Построение геометрической модели местности по паре аэрофотоснимков аналитическим методом

                                        (1.2)

       С учетом формул составляющих базиса фотографирования в вариантной системе (1.1), можно записать условие компланарности соответственных лучей (1.2) в вариантной системе:

                    .                                       (1.3)

 

    Поскольку базис фотографирования В не равен 0, то можно разделить обе части  уравнения (1.3) на величину В_Х, тогда:

 

                                                   (1.4)

    Разложим  определитель (1.4) по элементам первой строки:

                     (1.5)

    или

                             (1.6)

    Выражение (1.6) это есть условие компланарности соответственных лучей в вариантной системе. Уравнение (1.6) является исходным уравнением для определения элементов взаимного ориентирования снимков в вариантной системе: æ₁^’, α₂’,ω₂’, æ₂^’, ν. Эти элементы взаимного ориентирования снимков входят в уравнение (1.6) в неявном виде.

    Чтобы получить уравнение (1.6), записанное через элементы взаимного ориентирования снимков, представим формулы связи пространственных координат точек снимков с плоскими координатами:

                         ,                    (1.7)

    где - элементы внутреннего ориентирования снимков;

     - плоские координаты точек соответственно левого и правого снимков.

  - направляющие косинусы, являющиеся соответственно функциями элементов взаимного ориентирования левого и правого снимков, которые будут иметь в вариантной системе №11 следующий вид:

1. для левого снимка:

,                                          (1.8)

 
 
 

2. для правого  снимка:

,                                           (1.9)

 

    Подставим в уравнение (1.6), записанное через элементы взаимного ориентирования снимков, формулы пространственных координат (1.7) и выражения направляющих косинусов (1.8), (1.9) для левого и правого снимков соответственно в вариантной системе и в результате получим:

                                                                                                                   (1.10)

      Таким образом, уравнение (1.10) является исходным уравнением взаимного ориентирования снимков в вариантной системе, куда элементы взаимного ориентирования снимков входят в явном виде.

    В уравнении (1.10) будут известны элементы внутреннего ориентирования снимков и плоские координаты точек левого и правого снимков х₁, у₁ и х₂, у₂, которые измеряют с помощью стереокомпаратора, либо измеряются и параллаксы р и q. Неизвестными в уравнении (1.10) будут элементы взаимного ориентирования снимков в вариантной системе æ₁^’, α₂^’, ω₂^’, æ₂^’, ν.

    Для определения пяти неизвестных необходимо иметь минимум пять уравнений вида (1.10).Каждая точка стереопары, для которой измерены либо х₁, у₁ и х₂, у₂ ,либо х₁, у₁ ,p,q позволяет составить одно уравнение вида (1.10) с пятью неизвестными. Следовательно, для определения элементов взаимного ориентирования снимков необходимо измерить плоские координаты и параллаксы более пяти точек стереопары. На практике используют 12 – 18 точек стереопары.

      Из  ТМОГИ известно, что чем больше избыточных уравнений (измерений), тем  задача решается точнее. Из уравнения (1.10) видно, что они являются нелинейными по отношению к неизвестным элементам взаимного ориентирования снимков, т.к. они являются аргументами тригонометрических функций, поэтому напрямую определить неизвестные нельзя.

      Для решения уравнений (1.10) будем использовать итерационный метод, в котором нелинейные уравнения приводятся к линейному виду путем разложения функций в ряд Тейлора.

2. Решение строгого уравнения взаимного ориентирования снимков в вариантной системе

    Решение уравнений взаимного ориентирования снимков итерационным методом заключается в следующем:

    1) Зададим приближенные значения  элементов взаимного ориентирования  снимков в вариантной системе

     ,

т.к. на практике при аэрофотосъемке получают плановые или гиростабилизированные снимки, приближенные значения элементов взаимного ориентирования снимков можно задать равными нулю;

    2) В качестве неизвестных будем  определять поправки к приближенным  значениям элементов взаимного ориентирования снимков ;

    3) Приведем строгое уравнение (1.6) взаимного ориентирования снимков в вариантной системе к линейному виду.

    Для этого представим выражение (1.6) в виде функции от элементов взаимного ориентирования снимков в вариантной системе:

           (1.11)

    Разложим  функцию (1.11) в ряд Тейлора, ограничиваясь величинами первого порядка малости, т.е. первыми производными, для того, чтобы уравнение (1.10) стало линейным, поскольку при учете второго и более высоких порядков после разложения функции (1.11) в ряд Тейлора будем иметь достаточно сложное уравнение, которое по-прежнему будет нелинейным.      Таким образом, можно записать, что:

 (1.12)

      где:

=0 - истинное значение функции (1.11), равное нулю;

- приближенное значение функции, вычисленное по формуле (1.11), подстановкой в нее приближенных значений элементов взаимного ориентирования снимков ;

     ; ; ; ; - первые производные от функции (1.11), взятые по элементам взаимного ориентирования снимков и вычисленные через приближенные значения элементов взаимного ориентирования снимков.

      Таким образом, уравнение (1.12) будет линейным уравнением взаимного ориентирования снимков в вариантной системе, неизвестными в котором будут только поправки к приближенным элементам взаимного ориентирования снимков  .

          Для решения уравнений (1.12) необходимо получить выражения первых производных по элементам взаимного ориентирования снимков от функции (1.11). Запишем их для вариантной системы №11:                                                                                                              (1.13)

      Обозначим в уравнении (1.12) первые производные от функции (1.11) в виде коэффициентов:

                            . (1.14)

    Перенесем в правую часть в уравнении (1.12) и получим формулу свободного члена:

                      . (1.15)

 
 

    Тогда разложение (1.12) примет вид:

                  (1.16)

    Уравнение (1.16) будет линейным по отношению к неизвестным .

    В уравнениях (1.16) справа будет стоять ноль, если число уравнений равно числу неизвестных, т. е. для определения пяти неизвестных необходимо измерить в пределах стереопары плоские координаты и параллаксы минимум пяти точек.

      На  практике число измеренных точек всегда больше пяти в пределах стереопары, тогда уравнений (1.16) будет больше числа неизвестных, т. е. имеет место задача уравнивания. В этом случае вместо уравнений (1.16) будем иметь уравнения поправок вида:

                       (1.17)

      Для решения задачи уравнивания будем  использовать метод наименьших квадратов (МНК), при этом задача уравнивания будет решаться под условием:

[pυυ] = min                                                         (1.18)

 

      Для решения уравнений (1.17) сначала вычисляются  коэффициенты a , b, c, d, e и свободные члены l через элементы внутреннего ориентирования снимков f, x_o, y_o и приближенные значения элементов взаимного ориентирования снимков , а также плоские координаты x₁, y₁. x₂, y₂ для каждой точки, участвующей в определении элементов взаимного ориентирования снимков. Если число этих точек будет равно n, то получим систему из n уравнений вида (1.17):

                                    (1.19) 

    Запишем уравнения поправок в матричном  виде для   точек стереопары:

                               , (1.20)

где  - матрица коэффициентов уравнений поправок, имеющая вид:

                          ; (1.21)

     - вектор неизвестных

                                  ; (1.22)

 

     - вектор свободных членов

          ;

                                        (1.23)

     - вектор поправок

                                   . (1.24)

    Таким образом, при вычислении элементов  взаимного ориентирования снимков  в компьютере будут получены матрица  коэффициентов поправок А_n,5 и вектор свободных членов L_n,1.

    Далее выполняется переход к нормальным уравнениям по формуле:

,                                    (1.25)

где А_5,n – трансформированная матрица по отношению к матрице А_n,5.

    Или нормальные уравнения можно записать:

                               , (1.26)

    где                                                                                         (1.27)

                                                   

     - матрица коэффициентов нормальных  уравнений;

     - вектор свободных членов нормальных уравнений. Число нормальных уравнений равно числу неизвестных.

      Из  решения нормальных уравнений (1.25) можно найти вектор неизвестных:

                                , (1.28)

    где - обратная матрица по отношению к матрице коэффициентов нормальных уравнений .

    Тогда исправленные значения неизвестных будут получены в первой итерации как:

                                . (1.29)

    Поскольку при разложении в ряд Тейлора функции (1.11) ограничивались первыми производными, то полученные исправленные значения неизвестных не будут являться окончательными. Для уточнения элементов взаимного ориентирования снимков используется итерационный метод решения задачи, т. е. выполняется следующее приближение.

    Для того, чтобы перейти к следующей итерации, проверяется условие:

                               , (1.30)

где k, (k-1) – номер последующей и предыдущей итерации,

       ε – допустимая величина, которая  зависит от цели определения  элементов взаимного ориентирования снимков.

 

    Если  условие (1.30) не выполняется, то необходимо выполнить следующую итерацию по уточнению элементов взаимного ориентирования снимков.

    Вместо  условия (1.30) для окончания итерационного  процесса можно использовать условие вида:

    N ≤ N_{заданное,}                                                                                (1.31)

    где N_{заданное} – заданное количество итераций.