Оглавление 
 

Задание 1 3

Задание 2 15

Задание 3 26

Список использованной литературы 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 1

 

    Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года):

    Таблица 1

    Исходные  значения заданного временного ряда

 

    Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

    -    случайности остаточной компоненты  по критерию пиков;

    -   независимости уровней ряда остатков  по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

    - нормальности распределения остаточной  компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

    Решение:

    Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий общий  вид:

                            

                        (1)

    где k – период упреждения;

     - расчетное значение экономического  показателя для t-го периода;

     , , - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

     - значение коэффициента сезонности  того периода, для которого  рассчитывается экономический показатель;

    L – период сезонности (для квартальных данных L = 4).

    Уточнение (адаптация к новому значению параметра  времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

                            

                 (2) - (4)

    Параметры сглаживания α₁, α₂ и α₃ подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

    Из  формул видно, что для расчета  и необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е для t=1-1=0).

    Значения  и имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные.

    Для оценки начальных значений и применим линейную модель к первым восьми значениям заданного временного ряда (Таблица 2).

    Линейная  модель имеет вид: . Оценим коэффициенты линейной модели и с помощью метода наименьших квадратов:

    

 
 
 
 

    Таблица 2

    Расчёт  коэффициентов линейной модели

 
 

    

    

    

    

    

    _{Решение системы:}

    

    

    Линейная  модель с учетом полученных коэффициентов  имеет вид:

    

    Коэффициент сезонности для 1-го квартала предыдущего  первому года:

    

    Коэффициент сезонности для 2-го квартала предыдущего  первому года:

    

    Коэффициент сезонности для 3-го квартала предыдущего  первому года:

    

    Коэффициент сезонности для 4-го квартала предыдущего  первому года:

    

    Перейдем к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса. Путём перебора возможных значений параметров сглаживания было установлено, что лучшими являются:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=0, k=1, находим Y₁:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=1, находим:

    

    

    

    Из  уравнения (1), полагая t=2, Y₂:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=2, находим:

    

      Из уравнения (1), полагая t=3, Y₃:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=3, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=4, Y₄:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=4, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=5, Y₅:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=5, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=6, Y₆:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=6, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=7, Y₇:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=7, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=8, Y₈:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=8, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=9, Y₉:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=9, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=10, Y₁₀:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=10, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=11, Y₁₁:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=11, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=12, Y₁₂:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=12, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=13, Y₁₃:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=13, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=14, Y₁₄:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=14, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=15, Y₁₅:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=15, находим:

    

    Из  уравнения (1), полагая t=16, Y₁₆:

    

    Из  уравнений (2-4), полагая t=16, находим:

    

    Таблица 3