Макростатистика

— простые;

— сложные.

Обычные (декурсивные) проценты начисляются в конце периода относительно исходной величины средств. Для начисления используется обычная ставка (г). Доход выплачивается в момент погашения.

Авансовые (антисипативные) проценты начисляются в начале периода относительно конечной суммы денег (сумма денег с процентами). Для начисления используется дисконтная (антисипативная) ставка (а¹). Доход выплачивается в момент предоставления кредита. Такая форма расчетов называется авансовой или учетом.

Простые проценты — в том случае, если весь срок обязательства начисляются на первоначальную сумму.

Сложные проценты — в том случае, когда база для начисления постоянно меняется за счет присоединения ранее начисленных процентов.

Рассмотрим  схему расчетов декурсивных (обычных) процентов, когда наращение производится по простой ставке процентов. Другими словами, проценты начисляются в конце периода на первоначальную сумму.

Введем условные обозначения, используемые в учебнике «Финансовая статистика», под ред. проф. В.Н.Салина.

PV(современная, настоящая — present value)- исходная сумма денег;

FV (от англ. future value) — наращенная сумма денег;

п — число процентных периодов;

i — ставка процентов за период;

I_n (от англ. Interest) — сумма процентных денег, начисленных за все процентные периоды.

Тогда расчет всей суммы дохода, то есть суммы процентных денег, будет производиться следующим образом:

 (1)

а расчет наращенной суммы:

 (2)

Недостаток  данного способа расчета в  том, что срок операции задан числом периодов. То есть предполагается, что периоды начисления процентов равны между собой и известна процентная ставка за период. На практике может возникнуть ситуация, когда период начисления процентов задан в днях или месяцах, а ставка процентов известна за период, отличных от заданного, например за год. В данной ситуации используют следующую формулу:

где t — срок операции, выраженный в днях или месяцах;

Y — продолжительность года, выраженный в днях или месяцах;

i — годовая ставка процентов.

Для расчета  срока операции в днях в банках имеются специальные таблицы, в которых все дни года пронумерованы. Тогда расчет срока операции будет осуществляться как разница между порядковым номером дня окончания операции и порядковым номером дня ее начала.

Например, предприятию  предоставлена ссуда с 04.04 по 06.08. текущего года. По таблице смотрим порядковые номера указанных дат и находим разницу между ними: 218(06.08) — 94(04.04.) = 124 (дней).

Продолжительность года в днях в банковских расчетах берется приближенно 360.

Пример расчета  суммы процентных денег (дохода).

Размер вклада в банке составил 150 тыс. руб. под 5% годовых. Определите процент по вкладу, если срок вклада составил 3 месяца.

Решение:

Формулы (1) и (2) используются при расчете суммы  наращения по срочным вкладам. А формулы (3) могут быть использованы при обслуживании вкладов до востребования, текущих счетов и т.д. В банковской практике подобные расчеты называют наращиванием «со ста».

На основе формулы (3) можно вывести формулу ставки доходности некоторых финансовых операций:

, здесь в качестве FV и PV могут быть использованы не только первоначальная и наращенная сумма вклада (ссуды), но и цена продажи и покупки финансового актива (облигации, акции и т.д.). Соответственно в качестве t будет рассматриваться время между покупкой и продажей актива.

В том случае, когда необходимо начислять проценты на постоянно меняющуюся сумму, например обслуживание текущих счетов в банке, используют следующее правило: общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке сумм. Дебетовые проценты прибавляются, кредитовые вычитаются.

Для начисления процентов на постоянные числа расчеты осуществляются на основании расчетов процентных чисел и дивизора.

Процентное  число  ,

где t — срок хранения в днях.

Дивизор

где Y — продолжительность года в днях;

i — годовая ставка процентов (в процентах).

Тогда вся сумма  начисленных процентов рассчитывается следующим образом:

.

Пример расчета  общей суммы начисленных процентов  на постоянно меняющуюся сумму

На  текущий счет предприятия поступили  средства:

01.03.—  1 523 000руб., 05.06.- 20 500руб., 30.07,— 247 000руб.  Дебетовое сальдо на начало  года составило 505 273 руб.

Снятие  средств осуществлялось 15.05.— 1 350 000 руб. Процентная ставка •— 10% годовых на остаток по счету.

Вычислите сумму начисленных процентов  и сумму средств на счете с  процентами по состоянию на 30.08. текущего года.

Общая сумма средств на счете без начисленных процентов составляет: 505 273 + 1 523 000 + 20 500 + 247 000 - 1 350 000 = 945 773 (руб.) Рассчитаем общую сумму начисленных процентов. Расчет оформим в таблице. Кредит

Дата снятия	Дни (t)	Сумма (РV)	Процентное (РV×t/100)
15.05. сальдо процентных чисел	242(30.08.)-135(15.05)=107	1350000	1444 500   2 639 267,9
30.08.			4 083 767,9

Дебет

Дата снятия	Дни (t)	Сумма (РV)	Процентное (РV×t/100)
01.01.   01.03.   05.06.   30.07.   30.08. (процентный  пла- теж)	242(30.08.)-1(01.01.)=241 242(30.08.)-60(01.03.)=182 242(30.08)-156(05.06)=86 242(30.08)-211(30.070=31	505273   1523000   20500   247 000   73313	1217707,9   2771860   17630   76570
30.08.			4083767,9

Для расчета  общего процентного числа по отдельности  находим сумму процентных чисел дебета и кредита. Большая сумма пишется в баланс дебета и кредита, а сальдо (разница между суммой дебета и кредита) проставляется там, где сумма меньше. Затем рассчитываем дивизор: 360/10 = 36.

Таким образом, 31 августа на счете вместе с процентами будет:

945 773+73 313= 1 019 086 (руб.)

Пример расчета  ставки процентов за период.

Корпоративные облигации номиналом 100 тыс. руб. со сроком обращения 9 месяцев продаются  в день выпуска по цене 60 тыс. руб., а через 90 дней ----- по цене 75,8 тыс. руб. Определите доходность облигаций к погашению и текущую доходность.

Для расчетов используем формулу ставки доходности.

доходность облигаций к погашению.

текущая доходность облигаций.

Рассмотрим  ситуацию, когда рассчитываются авансовые  проценты по дисконтной ставке простых процентов. То есть когда на основании суммы РУ определяют объем размещенных средств РУ. Например, когда известна номинальная цена акции и необходимо рассчитать цену продажи в день выпуска, известна номинальная цена векселя и нужно рассчитать выкупную стоимость векселя до срока погашения и т.д.

Вычисление PV основе FV называется дисконтированием. Формулы расчета выводятся из исходных формул простых процентов: (1), (2) и (3). Это действие называется учетом «на сто»:

 

Сумма начисленных  процетов будет рассчитываться:

На практике процедура дисконтирования осуществляется с использованием дисконтной ставки (d) и называется антисипативным (авансовым) расчетом или просто учетом.

Тогда расчет суммы, предоставляемой в долг, осуществляется следующим образом:

Расчет по данным формулам называется расчетом «со 100».

Скидка с  номинала равна разнице между FV и PVРУ и называется дисконтом (D)

Зная дисконтную ставку, можно рассчитать и сумму  наращения, подобный расчет носит название расчет «во 100»:

Пример расчета  суммы, предоставляемой в долг (РV).

Номинальная стоимость дисконтного векселя  составляет 100 д.е., дата погашения — 30 августа текущего года. Какова его выкупная цена на I августа, если вексельная ставки 40% годовых?

Известно, что РV = FV=100 д.е

t=30-1=29

d=40%

Сумма дисконта составит

Произведем  аналогичные расчеты, используя  при начислении сложные проценты, то есть когда сумма, на которую производится начисление, увеличивается на сумму начисленных процентов. Подобные расчеты называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов — их реинвестированием или капитализацией. Сложная ставка процентов используется:

— если начисленные  проценты капитализируются;

— при неоднократном  учете ценных бумаг (учете и переучете  на одинаковых условиях);

— для определения  арендной платы при лизинговом обслуживании;

— для оценки бескупонных облигаций;

— при определении  изменения стоимости денег под влиянием инфляции;

— при дисконтировании  денежных сумм  за ряд периодов времени  в проектном анализе.

Если расчет осуществляется по ставке декурсивных  процентов i, то наращенная сумма к концу периода п будет рассчитываться следующим образом:

где i — ставка процентов за период;

n — срок финансовой операции и число процентных периодов, так как проценты исчисляются по истечении каждого отрезка срока.

Выражение (1 + i)ⁿ называют коэффициентом (множителем) наращения.

В случаях, если проценты начисляются и присоединяются не по истечении года, а несколько  раз за год (т раз), то говорят о многократном начислении процентов. Наращение будет происходить быстрее, следовательно, общая сумма полученных процентов за год будет больше. В этом случае оговаривают не ставку за период, а годовую ставку процентов, которую обозначают j. Тогда ставка за период будет определяться: j/т. Годовую базовую ставку j называют номинальной, а ставку i, которая характеризует доходность операции с учетом внутригодовой капитализации, — эффективной.

На основании  нижеприведенного равенства рассчитывают эффективную ставку (I) и процентную ставку за период (j/т):

Наращенная сумма при внутригодовой капитализации т раз, определяется по формуле:

где тп — число процентных периодов, исчисленное на основе числа раз начисления процентов в году (т) и срока финансовой операции (п) в годах.

Если срок финансовой операции определен в днях или месяцах, то формула имеет следующий вид:

Если возникает  ситуация, когда при известной  наращенной величине FV нужно найти исходную величину PV, то есть осуществить операцию дисконтирования (учет «на 100»), расчет с использованием сложных процентов будет производиться следующим образом:

При неоднократном  учете дисконтных ценных бумаг (учете  и переучете) на одинаковых условиях дисконтирование по сложной ставке с1 выглядит так:

где d — учетная ставка;

п — срок до конца финансовой операции, равный числу раз учета.

Основное назначение методов ФЭР заключается в  том, чтобы выбрать наиболее оптимальный вариант вложения денег. Поэтом} необходимо рассмотреть все возможные способы осуществления расчетов, определить доходность операции по каждому вариант) и выбрать наиболее выгодный для вкладчика и заемщика.

В данном вопросе  рассмотрены наиболее простые методы ФЭР. которые используются для оценки разовых операций. Помимо этого ФЭР позволяют сделать оценку потоков финансовых платежей, делать поправку производимых расчетов на уровень инфляции и т.д.

Использование методов ФЭР позволяют не только оценить эффективность осуществляемых операций с точки зрения их участников, но и проводить оценку деятельности финансовых учреждений, насколько обоснованны принимаемые руководством решения и т.д.