Виды измерений в геодезических сетях

При вычислении δ_r предполагается, что точки стояния отражателей совмещены с точками стояния теодолита.

При определении длин линий, приведенных  к горизонту и редуцированных по нормалям на референц-эллипсоид с физической поверхности Земли, необходимо вычислить поправки в приведенные к центрам длины линий. Для более ясного представления сути вводимых поправок, покажем на рисунке основные величины, используемые для их вычисления (рис. 5).

Для линий менее 100 км, поверхность относимости можно  принять за сферу с центром в точке 0, радиус которой равен радиусу кривизны эллипсоида вдоль измеряемой линии.

Принятые обозначения  на рисунке:

АО и ВО –  нормали к референц-эллипсоиду;

АА' = i_А – высота дальномера;

ВВ' = i_В – высота отражателя;

B'b" = h – превышение;

– нормальные высоты точек

 – высоты квазигеоида над  эллипсоидом;

R_A – радиус кривизны референц-эллипсоида по направлению азимута А линии АВ;

A'b" = D_r – горизонтальное проложение линии;

a'b'' = D _{э л} – длина линии на эллипсоиде;

D_о – хорда;

– геодезическая высота точки А;

 – геодезическая высота точки В.

Рис.5. Определение  
эллипсоидальной длины линии

 

 

2.2. Приведение измеренных наклонных расстояний к горизонту

Вычисление  горизонтального проложения измеренных длин линий, приведенных к центрам, выполняется по формуле:

D_r = D + δ_h                                                                  (15)

где δ_h – поправка за приведение к горизонту.

Ее значение находится по следующей формуле:

                                                 (16)

где – превышение отражателя над дальномером, определяемое разностью их нормальных высот;

i_А, i_В – высоты отражателя и дальномера над центрами пунктов А и В.

Вычисление  δ_h и длин линий, приведенных к горизонту, покажем в табл. 12.

Таблица 12

Длины линий, приведенные  к горизонту

Название   линий	D, М	Нормальные  высоты пунктов, м		h, м	δh м	Dr, м
Т–П	14814.150	183.545	180.171	–3.374	0.000	14814.150
Т–3	12368.052	183.545	183.466	–0.079	0.000	12368.052
Т–С	12681.352	183.545	177.730	–5.815	–0.001	12681.351
Т–Б	19733.921	183.545	208.772	+25.227	–0.016	19733.905
3–С	15705.209	183.466	177.730	–5.736	–0.001	15705.208
С–П	23342.585	177.730	180.171	+2.441	0.000	23342.585

 

2.3. Определение эллипсоидальных  длин линий

Длина линии на эллипсоиде вычисляется по формуле:

D_{э л}  = D_r + δ_H + δ_R                                                           (17)

где δ_H – поправка в линию за переход к длине хорды на эллипсоиде;

δ_R – поправка за переход от хорды к искомой ее длине на поверхности референц-эллипсоида.

С учетом принятых обозначений на рис. 5 приведем формулы  вычисления указанных поправок:

                                           (18)

                                                  (19)

где – геодезическая высота средней точки измеренной стороны над поверхностью референц-эллипсоида;

R_A – радиус кривизны эллипсоида в этой точке по направлению азимута А данной стороны.

Геодезическая высота любой точки H_k находится по формуле:

.                                             (20)

где – нормальная высота центра пункта над уровнем моря;

i_k – высота установки дальномера или отражателя над центром пункта;

ζ_k – аномалия высоты в этой точке – превышение квазигеоида над референц-эллипсоидом.

В нашем случае ζ_k = 0.

Радиус кривизны референц-эллипсоида для каждой из сторон выбирается из прилож. 2 или из прилож. 6 в [1] по ее геодезическому азимуту и широте средней точки стороны. Геодезический азимут может быть вычислен по формуле:

А_АВ = α_АВ+ γ_А – δ_АВ                                                        (21)

где α_АВ – дирекционный угол данной стороны;

γ_А – гауссово сближение меридианов на первом пункте сети;

δ_АВ – поправка в направление за кривизну изображения стороны на плоскости.

Ввиду небольших  значений γ (не более 12' для сторон, расположенных не далее 25 км от осевого меридиана) и δ полагаем в вычислениях: А_АВ = α_АВ. Вычисления эллипсоидальных длин приведем в табл. 13.

Таблица 13

Вычисление эллипсоидальных  длин линий

Назв. лин	Dr, м	Hm, м	А	RA, км	δН, м	δR, м	Dэ л, м
Т–П	14814.150	181.858	141°	6384.6	–0.422	0.003	14813.731
Т–З	12368.052	183.506	307	6388.0	–0.355	0.002	12367.699
Т–С	12681.351	180.588	25	6381.7	–0.359	0.002	12680.994
Т–Б	19733.905	196.158	101	6392.5	–0.605	0.008	19733.308
З–С	15705.208	180.548	75	6392.0	–0.443	0.004	15704.769
С–П	23342.585	178.950	170	6380 .0	–0.655	0.013	23341.943

 

2.4. Редуцирование эллипсоидальных  длин линии на плоскость

Длина линий на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера определяется следующим  выражением:

D_пл – D_эл + δD ,                                    (22)

где                                                            (23)

есть поправка за редуцирование  длины стороны.

Здесь: – средняя ордината линии i_k,

∆y = y_k – y_i,

R_m – средний радиус кривизны референц-эллипсоида на широте данного объекта. R_m выбирается из прилож.1 по широте В. В нашем случае для В = 55° 40' R_m  = 6386 км.

Вычисление  длин линий на плоскости, полученных по формулам (22, 23) приведены в табл. 14.

Таблица 14

Длины линий на плоскости

Наз. ст.	Dэ л., м	Yi, м		Ym, км	Q, м	∆y, км	Q, м	δD, м	Д, пл м
Т–П	14813.731	9803	19086	14.444	0.038	+9.283	0.001	0.039	14813.770
Т–З	12367.699	9803	000	4.902	0.004	–9.803	0.001	0.005	12367.704
Т–С	12680.994	9803	15204	12.503	0.024	+5.401	0.000	0.024	12681.018
Т–Б	19733.308	9803	29167	19.485	0.092	+19.364	0.008	0.100	19733.408
З–С	15704.769	000	15204	7.602	0.011	+15.204	0.004	0.015	15704.784
С–П	23341.943	15204	19086	17.145	0.084	+3.882	0.000	0.084	23342.027

 

    

В дальнейшем сводная  таблица плоских длин линий используется для оценки качества выполненных  измерений по свободным членам возникающих в сети условных уравнений.

 

3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ВЫПОЛНЕННЫХ  ИЗМЕРЕНИЙ  
ПО СВОБОДНЫМ ЧЛЕНАМ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Для оценки качества выполненных измерений составляют в оцениваемой сети условные уравнения связи, находят свободные члены условных уравнений и сравнивают их с допустимыми значениями, определяемыми известной формулой (6). Определение общего числа независимых условных уравнений в плановой сети производится по формуле:

r = N – 2k                                                       (24)

где N – общее числе  измеряемых величин (углов и сторон);

k – число определяемых пунктов.

Обозначим на схеме сети (рис. 6) измеренные углы и стороны и произведем общий подсчет числа условных уравнений по формуле (24) и по видам для данной сети:

Г = 17 – 4 = 13

По видам:

1) фигур –  4

2) полюсное –  1

3) дирекционого жесткого угла – 1

4) жестких сторон  – 1

5) синусные условия – 6

Итого: 13

Рис. 6. Схема сети

 

Значения свободных  членов условных уравнений фигур  получены при обработке угловых  измерений в разделе 1. Их величины не превышают допустимого значения, что говорит о хорошем качестве выполненных угловых измерений.

 

 

3.1. Оценка качества  угловых измерений

 

3.1.1. Полюсное условие

Полюсное условие  возникает в геодезическом четырехугольнике СБПТ (рис. 7). Геометрический смысл полюсного  условия состоит в вычислении одной из сторон четырехугольника дважды через измеренные углы. За полюс можно выбрать любую из вершин четырехугольника или фиктивное пересечение диагоналей. В последнем случае в условном уравнении полюса участвуют все углы, входящие в геодезический четырехугольник.

Рис. 7. Схема сети

 

Полюсное условие составляется через отношения сторон и противолежащих им углов. Выбрав за начало одну из обозначенных сторон от пересечения диагоналей (см. рис. 7) составляем их отношение как каждой последующей стороны к предыдущей

                                                      (25)

 

Тогда условное уравнение связи запишется как

                                    (26)

где 1', 2',   ...  – уравненные углы.

В соответствии с данным выражением линеаризованное  условное уравнение полюса запишется в следующем виде:

ctg2V₂+ctg3V₃+ctg5V₅+Ctg8V₈–ctglV₁–ctg4V₄–ctg6V₆–ctg7V₇+W_n=0.                 (27)

Свободный член полюсного условия определяется как

                               (28)

а его допустимое значение находится в соответствии с приведенной выше формулой (6):

                                          (29)

Вычисление  свободного члена и его допустимого  значения приведены в табл. 15.

Таблица 15

Вычисление  свободных членов и коэффициентов при поправках в углы

Числитель				Знаменатель
Углы βi	Значения углов	sinβi	ctgβi	Углы βi	Значения углов	sinβi	ctgβi
2	32°51'44.26"	0.542622	1.548	1	62°02'17.7 1"	0.883261	0.531
3	48 38 03.68	0.750507	0.880	4	36 27 53.54	0.594330	1.353
5	75 53 17.75	0.969822	0.251	6	40 05 39.25	0.644047	1.188
8	29 13 59.78	0.488366	1.787	7	34 47 05.27	0. 570496	1.440

 

П₁ = 0.192881 П₂  = 0.192880

 

3.1.2. Условие жесткого дирекционного  угла

Для нашей сети данное условное уравнение связи запишется в следующем виде:

α_БС – β'₃ – β'₄ – α_БП = 0                                                            (30)

а значение свобного члена выразится как

Wα = α_БС – β₃ – β₄ – α_БП                                     (31)