Формулировка законов механики

 (,1,)

 Так как магнит покоится, то сила F2 равна по модулю и противоположна по направлению силе , с которой на него действует брусок:

 

 (,2,)

 

Точно так же равны по модулю и противоположны по направлению силы, действующие на брусок со стороны магнита и пружины:

 (,3,)

Из равенств (,1,), (,2,), (,3,) следует, что  силы, с которыми взаимодействуют магнит и брусок, равны по модулю и противоположны по направлению:

 

Третий закон  Ньютона

 

На основе этого и подобных опытов можно сформулировать третий закон  Ньютона.

Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны  по модулю и направлены вдоль одной  прямой в противоположные стороны.

Это означает, что если на тело А со стороны тела В действует сила F_A, то одновременно на тело В со стороны тела А действует сила , причем

F_A = -F_B. (,5,)

Используя второй закон Ньютона, можно  равенство (,5,) записать так:

 (,6,)

Отсюда следует, что

 

 (,7,)

 

Отношение модулей и ускорений взаимодействующих тел определяется обратным отношением их масс и совершенноне зависит от природы действующих между ними сил.

Как уже говорилось в начале этого параграфа, более массивное тело получает небольшое ускорение, а менее массивное — значительно большее.

В этом можно убедиться на следующем  простом опыте. Поставим на гладкие рельсы две тележки одинаковой массы и на одной из них закрепим небольшой электрический двигатель, на вал которого может наматываться нить, привязанная к другой тележке, а на другую поставим гирю, масса которой равна массе двигателя. При работающем двигателе обе тележки устремляются с одинаковыми ускорениями навстречу друг другу и проходят одинаковые пути. Если массу одной из тележек сделать вдвое большей, то ее ускорение окажется в два раза меньше, чем другой, и за то же время она пройдет вдвое меньший путь.

Связь ускорений взаимодействующих  тел с их массами можно установить и на таком опыте: на горизонтальную платформу помещают два катка разной массы, соединенные нитью. Опыт покажет, что можно найти такое положение катков, когда они при вращении платформы не перемещаются по ней. Измерив радиусы обращения катков вокруг центра платформы, определим отношение центростремительных ускорений катков:

 

 

Сравнив это отношение с обратным отношением масс тел , убеждаемся, что при любых скоростях вращения платформы.

 

Решая ту или иную задачу механики, мы в конечном счете основываемся на трех законах: на законе F=ma, на законе действия и противодействия и на правиле параллелограмма сил. Но равенства, выражающие эти законы, остаются справедливыми при любых изменениях масштаба основных величин. Отсюда следует, что это верно не только для перечисленных законов, но вообще для всех формул механики. Поэтому к задачам механики можно безбоязненно применять метод размерностей.

В этом параграфе мы будем пользоваться системой LMT. Ниже приводятся размерности ряда механических величин в этой системе (табл. 1).

 

 

Таблица 1

Размерности механических величин в системе LMT

Величина	Размерность	Единица измерения   в системе СИ
Длина Масса Время Площадь Объем Угол Скорость Ускорение Угловая скорость Угловое ускорение Период Сила, вес Плотность Давление Импульс Момент количества движения Работа, энергия Мощность Момент силы Модуль упругости	L M T L2 L3 1 LT-1 LT-2 T-1 T-2 T LMT-2 L-3M L-1MT-2 LMT-1 L2MT-1 L2MT-2 L2MT-3 L2MT-2 L-1MT-2	м кг. сек. м2 м3 рад. м/сек. м/сек2 рад/сек. рад/сек2 сек н кг/м3 н/м2 н сек кг м2/сек Дж Вт н м н/м2

 

 

Пример 1. Математический маятник отклонен на угол 45° и отпущен без начальной скорости. Исследовать зависимость периода колебаний от длины маятника.

Решение. Искомый период т зависит от длины l, массы маятника т и его веса Р. (Будем считать, что маятник колеблется на некоторой произвольно выбранной планете.) Таким образом,

 

 

Далее ищем степенную комбинацию

 

 (1).

 

удовлетворяющую условию

 

 (2). 

 

Так как

 

  ,

то

 

 
и равенство (2) принимает вид

 

 

откуда

 

Решив эту систему уравнений, найдем

 

, , .

 

 

Таким образом, функция (1) имеет вид

 

 

 

причем это единственная степенная комбинация величин l, m и Р, удовлетворяющая условию (2). Следовательно, безразмерные комбинации этих величии невозможны, и поэтому

 

 

 

Учтя теперь, что P=mg, получим

 

 (3)  

 

 

Равенство (3) показывает, что период колебаний математического маятника пропорционален и обратно пропорционален .

Если бы начальный угол отклонения маятника был равен не 45°, а, скажем, 60°, то зависимость (3) была бы точно такой же, но константа С имела бы другое значение. Следовательно, в общем случае можно написать

 

 (4)

где — амплитуда колебаний маятника. Функция F остается при этом неопределенной. (Как известно, если невелико, то ).

 

Пример 2. Однородный цилиндр катится по горизонтальной плоскости под действием силы F. Считая, что скольжение отсутствует, исследовать зависимость ускорения точки О от величины силы F.

Решение. Искомое ускорение а может зависеть от трех величин: от силы F, от массы цилиндра т и от его радиуса R:

Пользуясь методом размерностей, подбираем  функцию

 

 

 

удовлетворяющую условию

 

 

Учитывая что

 

получаем

 

 

Решив эту систему, найдем

 

 

т. е.

 

 

Так как найденная степенная  комбинация — единственная, приходим к выводу, что

 (4)

где С—некоторая (неизвестная) константа.

Полученный результат показывает, что ускорение этого цилиндра не зависит от его радиуса (при  заданном значении m),

Пример 3. Вообразим, что на Северном полюсе Земли вырыт колодец, доходящий до ее центра. Пусть из точки А этого колодца начинает падать камень, не встречающий на своем пути сопротивления воздуха. Исследовать зависимость времени его падения от высоты Н.

Решение. Искомое время т может зависеть лишь от высоты Н и от ускорения, с которым движется камень. Найдем это ускорение.

Рассмотрим силу F, с которой камень притягивается к центру Земли Известно, что внутри Земли эта сила изменяется по закону

(5) 

 

где k — коэффициент пропорциональности Величину его легко найти, полагая x=R. Так как F должно быть в этом случае равно , то

 

 откуда

 

 

Подставив это значение в (5), получим

 

 

и, следовательно, ускорение, с которым движется камень,

 

 

 

 

Мы видим, что закон, по которому изменяется ускорение камня в процессе падения, характеризуется коэффициентом g/R. Следовательно,

 

 

Далее, пользуясь методом размерностей, получим

 

 

 

откуда

 

Таким образом,

 

 

Учитывая, что найденная степенная  комбинация является единственной, приходим к выводу, что,

 

 

 

где С—некоторый коэффициент. Равенство (43) показывает, что время падения этого камня не зависит от высоты Н.

Пример 4. Доказать, что вторая космическая скорость пропорциональна , где R— радиус планеты, a g—ускорение силы тяжести на ее поверхности. (Предполагается, что такая скорость существует. Иначе говоря, считается известным, что если начальная скорость тела достаточно велика, то оно удаляется в бесконечность.)

Решение. Пусть тело брошено с поверхности планеты вертикально вверх. Тогда на расстоянии x от ее центра

 

 

 

 

Мы видим, что закон, по которому изменяется ускорение этого тела, определяется коэффициентом Отсюда следует, что искомая скорость зависит от R и gR², т. е. от R и g. Обозначая вторую космическую скорость через можем написать

 

 

Далее, согласно методу размерностей, получим

 

 

 

Отсюда

 

 

Так как найденная степенная комбинация является единственной, то

 

 

Пример 5. Тело брошено вертикально вверх со скоростью, меньшей, чем вторая космическая. Пусть обозначает высоту, на которую поднимется это тело. Исследовать зависимость Н от v₀, g и R. (Сопротивление атмосферы не учитывать.)

Решение. Пусть обозначает степенную комбинацию величин v₀, g и R, удовлетворяющую условию:

 

 

Так как непосредственно видно, что этому условию удовлетворяет , а также то приходим к выводу, что величины допускают безразмерные степенные комбинации. Найдем их. Пусть

 

 

Учитывая, что

 

получаем

 

 

откуда

где произвольно. Следовательно,

 

Таким образом, каждая безразмерная комбинация рассматриваемых величин имеет вид Отсюда следует, что лишь одна из этих комбинаций, например, является независимой. Поэтому

 

где в качестве Р можно взять, например, Таким образом,

 

 (6). 

Что касается функции , то метод размерностей не позволяет сделать о ней никаких заключений. Тем не менее, полученный результат представляет некоторый шаг вперед, ибо равенство H=f(v₀, g, R) содержит неизвестную функцию трех аргументов, а равенство (6)—одного аргумента.

 Пример 6. Поток несжимаемой идеальной жидкости обтекает шар . Пусть скорость потока равна v, давление жидкости вдали от шара равно нулю и давление в точке А равно р. Исследовать зависимость р от v.

Решение. Так как жидкость является идеальной, т. е. совершенно невязкой, то течение будет ламинарным. Искомое давление, очевидно, зависит от плотности жидкости р, от скорости потока v и, может быть, от радиуса шара R:

Далее, пользуясь методом размерностей, получим

 

Следовательно,

 

и

Так как найденная степенная  комбинация — единственная, то

 

 (7) 

Равенство (7) показывает, что искомое давление пропорционально и не зависит от радиуса шара.

(В изложенном решении учитывалось  лишь динамическое давление жидкости; если же учесть и статическое давление, то равенство (7) примет вид

 

 (8) 
где р₀ — давление жидкости вдали от шара.)

 

Пример 7. Найти силу F, с которой поток действует на шар.

Решение. Как и в предыдущем примере

 

Таким образом,

 

 

 

 

(9) 
где С—неизвестный безразмерный коэффициент.

 

Соотношение (9) позволяет сделать интересный вывод. Так как это равенство верно при любых значениях v, то естественно предположить, что оно остается справедливым и в случае, когда v отрицательно, (т. е. когда скорость направлена в противоположную сторону). Поэтому можно записать: