Эконометрические модели с лаговыми переменными

      В этом случае зависимость от i аппроксимируется полиномом степени :

      При веса линейно убывают с ростом лага. При веса могут достигать максимума или минимума.

      Пусть, например, , а (квадратичная функция распределения лагов). После подстановки в и преобразований модель можно привести к виду:

где - линейные комбинации переменных :

 

Модель  геометрических лагов  Койка

      В этой модели предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

 - знаменатель геометрической прогрессии ( ).

      В данной модели всего три параметра: , , , однако их оценка осложняется нелинейностью модели. Можно поступить так: в диапазоне от 0 до 1 с некоторым шагом перебираются все возможные значения и для них находятся МНК-оценки и . Выбирается значение , для которого остаточная сумма квадратов минимальна.

      Уравнение можно преобразовать к виду:

 

      Суммарное воздействие всех лагированных переменных в модели (долгосрочный мультипликатор) составляет:

Средний лаг равен:

      При , а при , т. е. воздействие фактора на зависимую переменную в среднем занимает меньше одного периода времени.

      Величину  интерпретируют обычно как скорость, с которой происходит адаптация выхода во времени к изменению фактора .

      Медианный лаг в модели Койка равен:

 

Пример. Модель с полиномиальным лагом.

      Для описания динамики объемов ВВП США (млрд. долл. в ценах 1987 г.) и валовых внутренних инвестиций в экономику США (млрд. долл.) использована модель с распределенным лагом :

      Коэффициенты  модели аппроксимированы полиномом  второй степени  :

      После перехода к новым переменным:

      МНК произведена оценка модели:

      Возвращаясь к исходным переменным, получаем модель:

      Долгосрочный  мультипликатор равен 5,908, т. е. рост инвестиций в экономику США не менее 1 млрд. долл. через четыре года приведет к росту ВВП в среднем на 5,908 млрд. долл.

      Относительные коэффициенты т. е. 32,5% воздействия фактора реализуется сразу же, в тот же год, а более половины (32,5+20)=52,5% - с лагом в один год (медианный лаг). Средний лаг составил 1,686, т. е. в среднем увеличение инвестиций в экономику США приведет к увеличению ВВП через 1,69 г. 

Пример. Модель с геометрическим лагом.

      При исследовании зависимости приращения основного капитала от инвестиций использована модель с геометрическим лагом:

,

или

      Второе  уравнение является функцией единственного параметра . Для его оценки по рядам исходных данных и рассчитывались ряды и .

      По  данным для России за 1966÷1989 гг. оценка уравнения дала результаты:

      Как видим, полученная модель имеет неплохие статистические характеристики. Возвращаясь к исходной модели с бесконечным геометрическим лагом, получаем:

      Согласно  этому уравнению около 85% инвестиций переходит в прирост капитала в течение текущего и первых двух лет, а остальные 15% - в последующие годы. 

Авторегрессионные модели распределенных лагов

      Напомним, что авторегрессионной моделью  распределенных лагов  называется модель, содержащая в правой части как эндогенную лагированную переменную с максимальным лагом p, так и экзогенную лагированную переменную с максимальным лагом q. Например, модель :

или

      В частном случае, если в правую часть  модели входят только лагированные значения эндогенной переменной , модель называется моделью авторегрессии.

      Например, модель авторегрессии первого порядка  :

      Как и в модели с распределенным лагом  , коэффициент в модели характеризует краткосрочное изменение под воздействием изменения на одну единицу, т. е. является краткосрочным мультипликатором. Однако промежуточные и долгосрочный мультипликаторы в этом случае определяются иначе.

      К моменту времени  при изменении на одну единицу , как следует из уравнения , изменится на

,

т. е. промежуточный мультипликатор в момент равен . Аналогично изменение в момент составит

,

т. е. промежуточный мультипликатор для момента равен . Таким образом, долгосрочный мультипликатор для рассматриваемой модели равен

Пример. Интерпретация модели авторегрессии.

      По  данным о динамике показателей потребления  и дохода в регионе получена модель авторегрессии, описывающая зависимость среднедушевого объема потребления за год (млн. руб.) от среднедушевого совокупного годового дохода (млн. руб.)

      Краткосрочный мультипликатор равен 0,85, т. е. увеличение среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. руб. приводит к росту объема потребления в том же году на 850 тыс. руб.

      Долгосрочный  мультипликатор , т. е. в долгосрочной перспективе рост среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. руб. приведет в росту объема потребления в среднем на 944 тыс. руб.

      Промежуточный мультипликатор для момента  равен , т. е. через год объем потребления в среднем увеличится на 935 тыс. руб. 

h-критерий Дарбина для определения автокорреляции остатков

в моделях авторегрессии

      h-критерий Дарбина позволяет проверить остатки на наличие в них автокорреляции первого порядка:

      h-статистика Дарбина вычисляется по формуле:

, где

n – число наблюдений в выборке данных;

d – обычная статистика Дарбина-Уотсона ( );

 - оценка дисперсии коэффициента при лаговой зависимой переменной в модели .

      При больших n статистика h имеет стандартное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается при в пользу гипотезы наличия положительной автокорреляции.

      Рассмотрим  теперь частные случаи авторегрессионной  модели с лагированными переменными :

 

Модель  частичной корректировки (приспособления)

      Предполагается, что существует желаемое (ожидаемое) значение зависимой переменной , определяемое уравнением:

,

- белый шум с нулевым математическим ожиданием и известной дисперсией).

      Предполагается  также, что фактическое приращение зависимой переменной пропорционально разности между её желаемым уровнем и прошлым значением :

,

т. е. фактическое изменение y составляет долю от ожидаемого. Коэффициент называется корректирующим коэффициентом .

Из  следует, что:

,

т. е. есть взвешенная сумма желаемого значения и прошлого .

      Соотношение совместно с называется моделью частичной корректировки.

      Чем больше , тем быстрее происходит процесс корректировки. При , т. е. приспособление происходит за один период. При приспособление отсутствует.

      Модель  , описывает, например, размер запасов в зависимости от уровня продаж . Согласно размер запасов равен взвешенному среднему оптимального размера запасов и размера запасов в предыдущем периоде.

      Подставив в , получаем уравнение вида :

      Это уравнение называют краткосрочной функцией модели частичной корректировки, а уравнение – долгосрочной функцией модели частичной корректировки.

      Поскольку ошибки не коррелированы, МНК позволяет получить состоятельные оценки параметров вышеуказанного уравнения , , , а затем от модели вернуться к модели . 

Пример. Модель частичного приспособления.

      На  основе поквартальных данных за 1950-60 гг. по Великобритании получено уравнение регрессии, характеризующее спрос на труд:

,

где ;