Эконометрика

     Построим  следующую таблицу, куда записываются пары X и Y, полученные в результате наблюдения со своими рангами:

     Обозначая разность рангов как  , запишем формулу вычисления выборочного коэффициента корреляции Спирмена:

,

где n - число наблюдений, оно же число пар рангов.

     Коэффициент Спирмена обладает следующими свойствами:

1. Если между качественными признаками X и Y имеется полная прямая зависимость в том смысле, что ранги объектов совпадают при всех значениях i, то выборочный коэффициент корреляции Спирмена равен 1. Действительно, подставив в формулу , получим 1.
2. Если между качественными признаками X и Y имеется полная обратная зависимость в том смысле, что рангу соответствует ранг , то выборочный коэффициент корреляции Спирмена равен -1.

     Действительно, если , , ...

      , тогда

Подставив значение в формулу коэффициента корреляции Спирмена, получим –1.

3. Если между качественными признаками нет ни полной прямой, ни полной обратной связи, то выборочный коэффициент корреляции Спирмена заключен между –1 и 1, причем чем ближе к 0 его значение, тем связь между признаками меньше.

     По  данным вышеприведенного примера найдем значение P, для этого достроим таблицу значениями и :

.

     Выборочный  коэффициент корреляции Кендалла. Можно оценивать связь между двумя качественными признаками, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

     Пусть ранги объектов выборки объема n равны:

• по признаку X:
• по признаку Y: . Допустим, что правее имеется рангов, больших , правее имеется рангов, больших , правее имеется рангов, больших . Введем обозначение суммы рангов . Аналогично введем обозначение как сумму количества рангов, лежащих правее , но меньших .

     Выборочный  коэффициент корреляции Кендалла записывается формулой:

, где n – объем выборки.

     Коэффициент Кендалла обладает теми же свойствами, что и коэффициент Спирмена:

1. Если между качественными признаками X и Y имеется полная прямая зависимость в том смысле, что ранги объектов совпадают при всех значениях i, то выборочный коэффициент корреляции Кендалла равен 1. Действительно, правее имеется n-1 рангов, больших , поэтому , таким же  образом устанавливаем, что

.

Тогда . И коэффициент Кендалла равен: .

2. Если между качественными признаками X и Y имеется полная обратная зависимость в том смысле, что рангу соответствует ранг , то выборочный коэффициент корреляции Кендалла равен -1. Правее нет рангов, больших , поэтому . Аналогично . Подставляя значение R⁺=0 в формулу коэффициента Кендалла, получим –1.

     При достаточно большом объеме выборки и при значениях коэффициентов ранговой корреляции, не близких к 1, имеет место приближенное равенство:

.

     Коэффициент Кендалла дает более осторожную оценку корреляции, чем коэффициент Спирмена ρ (числовое значение ρ всегда меньше, чем ). Хотя вычисление коэффициента ρ менее трудоемко, чем вычисление коэффициента , последний легче пересчитать, если к ряду добавляется новый член.

     Важное  достоинство коэффициента состоит в том, что с его помощью можно определить коэффициент частной ранговой корреляции, позволяющий оценить степень "чистой" взаимосвязи двух ранговых признаков, устранив влияние третьего:

     Значимость  коэффициентов ранговой корреляции. При определении силы ранговой корреляции на основе выборочных данных необходимо рассмотреть следующий вопрос: с какой степенью надежности можно полагаться на заключение о том, что в генеральной совокупности существует корреляция, если получен некоторый выборочный коэффициент ранговой корреляции. Другими словами, следует проверить значимость наблюдавшихся корреляций рангов исходя из гипотезы о статистической независимости двух рассматриваемых ранжировок.

     При сравнительно большом объеме n выборки проверка значимости коэффициентов ранговой корреляции может осуществляться с помощью таблицы нормального распределения (табл. 1 приложения). Для проверки значимости коэффициента Спирмена ρ (при n>20) вычисляют значение

,

а для  проверки значимости коэффициента Кендалла τ (при n>10) вычисляют значение

, где S=R⁺- R^-, n - объем выборки.

     Далее задаются уровнем значимости α, определяют по таблице критических точек распределения Стьюдента критическое значение t_кр(α,k) и сравнивают с ним вычисленное значение или . Число степеней свободы принимается k = n-2. Если или > t_кр , то значения или признаются значимыми.

     Коэффициент корреляции Фехнера.

     Наконец, следует упомянуть коэффициент  Фехнера, характеризующий элементарную степень тесноты связи, который  целесообразно использовать для установления факта наличия связи, когда существует небольшой объем исходной информации. Основой его вычисления является учет направления отклонений от средней арифметической варианты каждого вариационного ряда и определение согласованности знаков этих отклонений для двух рядов, связь между которыми измеряется.

     Данный  коэффициент определяется по формуле:

где n_a - количество совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от их средней арифметической; n_b - соответственно количество несовпадений.

Коэффициент Фехнера может изменяться в пределах -1,0<= К_ф<= +1,0.

     Прикладные  аспекты ранговой корреляции. Как уже отмечалось, коэффициенты ранговой корреляции могут использоваться не только для качественного анализа взаимосвязи двух ранговых признаков, но и при определении силы связи между ранговым и количественным признаками. В этом случае значения количественного признака упорядочиваются и им приписываются соответствующие ранги.

     Существует  ряд ситуации, когда вычисление коэффициентов  ранговой корреляции целесообразно  и при определении силы связи двух количественных признаков. Так, при существенном отклонении распределения одного из них (или обоих) от нормального распределения определение уровня значимости выборочного коэффициента корреляции r становится некорректным, в то время как ранговые коэффициенты ρ и τ не сопряжены с такими ограничениями при определении уровня значимости.

     Другая  ситуация такого рода возникает, когда  связь двух количественных признаков  имеет нелинейный (но монотонный) характер. Если количество объектов в выборке невелико или если для исследователя существенен знак связи, то использование корреляционного отношения η может оказаться здесь неадекватным. Вычисление же коэффициента ранговой корреляции позволяет обойти указанные трудности.  

     Задача 1. Корреляционно-регрессионный анализ 

      Провести  исследование выборки на корреляционно-регрессионную  зависимость, то есть установить форму зависимости, оценить функцию регрессии (регрессионный анализ), а также выявить связь между случайными переменными и оценить ее тесноту (корреляционный анализ). Дополнительной задачей корреляционного анализа является оценка уравнения регрессии одной переменной по другой. Кроме того, необходимо спрогнозировать количество выпущенных изделий при 30%-ном отказе оборудования.

     Выборочные  значения результативного признака у и фактора х представлены в таблице

 
 

      Решение.

1. Строим график эмпирической зависимости по приведенной выборке