Эконометрические модели с лаговыми переменными

Российская  экономическая академия им. Г.В. Плеханова

МИПК  РЭА им. Г.В. Плеханова 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по  дисциплине «Эконометрика»

Тема: «Эконометрические  модели с лаговыми переменными» 
 

Слушатель: 
 

Руководитель:

Дорохина  Елена Юрьевна 
 
 
 
 
 

Москва, 2008 
Содержание 

 

 

Введение

      При анализе многих экономических показателей (особенно в макроэкономике) часто  используют ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные и ежедневные данные. Например, это могут быть годовые данные по ВНП, ВВП, объему чистого экспорта, инфляции и т.д., месячные данные по объему продажи продукции, ежедневные объемы выпуска какой-либо фирмы. Для рационального анализа необходимо систематизировать моменты получения соответствующих статистических данных.

      В этом случае следует упорядочить  данные по времени их получения и  построить так называемые временные ряды.

      Пусть исследуется показатель Y. Его значение в текущий момент (период) времени t обозначают ; значения Y в последующие моменты обозначаются , , …, ; значения Y в предыдущие моменты времени обозначаются , , …, .

      Нетрудно  понять, что при изучении зависимостей между такими показателями либо при  анализе их развития во времени в  качестве объясняющих переменных используются не только текущие значения переменных, но и некоторые предыдущие по времени значения, а также само время Модели такого типа называются динамическими.

      В свою очередь переменные, влияние  которых характеризуется определенным запаздыванием, называются лаговыми переменными.

      Обычно  динамические модели подразделяются на два класса:

      1) Модели с лагами (модели с распределенными лагами) – содержат в качестве лаговых переменных лишь независимые (объясняющие) переменные.

      2) Авторегрессионные модели – модели, уравнения которых в качестве лаговых объясняющих переменных включают значения зависимых переменных.

      Во  многих случаях воздействие одних  экономических факторов на другие осуществляется не мгновенно, а с некоторым временным  запаздыванием – лагом. Причин наличия  лагов в экономике достаточно много, среди них можно выделить следующие:

• психологические причины – обычно выражаются через инерцию в поведении людей. Например, люди тратят свой доход не мгновенно, а постепенно. Привычка к определенному образу жизни приводит к тому, что люди приобретают те же блага в течение некоторого времени даже после падения реального дохода;
• технологические причины. Например, изобретение персональных компьютеров не привело к мгновенному вытеснению ими больших ЭВМ в силу необходимости замены соответствующего программного обеспечения, которое потребовало продолжительного времени;
• институциональные причины. Например, контракты между фирмами требуют определенного постоянства в течение времени контракта;
• механизмы формирования экономических показателей. Например, инфляция во многом является инерционным процессом.

 

Модели  с лаговыми переменными

      Отличительной особенностью моделей данного типа является наличие в них лагированных переменных, т. е. переменных, взятых в предыдущие моменты времени.

      Часто при моделировании экономических  процессов на зависимую переменную влияют не только текущие значения объясняющего фактора, но и его лаги. Типичным примером являются капиталовложения: они всегда дают результат с некоторым лагом.

      Например, выпуск предприятия за год  может зависеть не только от инвестиций в текущий год, но и от инвестиций в предыдущие годы:

      Модели  данного типа встречаются тогда, когда эндогенная переменная с запаздыванием реагирует на изменения экзогенной переменной. При этом в модель могут входить лагированные значения экзогенной переменной (модель распределенных лагов), например,

или эндогенной переменной (авторегрессионная модель):

либо  одновременно и те и другие (авторегрессионная модель распределенных лагов).

      Существенное  отличие моделей и с точки зрения оценивания заключается в том, что в первом случае регрессоры не коррелированы с ошибками, поэтому их можно оценивать обычным методом наименьших квадратов (МНК). Во второй модели, т. к. включает , регрессоры и ошибки коррелированы, что приводит к смещению оценок.

      Будем обозначать модели распределенных лагов  (q – порядок модели – максимальный лаг), авторегрессионные модели – (p – порядок модели), авторегрессионные модели распределенных лагов – .

      Моделям типа или могут соответствовать устойчивые (сходящиеся) или неустойчивые (расходящиеся) временные ряды. 

Оператор  сдвига

      Для удобства обозначений и действий с моделями, включающими лаговые переменные, удобно использовать оператор сдвига назад :

      Например, модель

с помощью  оператора сдвига можно записать в компактной форме:

где , - полиномы от оператора сдвига:

 

Модели  распределенных лагов

      Рассмотрим  модель :

,     q – максимальный лаг

      Считаем переменную детерминированной (неслучайной), а ошибки –аддитивным белым шумом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

      Коэффициент регрессии  при переменной характеризует среднее изменение при изменении на одну единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t без учета воздействия лаговых значений фактора X. Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

      В момент совокупное воздействие факторной переменной на выходную переменную составит условных единиц. В момент воздействие фактора на выход можно оценить суммой . Такие суммы называют промежуточными мультипликаторами.

      Для максимального лага воздействие фактора на выход оценивается суммой , которая называется долгосрочным мультипликатором.

      Величины , называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то и .

      Средний лаг модели определяется как взвешенная средняя арифметическая:

и представляет собой средний промежуток времени, в течение которого будет происходить изменение зависимой переменной под воздействием изменения фактора в момент t.

      Медианный лаг – это промежуток времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на выходную переменную:

 

Пример. Получение модели с распределенным лагом.

      Методом наименьших квадратов (МНК) получена зависимость расходов на отдых в зарубежье Y от доходов X:

      Малое значение статистики Дарбина-Уотсона  d указывает на наличие значительной автокорреляции ошибок регрессии. Временной ряд остатков полученного уравнения аппроксимирован моделью :

      Естественно предположить, что расходы на дорогостоящий  отдых на зарубежных курортах зависят не только от текущих доходов, но и от доходов в предыдущие периоды. Наиболее адекватной оказалась модель с четырьмя лагами:

      Как видим, значение d = 2,09 свидетельствует об отсутствии автокорреляции остатков в улучшенной модели. Следует также отметить, что коэффициент при уменьшился вдвое, что свидетельствует о том, что расходы на предметы роскоши, к которым относится и дорогой отдых, распределяются на несколько лет. 

Пример. Интерпретация модели с распределенным лагом.

      Получена  зависимость объема продаж компании в среднем за месяц от расходов на рекламу :

      Краткосрочный мультипликатор равен 4,5, т. е. увеличение расходов на рекламу на 1 млн. руб. ведет в среднем к росту объема продаж компании на 4,5 млн. руб. в том же периоде t. В момент объем продаж возрастает на 4,5 + 3 = 7,5 млн. руб., в момент – на 7,5 + 1,5 = 9 млн. руб. Долгосрочный мультипликатор составляет 9,5 млн. руб.

      Относительные коэффициенты: , т. е. 47% увеличения объема продаж происходит в текущем периоде, 31,6% – в момент , 15,8% – в момент , 5,3 % – в момент .

      Средний лаг равен 0,79 мес. Медианный лаг  составляет чуть более месяца. Сравнительно небольшая величина среднего и медианного лагов свидетельствует о достаточно быстром реагировании объема продаж на расходы на рекламу.

      Если  модель содержит слишком много переменных (q велико) и, кроме того, ряд коррелирован или имеет сезонную компоненту, оценивание коэффициентов модели вызывает определенные трудности. Для упрощения этой задачи зависимость коэффициентов модели от величины лага i может аппроксимироваться определенной функцией. Рассмотрим две таких модели. 

Модель полиномиальных лагов Алмон