Эконометрика

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      

2. По виду графика определяем, что аналитическую зависимость можно представить в виде линейной функции:
3. Построим вспомогательную таблицу:

Таблица 1

    Значения  колонки  и далее заполним после определения коэффициентов и линейной функции.

4. Решаем систему уравнений для нахождения коэффициентов и :

,

,

= =(150+135)/5=57

Получаем вид  уравнения регрессии:

                                                                                                    (1)

далее находим  значения , вычисляя их по уравнению регрессии и заполняем колонку в таблице 1.

5. Рассчитаем парный коэффициент корреляции для оценки взаимосвязи между X и Y:

      Таблица 2

Таблица Чеддока

 

      По  таблице Чеддока устанавливаем, что для r = 0,90 связь между X и Y весьма высокая, следовательно достоверность уравнения регрессии также высока. Для оценки точности вычислений используем величину средней относительной ошибки аппроксимации:

Величина обеспечивает высокую степень достоверности уравнения регрессии.

6. Для линейной связи между X и Y индекс детерминации равен квадрату коэффициента корреляции r : . Следовательно, 81% общей вариации объясняется изменением факторного признака X.
7. Для оценки значимости индекса корреляции R, который в случае прямолинейной зависимости по абсолютной величине равен коэффициенту корреляции r, применяется F-критерий Фишера. Определяем фактическое значение по формуле:

,

где m – число параметров уравнения регрессии, n – число наблюдений. То есть n = 5, m = 2.

С учетом принятого уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы и получаем критическое табличное значение . Поскольку , величина индекса корреляции R признается существенной.

8. Вычислим прогнозное значение Y при X = 30:

.

9. Построим график найденной функции:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     11. Определяем ошибку коэффициента  корреляции по величине среднеквадратичного отклонения

,

 а  затем определяем значение нормированного  отклонения  . Из соотношения > 2 с вероятностью 95% можно говорить о значимости  полученного коэффициента корреляции.

     Решим задачу с с использованием пакета прикладных программ (MS Excel 7.0).

     Заносим исходные данные в таблицу (рис. 2)

Рис.2

     Выбираем  меню «Сервис / Анализ данных». В появившемся  окне выбираем строку «Регрессия».

     Зададим в следующем окне входные интервалы  по X и по Y, уровень надежности оставим 95%, а выходные данные поместим на отдельный лист «Лист отчета» (см.приложение). 
 

      Задача 2. Решение задачи линейной оптимизации в интегрированных системах.  

      Планом  развития региона предполагается ввести в действие 3 нефтяных месторождения  с суммарным объемом добычи равным 9 млн.т. На первом месторождении объем добычи составляет не менее 1 млн.т, на втором - 3 млн. т, на третьем - 5 млн.т. Для достижения такой производительности необходимо пробурить не менее 125 скважин. Для реализации данного плана выделено 25 млн. руб. капитальных вложений (показатель К) и 80 км труб (показатель L).

      Требуется определить оптимальное (максимальное) количество скважин для обеспечения плановой производительности каждого месторождения.  Исходные данные по задаче приведены в таблице.

      Исходные  данные

 
 
 

     Решение.

     Формализуем заданные в задаче условия и ограничения. Целью решения данной оптимизационной задачи является нахождение максимального значения добычи нефти при оптимальном количестве скважин по каждому месторождению с учетом существующих ограничений по задаче.

     Целевая функция в соответствии с требованиями задачи примет вид:

     

     где - количество скважин по каждому месторождению.

      Существующие  ограничения по задаче на:

- длину прокладки труб:

;

- число скважин на каждом месторождении:

X₁ Ј£ 10,

X₂  Ј£ 15,

X₃ Ј£ 100;

- стоимость строительства 1 скважины:

. 

     Решение задачи в электронной  таблице Excel.

     На  листе Задание 2 введем исходные данные.

     В ячейку В11 введем целевую функцию

     =C7*C9+D7*D7+E7*E9

     В ячейку В5 введем формулу расчета прибыли для ресурса 1

     =C5*C9+D5*D9+E5*E9

     В ячейку В6 введем формулу расчета прибыли для ресурса 2

     =C6*C9+D6*D9+E6*E9

     Для решения задачи оптимизации используется программа «Поиск решения»» (Сервис/Поиск решения)

     

Рис.3 

     По  кнопке «Параметры» задаем следующие параметры поиска решения:

Рис.4 

     После выполнения поиска решения получаем отчет по результатам, отчет по устойчивости и отчет по пределам. Отчеты прилагаются.

     Отчет по результатам включает в себя три таблицы. В первой таблице приводится исходное и окончательное (оптимальное) значение целевой ячейки, в которую мы поместили целевую функцию решаемой задачи. Во второй таблице расположены исходные и окончательные значения оптимизируемых переменных, которые содержатся в изменяемых ячейках. Третья таблица отчета по результатам содержит информацию об ограничениях. В столбце «Значение» помещены оптимальные значения потребных ресурсов и оптимизируемых переменных. Столбец «Формула» содержит ограничения на потребляемые ресурсы и оптимизируемые переменные, записанные в форме ссылок на ячейки, содержащие эти данные. Столбец «Состояние» определяет связанными или несвязанными являются те или другие ограничения. Здесь «связанные» - это ограничения, реализуемые в оптимальном решении в виде жестких равенств. Столбец «Разница» для ресурсных ограничений определяет остаток используемых ресурсов, т.е. разность между потребным количеством ресурсов и их наличием.

     Формат  отчета по результатам позволяет  быстро и легко использовать полученное решение как часть управленческого  отчета, составляемого менеджером в текстовом редакторе.

     Отчет по устойчивости содержит информацию об изменяемых (оптимизируемых) переменных и ограничениях модели. Указанная информация связана с используемым при оптимизации линейных задач симплекс-методом, относящимся к линейному программированию. Она позволяет оценить, насколько чувствительным является полученное оптимальное решение к возможным изменениям параметров модели.