямым, окружностям, а также отрезкам и лучам. Возможность выбора промежуточных построенных точек, принадлежащих построенным прямым или окружностям, обеспечено требованием (б). Возможность выбора точек, не принадлежащих построенным прямым и окружностям, можно обосновать с помощью постулатов П1- П5 построений.

    Решить  задачу на построение с помощью циркуля - это значит свести ее к последовательному выполнению множества простейших построений П1-П5.

П1. Построение прямой, проходящей через две построенные точки.

П2. Построение окружности с центром в построенной точке и с радиусом, равным отрезку с концами в построенных точках.

П3.  Построение точки пересечения двух непараллельных построенных прямых.

П4. Построение точек пересечения построенной  окружности и построенной прямой, если они пересекаются.

П5. Построение точек пересечения двух построенных  окружностей, если они пересекаются.

      Однако на практике расчленение  каждой задачи на простейшие  построения нецелесообразно. Обычно  сводят пocтpoение искомой фигуры  не к самим простейшим построениям  П1-П5, а к некоторым типичным, часто  встречающимся комбинациям простейших  построений, которые называются  основными построениями. 

2.2 Схема решения задач на построение.

    Обычно  при решении задач на построение пользуются схемой, которая состоит в следующем. Решение задачи расчленяют на четыре части: анализ, построение, доказательство и исследование. Ниже дано краткое описание каждой из этих частей.

    Анализ или поиск решения задачи состоит в установлении зависимостей между данными фигурами и искомой фигурой с целью нахождения способа решения задачи.

    Для проведения анализа задачу предполагают решенной и выполняют «от руки» чертеж, изображающий искомую и данные фигуры. Затем изучают искомую фигуру и ее связи с данными задачи, пока не станет ясна последовательность построений, ведущая к решению. В ряде случаев целесообразно выделить точку, прямую или отрезок (так называемый основной' элемент построения), построение которого приводит к построению искомой фигуры.

    Построение состоит в последовательном перечислении тех построений (простейших и основных), которые надо выполнить для решения задачи. При этом выполняется чертеж, т. е. фактически  осуществляется шаг за шагом построение искомой фигуры с помощью циркуля и линейки.

    Доказательство  состоит в том, чтобы установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем условиям, поставленным в задаче. В ряде случаев доказательство непосредственно усматривается из хода построения.

    Исследование состоит в том, чтобы ответить на вопросы: 1) При всяком ли выборе данных задача имеет решение, т. е. искомую фигуру можно построить циркулем и линейкой? 2) Сколько различных решений имеет задача при каждом возможном выборе данных?

    Для определения числа решений различают  два типа задач на построение. Первый тип составляют задачи, в которых требуется определить положение искомой фигуры относительно некоторых из данных фигур. В этом случае две фигуры, удовлетворяющие условиям задачи и отличающиеся своим положением относительно данных фигур, считаются различными, если даже они равны друг другу.

    Второй  тип составляют задачи, в которых положение искомой фигуры по отношению к данным не играет роли. Другими словами, если F1, F2 , …, Fk данные фигуры, а Ф - искомая фигура, то при любом движении основной плоскости образ Ф' фигуры Ф также будет решением задачи по отношению к данным фигурам F1, F2, …, Fk . В этом случае все равные друг другу фигуры, каждая из которых удовлетворяет условиям задачи, считаются как одно решение. Примером этого типа задач является задача построения треугольника по трем сторонам.

    Задача. Построить треугольник стороны которого соответственно равны данным отрезкам а, b и с.

    Решение. Проведем какую-нибудь прямую и отложим  отрезок АВ, равный отрезку с. Далее  построим две окружности (А, b) и (В, а). Пусть С - одна из точек пересечения  этих окружностей. Соединив точки А, С и В, С отрезками, получим искомый треугольник АВС. Возникает вопрос: при любых ли заданных отрезках а, b и с задача имеет решение? Докажем, что если c а и c b, то треугольник АВС, удовлетворяющий условиям: АВ = с, ВС = а, СА = b , можно построить тогда и только тогда, когда с < а+b (1). В самом деле, если треугольник АВС, удовлетворяющий условиям задачи, построен, то по неравенству треугольника АВ < АС + ВС. Отсюда следует, что выполняется равенство (1). Обратно, пусть для отрезков а, b и с выполняются неравенства: с а, с b и с < а + b (2)

    Докажем, что треугольник АВС, удовлетворяющий  условиям задачи, можно построить. По построению АВ = с, поэтому АВ <  а + b. Но, с другой стороны, если, например, a b, то из нeравенств с а, с b cледует, что с > а – b и АВ > a – b. Таким образом, окружности (А, b) и (В, а) пересекаются  в двух точках С и C΄. Легко видеть, что точки А, В и С не лежат на одной прямой. Таким образом, отрезки АВ и ВС и СА образуют треугольник.

    Ясно, что можно построить бесконечное  множество треугольников, стороны  которых соответственно равны данным отрезкам. Но любые два из них paвны  по трем сторонам, поэтому мы считаем, что если данная задача на построение имеет решение, то она имеет только одно решение. 

3 Теорема Мора-Маскерони. 

      Никакая задача, где требуется  провести какую-либо прямую, не  может быть решена исключительно  циркулем: искомая прямая не может  быть в действительности проведена,  если разрешено употреблять только  циркуль. Но положение  прямой  на плоскости определяется любыми  двумя ее точками. Поэтому естественно  считать, что  прямая в известном  смысле уже найдена, как только  удалось построить две ее точки.  Круг задач, разрешимых с помощью циркуля, при такой постановке вопроса значительно расширяется. Например, циркуль позволяет разделить пополам данный угол или найти перпендикуляр к данной прямой, проходящей через данную точку, т.к. в этих задачах линейка  употребляется только для выполнения последней операции – для вычерчивания прямой.   

    Мор (в 1672 г), а затем ( в 1797 г) Маскерони пришли к выводу, что все геометрические задачи на построение, решаемые при свободном пользовании циркулем и линейкой, могут быть решены исключительно циркулем.

    Теорема Мора-Маскерони: Любая геометрическая задача на построение фигуры из конечного числа точек, разрешимая при наличии циркуля и линейки, может быть решена при наличии только циркуля. При этом имеется ввиду, что данная фигура состоит только из конечного числа точек, окружностей и их дуг, прямых, отрезков и лучей. Условимся называть прямую известной, если построены какие-либо две ее точки. Отрезок назовем известным, если построены  его концы, а луч - если построены его начало  и какая-либо принадлежащая ему точка. Ясно, что «известная» прямая не является построенной: она может быть построена, если мы располагаем линейкой, но циркуль не дает возможности построить «известную» прямую. Построение фигуры Ф с помощью циркуля и линейки состоит в том, что устанавливается конечная последовательность основных (для циркуля и линейки), построений  в результате  выполнения которых будет построена фигура Ф.

    Решая задачу с помощью циркуля и линейки, мы получаем точки лишь при выполнении следующих построений:

(1) Построение точки пересечения двух известных прямых (которые для этого предварительно строятся).

(2) Построение общих точек построенной окружности и известной прямой (для чего эта известная прямая строится на одном из предыдущих этапов построения)

(3) Построение общих точек двух построенных окружностей.

(4) Построение любого конечного числа точек, принадлежащих известной прямой (или известному лучу или известному отрезку), для чего эта прямая предварительно строится.

(5) Построение любого конечного числа точек, принадлежащих построенной окружности (или дуге окружности).

(6) Построение точки, заведомо не принадлежащей соединению конечного числа построенных точек, построенных окружностей (или дуг окружностей) и известных прямых (для чего известные прямые предварительно строятся).

    Для выполнения построений (3) и  (5) достаточно располагать только циркулем. Остается доказать, что и другие построения также выполнимы исключительно  циркулем. Иными словами, мы должны доказать, что при наличии только циркуля можно выполнить следующие построения.