Задачи на построение с помощью циркуля и линейки

Содержание 

Введение…………………………………………………………………………...3

1 Постулаты построений (аксиомы построения)………………………………..5

   1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии……………………………...5

  1.2 Аксиома построения одним циркулем…………………………………….8

2 Задачи  на построение с помощью циркуля  и линейки……………………….9

   2.1 Понятие задачи на построение……………………………………………..9

   2.2 Схема решения задач на построение……………………………………..13

3 Теорема Мора – Маскерони…………………………………………………..15

4 Инверсия и ее основные свойства…………………………………………….19

5 Решение геометрических задач на построение одним циркулем…………..23

Заключение……………………………………………………………………….28

Список  использованной литературы…………………………………………...29  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

    Геометрические  построения являются существенным фактором математического образования; они  представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Теория геометрических построений составляет теоретическую основу практической графики: многие чертежные приемы опираются на решения геометрических задач на построение.

    Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки.

    Геометрические  построения могут сыграть серьезную  роль в математической подготовке школьника, поэтому данная тема является важной для учителя математики. Ни один вид задач не дает столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия им учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков. К сожалению, данный раздел геометрии не входит в программу курса геометрии вуза и изучается только факультативно.

    Объектом  исследования в моей курсовой работе являются геометрические построения различными средствами.

    Предметом исследования являются геометрические построения с помощью одного циркуля.

      Цель моей курсовой работы  – изучить геометрические построения  одним циркулем.

    Для достижения заданной цели были поставлены следующие задачи:

  –    проанализировать    литературу,    посвященную геометрическим 

        построениям на плоскости;

–    рассмотреть доказательство теоремы Мора – Маскерони;

–    изучить метод инверсии в геометрии циркуля;

–    подобрать и решить геометрические задачи на построение одним

      циркулем.

      Работа состоит из введения, шести разделов и заключения.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1 Постулаты построений (аксиомы построения). 

1. Общие аксиомы конструктивной геометрии.

    Основные  требования (постулаты) конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты чертежной практики. Они являются аксиомами, принимаются без доказательства и служат в дальнейшем логической основой конструктивной геометрии. Перейдём к рассмотрению этих ocнoвныx положений (аксиом) теории геометрических построений.

    Если   о   какой – либо фигуре сказано,   что   она дана,   то   при   этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т. е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

I. Каждая данная фигура построена.

    Заметим, что не следует смешивать понятия  «данная фигура» и «фигура, заданная (или определенная) такими-то данными  её элементами». В последнем случае дана не сама фигура, а лишь некоторые  её элементы, которые определяют наложение этой фигуры. Например, если даны две точки прямая, то существует единственная прямая, соединяющая эти точки, т. е. эта прямая определена двумя точками, т.е. эта прямая определена двумя точками, но это не означает, что прямая эта построена. Точно так же центр О и точка А на окружности определяют эту окружность по величине и положению, но если сказано только, что даны точки О и А, то ещё не следует считать (в том смысле, как это понимается в конструктивная геометрия), что дана сама окружность.

    Представим  себе, что построена полуокружность АmВ (рис. 1.1), а также построена и полуокружность АnВ. Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность АmВnА.

Рисунок 1.1 

Точно так же, если построен луч АМ некоторой  прямой (рис. 1.2),а затем луч BN той же прямой, то, считается, что построена прямая MN, являющаяся соединением этих лучей.

Рисунок 1.2 

Если  построены три отрезка АВ, ВС и  СА. то нет надобности строить что-либо еще, чтобы построить треугольник  АВС. Эти примеры разъясняют смысл  следующего постулата:

II. Если построены  две (или более)  фигуры, то построено  и соединение этих  фигур.

    Представим  себе, что построены два отрезка  одной прямой: АВ и CD. Естественно, считается  возможным ответить на вопрос, принадлежит  ли отрезок CD целиком отрезку АВ (рис. 1.3) или нет (рис. 1.4).  

                                     Рисунок 1.3                 Рисунок 1.4 

    Если  построена окружность и точка, то при непосредственном рассмотрении чертежа можно ответить на вопрос, лежит ли построенная точка на построенной окружности или нет. Вообще, если построены две фигуры, то считается известным, является ли одна из них частью другой или нет. А так как фигура Ф1, является частью фигуры Ф2 в том и только в том случае, когда разность Ф1/ Ф2 представляет собой пустое множество, то третье основное требование теории геометрических построений можно выразить в следующей форме:

III. Если построены  две фигуры, то  можно установить, является ли их  разность пустым  множеством или  нет.

    Пусть А, В, С, D - 4 точки прямой (рис. 1.5). Допустим, что отрезки АС и BD построены. Тогда будем считать построенными как отрезок АВ, который является разностью отрезков АС и ВО, так и отрезок СD, , который является разностью отрезков BD и АС. Другой пример: если построена окружность и на ней точка, то мы считаем построенной также ту фигуру, которая останется если   из   окружности удалить     эту   точку,  т. е.   считаем  построенной разность  между  окружностью  и  точкой.

Рисунок 1.5 

IV. Если разность  двух построенных  фигур не является  пустым  множеством, то эта разность  построена. 

    Построив  две прямые, мы всегда считаем возможным  сказать, пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены, то мы считаем возможным  установить (по чертежу), имеют ли они  общие точки. Это же относится  к любым двум построенным фигурам. Таким образом:

V. Еcли две фигуры  построены, то  можно установить, является ли их пepeсeчeниe пустым множеством или нет.

    С точки зрения чертежной практики последнее условие отражает определенные требования к качеству выполненных чертежей. Так, например, если построены некоторая окружность и точка, то должно быть ясно, лежит ли точка на окружности или нет. Если построены две окружности, то можно сказать, имеют ли они общие точки или нет.

    Обратимся еще раз к рисунку 1.5. Пусть известно, что построены отрезки АС и BD. В этом случае мы будем также считать построенным и отрезок BС, который является пересечением этих двух отрезков. Если начерчены две пересекающиеся окружности, то мы будем считать построенной также пару точек их пересечения. Такого рода соглашения выражаются cлeдующим образом:

VI. Еcли пepeceчениe двух  построенных фигур  не пусто, то  оно пocтpoeнo.

    В следующих трех основных требованиях  говорится о возможностях построения отдельных точек.

VII. Можно пocтpoить  любое конечное  число общих постpoeнных  фигур, если такие  точки существуют.

VIII. Можно пocтроить  точку, заведомo  принадлежащую построенной  фигуре.

IX. Можно построить точку, заведомо не принадлежащую построенной фигуре. Требования I–IX называют общими аксиомами конструктивной геометрии.  

2. Аксиома построения одним циркулем.

    Для конструктивной геометрии необходимо располагать точным и для математических целей полным описанием того или  иного инструмента. Такое описание дается в виде аксиом. Эти аксиомы в абстрактной математической форме выражают те свойства реальных чертежных инструментов, которые используются для геометрических построений.

    Наиболее  употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями) и некоторые другие. Перейдем к формулировке аксиомы циркуля:

Циркуль позволяет выполнить следующие  геометрические построения:

а) построить  окружность, если построены центр  окружности и отрезок, равный радиусу  окружности (или его концы).

б) построить  любую из двух  дополнительных дуг  окружности, если построены центр  окружности и концы этих дуг. 

2 Задачи на построение  с помощью циркуля  и линейки. 

2.1 Понятие задачи на построение.

    Задача  на построение состоит в том, что  требуется построить наперед  указанными инструментами некоторую  фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения  между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

    Каждая  фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

    Найти решение задачи на построение - значит свести ее к конечному числу основных построений, т.е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет  уже считаться построенной в  силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений, а следовательно и  ход решения задачи, существенно  зависит от того, какие  именно инструменты  употребляются для построения.

    Во  всякой задаче на построение требуется  по каким-либо данным фигурам построить  искомую фигуру, удовлетворяющую  тем или иным условиям. При этом указывается (т. е. формулируется явно или подразумевается), с помощью  каких чертежных инструментов следует выполнить построение искомой фигуры. Здесь могут представиться различные комбинации из следующих инструментов: линейка, угольник, транспортир, циркуль с данным раствором, линейка с параллельными краями и др. В школьном курсе геометрии обычно рассматриваются задачи на построение с помощью циркуля и линейки, поэтому в дальнейшем всюду, где не оговорено противное, предполагается, что все построения должны быть выполнены с помощью этих инструментов.

    Предполагается, что линейка как инструмент геометрических построений не имеет масштабных делений  и с ее помощью можно провести прямую, проходящую через две данные или построенные точки. Никаких других операций выполнить линейкой нельзя. С помощью циркуля как инструмента геометрических построений можно описать окружность с центром в данной или построенной точке и радиусом, равным данному или построенному отрезку.