Математическое моделирование как философская проблема

Разработка математической модели.

Алгоритм или метод  решения уравнений.

Разработка программ.

Проведение расчетов, анализ результатов и оптимизация.

Тем самым основу вычислительного  эксперимента составляет триада: модель – алгоритм - программа. Опыт решения  крупных задач показывает, что  метод математического моделирования  и вычислительный эксперимент соединяют  в себе преимущества традиционных теоретических  и экспериментальных методов  исследования.

Стоит заметить, что на практике результаты первых расчетов, как правило, весьма далеки от реальных. Поэтому  происходит постоянное усовершенствование алгоритма, уточнение математической модели до совпадения с какими-то тестовыми  или контрольными данными. Этот этап, называемый идентификацией математической модели, всегда присутствует в вычислительном эксперименте. Поэтому нельзя говорить об одной модели любого явления. Всегда существует иерархия математических моделей, начиная от простых и кончая более  сложными. Следует выбирать некоторый  уровень сложности модели, соответствующей  данной конкретной задаче.

Понятие математического  моделирования как методологии  научных исследований

Под математическим моделированием, в узком смысле слова, понимают описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических, технологических, биологических, экономических и других процессов. Для того чтобы использовать математические методы для анализа и синтеза различных процессов, необходимо уметь описать эти процессы на языке математики, то есть описать в виде системы уравнений и неравенств.

Как методология научных  исследований математическое моделирование  сочетает в себе опыт различных отраслей науки о природе и обществе, прикладной математики, информатики  и системного программирования для  решения фундаментальных проблем. Математическое моделирование объектов сложной природы – единый сквозной цикл разработок от фундаментального исследования проблемы до конкретных численных расчетов показателей  эффективности объекта. Результатом  разработок бывает система математических моделей, которые описывают качественно  разнородные закономерности функционирования объекта и его эволюцию в целом  как сложной системы в различных  условиях. Вычислительные эксперименты с математическими моделями дают исходные данные для оценки показателей  эффективности объекта. Поэтому  математическое моделирование как  методология организации научной  экспертизы крупных проблем незаменимо при проработке народнохозяйственных решений. (В первую очередь это  относится к моделированию экономических  систем[6]).

По своей сути математическое моделирование есть метод решения  новых сложных проблем, поэтому  исследования по математическому моделированию  должны быть опережающими. Следует  заранее разрабатывать новые  методы, готовить кадры, умеющие со знанием дела применять эти методы для решения новых практических задач.

Математическая модель может  возникнуть тремя путями:

В результате прямого изучения реального процесса. Такие модели называются феноменологическими.

В результате процесса дедукции. Новая модель является частным случаем  некоторой общей модели. Такие  модели называются асимптотическими.

В результате процесса индукции. Новая модель является обобщением элементарных моделей. Такие модели называют моделями ансамблей.

Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного  процесса, который с одной стороны  отражает основные качественные явления, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально описывающие  явление. Факторы, которые считаются  второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут  быть включены в рассмотрение. В  зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считаться  основным или второстепенным.

Математическая модель и  реальный процесс не тождественны между  собой. Как правило, математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта  математическими методами носят  приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики.

Схема построения математических моделей следующая:

Выделение параметра или  функции, подлежащей исследованию.

Выбор закона, которому подчиняется  эта величина.

Выбор области, в которой  требуется изучить данное явление.

Классификация математических моделей

Существуют всевозможные классификации математических моделей. Выделяют линейные и нелинейные модели, стационарные и динамические, модели, описываемые алгебраическими, интегральными  и дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных. Можно выделять классы детерминируемых  моделей, вся информация в которых  является полностью определяемой, и  стохастических моделей, то есть зависящих  от случайных величин и функций. Так же математические модели различают  по применению к различным отраслям науки.

Рассмотрим следующую  классификацию математических моделей[7]. Все математические модели разобьем условно на четыре группы.

I. Модели прогноза или  расчетные модели без управления. Их можно разделить на стационарные  и динамические.

Основное назначение этих моделей: зная начальное состояние  и информацию о поведение на границе, дать прогноз о поведении системы  во времени и в пространстве. Такие  модели могут быть и стохастическими.

Как правило, модели прогнозирования  описываются алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными  уравнениями и неравенствами. Примерами  могут служить модели распределения  тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики.

II. Оптимизационные  модели

Их так же разбивают  на стационарные и динамические. Стационарные модели используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические – как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами –  технологическими, экономическими и  др.

В задачах оптимизации  имеется два направления. К первому  относятся детерминированные задачи. Вся входная информация в них  является полностью определяемой.

Второе направление относится  к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые параметры  носят случайный характер или  содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры  в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.

Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных  задач.

В математическом программировании выделяются следующие основные разделы[8]:

Линейное программирование. Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой  функции, задается системой линейных равенств и неравенств.

Нелинейное программирование. Целевая функция нелинейная и  нелинейные ограничения.

Выпуклое программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная  задача.

Квадратичное программирование. Целевая функция квадратичная, а  ограничения – линейные равенства  и неравенства.

Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция  имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными.

Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности.

Как правило, к задачам  математического программирования неприменимы методы классического  анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.

Модели теории оптимального управления – одни из важных в оптимизационных  моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной  из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами.

Различают три вида математических моделей теории оптимального управления[9]. К первому виду относятся дискретные модели оптимального управления. Традиционно такие модели называют моделями динамического программирования. Широко известен метод динамического программирования Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые задачам Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными параметрами.

III. Кибернетические  модели

Этот тип моделей используется для анализа конфликтных ситуаций.

Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими  субъектами, в распоряжении которых  имеется несколько управляющих  параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов  со своими собственными интересами.

IV. Вышеописанные типы  моделей не охватывают большого  числа различных ситуаций, таких,  которые могут быть полностью  формализированы. Для изучения  таких процессов необходимо включение  в математическую модель функционирующего  «биологического» звена – человека. В таких ситуациях используется  имитационное моделирование, а  также методы экспертиз и информационных  процедур.

О кибернетическом моделировании  и моделировании мыслительной деятельности человека.

Особенности кибернетического моделирования.

Кибернетика (от греческого kybernetike – искусство управления) –  наука о самоуправляющихся машинах, в частности о машинах с  электронным управлением[10]. Основатель ее, американский ученый Норберт Винер, в 1948 показал, что человеческий мозг действует наподобие электронных вычислительных машин с двоичной системой исчисления. Можно определить кибернетику как науку, изучающую системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей управления.[11]Понятия кибернетическое моделирование, искусственный интеллект, нейроматематика, о которых речь пойдет ниже, тесно связаны с математическим моделированием и не мыслимы без него. Кибернетика широко пользуется методом математического моделирования и стремится к получению конкретных результатов, позволяющих анализировать и синтезировать изучаемые системы.

В современном научном  знании весьма широко распространена тенденция построения кибернетических  моделей объектов самых различных  классов. К.Б. Батороев писал, что «кибернетический этап в исследовании сложных систем ознаменован существенным преобразованием  «языка науки», характеризуется возможностью выражения основных особенностей этих систем в терминах теории информации и управления. Это сделало доступным  их математический анализ».[12]

Кибернетическое моделирование  используется и как общее эвристическое  средство, и как искусственный  организм, и как система-заменитель, и в функции демонстрационной. Использование кибернетической  теории связи и управления для  построения моделей в соответствующих  областях основывается на максимальной общности ее законов и принципов: для объектов живой природы, социальных систем и технических систем.

Широкое использование кибернетического моделирования позволяет рассматривать  этот «логико-методологический» феномен  как неотъемлемый элемент «интеллектуального климата» современной науки». В этой связи говорят об особом «кибернетическом стиле мышления», о «кибернетизации» научного знания. С кибернетическим  моделированием связываются возможные  направления роста процессов  теоризации различных наук, повышение  уровня теоретических исследований. Рассмотрим некоторые примеры, характеризующие  включение кибернетических идей в другие понятийные системы.

Анализ биологических  систем с помощью кибернетического моделирования обычно связывают  с необходимостью объяснения некоторых  механизмов их функционирования (ниже рассмотрим моделирование психической  деятельности человека). В этом случае система кибернетических понятий  и принципов оказывается источником гипотез относительно любых самоуправляемых  систем, т.к. идеи связей и управления верны для этой области применения идей, новые классы факторов.

Характеризуя процесс  кибернетического моделирования[13], обращают внимание на следующие обстоятельства. Модель, будучи аналогом исследуемого явления, никогда не может достигнуть степени сложности последнего. При построении модели прибегают к известным упрощениям, цель которых - стремление отобразить не весь объект, а с максимальной полнотой охарактеризовать некоторый его «срез». Задача заключается в том, чтобы путем введения ряда упрощающих допущений выделить важные для исследования свойства. Создавая кибернетические модели, выделяют информационно-управленческие свойства. Все иные сторон этого объекта остаются вне рассмотрения.