Эконометрика

     В моделях статических описывается состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. В статических моделях, обычно зафиксированы значения ряда величин, являющихся переменными в динамике, — например, капитальных ресурсов, цен и т.п. Динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статических, а описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.

     Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными моделями. Стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики для их описания. 

     Вопрос 2. Модели частотного анализа 

     Модели  частотного анализа применяются  для исследования экономических процессов и явлений, описываемых с помощью временных рядов. Вместе с долговременными колебаниями во временных рядах появляются более или менее регулярные колебания. Эти изменения наблюдаемых значений могут быть строго периодическими или близкими к таковым и оцениваться в частотном аспекте. Для выявления наличия и устойчивости периода колебаний обычно используется следующий аппарат частотного анализа:

• гармонический анализ;
• спектральный анализ;
• частотная фильтрация;
• кросс-спектральный анализ.

     Этот  аппарат позволяет с разных позиций  анализировать исследуемый показатель, однако он эффективен лишь при наличии  достаточно большого объема данных (по разным литературным источникам желательно иметь 200-300 наблюдений, но не менее 50 наблюдений), из которых предварительно исключена тенденция (за исключением методов частотной фильтрации).

     Дадим определение основных терминов частотного анализа.

     Интервал  времени, необходимый для того, чтобы  временной ряд начал повторяться, называется периодом. Он измеряется числом единиц времени за цикл и не является единственным. Если между пиками (высшими точками) или впадинами (низшими точками) проходит, например, 10 месяцев, то период этого цикла равен 10 месяцам.

     Величина, обратная периоду, называется частотой ряда. Она указывает число повторений цикла в единицу времени и поэтому измеряется числом циклов в единицу времени. Если между пиками (высшими точками) или впадинами (низшими точками) проходит, например, 10 месяцев, то частота цикла равна 1/10.

     Амплитуда периодического ряда – это отклонение от среднего значения до пика или впадины.

     Фаза представляет собой расстояние между началом отсчета времени и ближайшим пиковым значением.

     Гармонический анализ. Временной ряд наблюдений может быть представлен с помощью линейных комбинаций функций времени – синусов и косинусов на основании конечного преобразования Фурье. Гармонический анализ позволяет выявит наиболее существенные гармоники. Пусть Y(t) -  временной ряд, t = 1,2,3,...,T. Тогда имеет место следующее представление ряда:

,

где - оценка математического ожидания ряда Y(t). Последнее слагаемое добавляется в том случае, когда T- четное число. Коэффициенты вычисляются по соотношениям:

     Таким образом, временной ряд представлен  в виде суммы гармоник. Мощность каждой гармоники равна: , k-я гармоника считается статистически значимой, если она вносит существенный вклад в дисперсию временного ряда, то есть если отвергается статистическая гипотеза о том, что . Для проверки гипотезы вычисляется критерий:

,

где -оценка дисперсии отклонения вычисляемых значений от фактических:

. Вычисляемая величина имеет  F-распределение с соответствующими степенями свободы. Гипотеза отвергается, то есть гармоника считается значимой, если вычисленная величина больше, чем 95% точка F-распределения с и степенями свободы. Гипотеза отвергается, то есть гармоника считается значимой, если вычисленная величина больше, чем 95% точка F-распределения с соответствующими степенями свободы.

     Спектральный  анализ. Рассмотрим алгоритм спектрального анализа. Пусть x(t) -  временной ряд, t = 0,1,2,3,...,T – временной ряд. Тогда его периодограмма рассчитывается так:

.

Предполагается, что исходные данные квантованы с  интервалом 1, и, следовательно, частота Найквиста для них равна 0,5. Поэтому периодограмма и спектральная плотность рассчитываются на интервале от 0 до 0,5 в точках f(j)=j/2M, j=0,1,...,M.

     Оценка  спектральной плотности основана на оценке Бартлетта, которая является усреднением периодограмм, вычисленных по непересекающимся отрезкам временных рядов.

     Пусть , I=0,1,...,L-1,

где V – ширина временного интервала;

       I – номер интервала;

       S – смещение текущего временного интервала относительно предыдущего.

     Тогда оценка спектральной плотности получается как:

.

Параметры, необходимые для расчета спектра  мощности, рассчитываются по следующему алгоритму:

      , где n – число наблюдений. При V<10 принимается V=10, при V>50 принимается V=50 и S=V/2.

     Кросс-спектральный анализ. Кросс-спектральный анализ оценивает связь между частотными  составляющими двух временных рядов при помощи параметров когерентности, фазового сдвига и коэффициента усиления. Рассчитываются оценки взаимных ковариационных функций:

.

     Оценка  ко-спектра (действительной части спектра):

     Оценка  квадратурного спектра (мнимой части):

     Оценка  когерентности:

     Оценка  фазового сдвига:

     Оценка коэффициента усиления:

     Оценка  спектра  для ряда x имеет следующий вид:

     Аналогично  получается оценка спектра  для ряда y.

     Интерпретация результатов кросс-спектрального  анализа - довольно тонкий процесс.

     Отметим, что когерентность аналогична квадрату коэффициента корреляции на соответствующей частоте и интерпретируется таким же образом. Коэффициент усиления есть, по сути, коэффициент линейной регрессии процесса по процессу на соответствующей частоте. Фазовый сдвиг характеризует временное смещение между составляющими двух процессов.

     Частотная фильтрация. Фильтрация осуществляется при помощи высокочастотного и низкочастотного фильтра, для каждого из которых рассчитывается соответствующая силовая и фазовая характеристики. Низкочастотный фильтр предназначен для устранения тренда (низкочастотной составляющей временного ряда наблюдений). Высокочастотный фильтр, наоборот, предназначен для выделения тренда из исходных данных.

     Выход низкочастотного  фильтра  получается из выражения:

, где

, , , ,

- частота отсечки,  является оценкой высокочастотной составляющей. При оценке его теряются два первых наблюдения. Оценкой тренда в этом случае является ряд

.

     Выход высокочастотного фильтра  получается из выражения:

 где

, , , ,

      - частота отсечки, является оценкой низкочастотной составляющей. При оценке теряются два первых наблюдения. Ряд может быть использован для прогнозирования. 

Вопрос 3. Коэффициенты корреляции рангов Спирмэна, Кендэла, Фехнера 

     Потребности экономической и социальной практики требуют разработки методов количественного  описания процессов, позволяющих точно  регистрировать не только количественные, но и качественные факторы. При условии, что значения качественных признаков могут быть упорядочены, или проранжированы по степени убывания (возрастания) признака, возможно оценить тесноту связи между качественными признаками. Под качественным подразумевается признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно, расположить их в порядке убывания или возрастания качества. И реальным  содержанием измерений в ранговых шкалах является тот порядок, в котором выстраиваются объекты по степени выраженности измеряемого признака.

     В практических целях использование ранговой корреляции весьма полезно. Например, если установлена высокая ранговая корреляция между двумя качественными признаками изделий, то достаточно контролировать изделия только по одному из признаков, что удешевляет и ускоряет контроль.

     В качестве примера можно рассмотреть  наличие связи между обеспеченностью товарной продукцией ряда предприятий и накладными расходами по реализации. В ходе 10 наблюдений получена следующая таблица:

     Упорядочим  значения X по возрастанию, при этом каждому значению поставим в соответствие его порядковый номер (ранг):

     Таким образом, .