Процесс моделирования простейших финансовых операций. Простые проценты. Потребительский кредит. Инфляция

(n-2) лет и увеличится до значения С(2)=С×(1+р)^n-2. Вообще платеж С(k), вносимый в момент t=k, в момент времени t=n будет равен C(k)=C×(1+p)^n-k.

Наращенная  сумма всех периодических платежей потока равна:

S(n)=Ʃ  C(k)=C×(1+p) ^n-k.

         Последовательность слагаемых этой суммы, перечисленных от k=n до k=1,имеет вид:

C, C×(1+p), C×(1+p)², … , C×(1+p)^(n-1)

и представляет собой геометрическую прогрессию с  первым членом С и знаменателем С(k)/C(k+1)=1+p. Для n членов геометрической прогрессии а₀, а₁, а₂…а_(k-1) со знаменателем а/а_(k-1)=q сумма равна величине

 S(n)=

         В рассматриваемом случае а₀=С, q=1+p. В результате:

S(n)=C×

   (*)

          Наращенную сумму финансовой ренты к моменту последнего платежа принято обозначать FV (future value).

          Срок накопления n суммы S(n) при заданных процентной ставке р и платеже С может быть определен следующим образом:

×p+1=(1+p)ⁿ

или                                               n= .

           Платеж С при заданной процентной ставке р, сроке n и конечной сумме S(n) рассчитывается в соответствии с выражением:

С=

.

           Если же неизвестно значение процентной ставки, то оно определяется как корень уравнения: C×(1+p)ⁿ-S×(n)×p-C=0.

Дисконтирование финансовых рент.

         Во многих случаях потоки платежей  необходимо дисконтировать к  некоторому начальному моменту.  Результат S(0) приведения потока к моменту t=0 называется современной, или приведенной, величиной (present value) и обозначается PV. Пусть по-прежнему рассматривается поток платежей С(t) = C=const, при 1,2,… k, n.

         Обозначим через V_k дисконт-фактор для платежа, выполненного в момент t=k, т.е. С"(k)=V, где С"(k) – дисконтирования величина платежа С(k). Тогда сумма всех величин дисконтированных платежей С(k) к моменту времени t=0 равна:

S(0)=Ʃ С"(k)=V_k×C(k).

        Для финансовой ренты с использованием для дисконтирования схемы сложных процентов имеем:

S(k)=C, V_k=V^k.

        Здесь по-прежнему предполагаются  ежегодные платежи (поток платежей имеет период один год), символ V обозначает годовой дисконт-фактор. В результате можно записать:

S(0) = Ʃ V_k×C=C× V^k, V=1/(1+p).

         Последовательность V, V², V³,…V_n может быть рассмотрена как геометрическая прогрессия a₀, a₁, a₂,…, a_(n-1) со  знаменателем q=V. Тогда:

                           n                                     n

Ʃ  а_k=a₀×(qⁿ×1)/q×1=Ʃ  ×V^k=V×( V^k-1)/V-1

                         k=1                                 k=1

         

         Поскольку V=1/(1+p)=(1+p), то после подстановки в выражение (I) получим:

S(0)=

          Определим предел приведенной величины S(0) при количестве периодов (лет), стремящихся к бесконечности. Так как (1+р)>1,то

lim (1+p)ⁿ=0 или lim S(0)=C/p.

          Из полученного соотношения следует, что для любого конечного срока n приведенная величина S(0) (дисконтированный поток платежей) такова, что должно выполняться условие S(0)<C/p.

           Одним из примеров рассматриваемого  потока платежей является  погашение долгосрочного кредита. Кредит размером S(0) выдается в момент t=0 и погашается в течение n лет равными платежами (взносами) С. При заданной процентной ставке р кредит может быть представлен как дисконтированный к моменту t=0 поток платежей (рис.2.6.4.).

           В этих условиях возникает  необходимость расчета различных  параметров кредита. Размер периодического  платежа по погашению кредита  С может быть определен из выражения для приведенной величины S(0) (формула (1.2)).

С=

. 

 C(t) C C      C                    C 
 
 
 
 
 

      0     1 2        3                     n                t

Рис.2.6.4

           Количество платежей n (количество периодов потока платежей) также определяется из формулы (1.1). Действительно, из этого выражения следует:

(1+p)^-n=1-

или n=

.

           Поскольку функция ln существует лишь для положительного аргумента, то из последнего выражения вновь следует требование:

1-S(0)×p/C>0 или S(0)<C/p. В противном случае кредит S(0) никогда не будет погашен периодическими платежами С.

           Если требуется рассчитать процентную  ставку р, под которую следует  предоставлять кредит в размере  S(0)  c ежегодными выплатами С и сроком погашения n лет, то из выражения для S(0) следует:

S(0)×p=C×(1-(1+p)ⁿ)

или S(0)×p×(1+p)ⁿ × C×(1+p)ⁿ+C=0

Нерегулярные  потоки платежей

            В общем случае отдельные платежи потока имеют разную величину и поступают в любые (непериодические) моменты времени. Поток платежей с такими свойствами называется нерегулярным потоком.

Наращенные  суммы нерегулярных потоков платежей.

            Рассмотрим нерегулярный поток,  предусматривающий платежи C(t) в момент времени t=t₁, t₂ … t_n. Графическое представление такого потока платежей приведено на рис. 2.6.5.

        C(t₁)   C(t₂) C(t₃)             C(t_n)

                                  C(t)   
 
 
 
 

           t₁         t₂    t₃                                 t_n  t

Рис. 2.6.5

           Наращенная сумма такого потока  платежей,  приведенная к моменту  t=T≥t_n, определяется выражением:

                                                        n

S(T)=Ʃ  C(t_k)×[1+p_(T-tk)]

                                                       k=1

      Здесь p(T-t_k) – процентная ставка на интервале T-t_k. При неизменности годовой процентной ставки р на всем интервале времени (0;1) и использовании схемы сложных процентов имеем:

                                                                         n

1+p_(T-tk)=(1+p)^(T-tk) и   S(T)=Ʃ  C(t_k)×(1+p)^(T-tk)

                                                                        k=1

Дисконтирование нерегулярных потоков платежей.

          Для дисконтирования нерегулярного потока C(t) при t=t₁, t₂, … t_n к моменту времени t=0 для каждого t=t_k введем в рассмотрение дисконт-фактор V_1k (рис.2.6.6)

                                                C(t₁)   C(t₂) C(t₃)             C(t_n)

                                  C(t)

 
 
 
 
 
 

      t₁         t₂       t₃                               t_n                              t

Рис. 2.6.6

       В этом случае сумма всех дисконтированных платежей C(t) к моменту t=0<t, равна:                                         n

S(0)=  Ʃ C(t_k)×V^Tk.

                                                             k=1

     При неизменности  годовой процентной ставки р, учетной ставки d и дисконт-фактора V на всем интервале времени (0,t_n) и использовании схемы сложных процентов имеем:

                                                                   

                                                                            n

V^k=(1-d)^tk=1/(1+p)^tk и S(0)=  Ʃ   C(tk)/(1+p)tk

                                                                            k=1

Двусторонние  потоки платежей

      Двусторонним называется поток  платежей, который предполагает  распределенные во времени переходы денежных сумм от одного владельца к другому. С позиций одного участников такой многоэтапной операции можно считать, что поступление денежных средств к нему в момент времени t=t_k соответствует положительному платежу (С (t_k)<0). Графическое представление такого потока платежей приведено на рис. 2.6.7.

      C(t₁)       C(t₃)                   C(t_n)

                                C(t)                 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      C(t₂)             C(t₄)

Рис. 2.6.7

     Для оценки эффективности в целом финансовой операции, представляемой нерегулярным двусторонним потоком платежей, используются различные показатели. Один из них, называемый чистой приведенной величиной (NPV-net present value), рассчитывается как приведенная (современная) величина потока по формуле:

                                                                    n

NPV= S(0)=  Ʃ  C(t_k)-V_tk

                                                                   k=1

где C(t_k) – поступления или выплаты потока, рассматриваемые как платежи потока с соответствующими знаками

          Операция считается эффективной  для участника, если показатель  для него является положительным.

          При неизменности годовой процентной  ставки р и использовании схемы  сложных процентов:

                                                                n

NPV= S(0)=  Ʃ  C(t_k)/(1+p)^tk

                                                                k=1

         Заметим, что знак показателя NPV не зависит от момента времени, к которому приводится поток платежей. Таким образом, для оценки эффективности любой многоэтапной финансовой операции достаточно рассчитать NPV для любого момента приведения и определить знак этого показателя. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2. Простые проценты.

               Простая процентная ставка - процентная ставка, которая применяется к одной и той же, начальной сумме на протяжении всего срока ссуды либо депозита. Обычно простая процентная ставка используется для начисления выплат и процентов по краткосрочным ссудам со сроком до одного года.