Контрольная работа по «Экономико-математические методы и модели в отрасли связи»

 

     Найденные значения клеток позволяют провести исследование свободных мест. Его  целью является выявление отрицательных  свободных мест. Если U_i + V_j меньше соответствующего значения расстояния (в клетке на пересечении i-й строки и j-го столбца), взятого с обратным знаком, то свободное место (i, j) отрицательно и решение может быть улучшено.

Для свободных  мест:  
А3 0 - 4 > -6;  
Б1 3 – 4 > -3;  
В4 3 - 4 > -3;  
В1 2 - 4 > -6;  
В2 2 - 5 > -7;

В3 2 – 4 > -5. 

      Неравенства показывают, что характеристики всех свободных мест положительные, значит план оптимальный. 

ЗАДАЧА 2. 

     Необходимо  оценить работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n=8 линий связи. Моменты поступления вызовов на станцию являются случайными и независимыми друг от друга. Средняя плотность потока равна λ=1 вызову в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно t_обс = 2 единицы времени.

Автоматические  телефонные станции относятся к типу систем

обслуживания  с потерями (с отказами). Абонент  получает отказ в случае, если все  линии заняты.

       Для определения основных показателей  работы АТС необходимо рассчитать  значение поступающей нагрузки  в Эрлангах Ψ и вероятности, что из n-линий k будет занято

     Для расчета используются формулы: 

 

     Далее следует определить вероятность  отказа Р_отказа , среднее число занятых и среднее число свободных линий, коэффициенты занятости и простоя линий и сделать вывод о качестве обслуживания абонентов и эффективности использования линий связи. 

     Решение: 

1. Определим значение поступающей нагрузки Ψ по формуле

= 1·2=2

2. Найдем вероятность того, что все линии связи свободны по формуле:

,

где n количество линий связи, к=1,2,…,n

Вероятность того, что все линии связи будут свободны, составляет 13,5% 

3. Рассчитаем  вероятности занятости k-линий из n, по формуле

k=1,

k=2,

k=3,

=0,18

k=4,

k=5,

k=6,

k=7,

k=8,

 

4. Найдем вероятность  того, что все линии связи заняты, т.е. вероятность отказа, по формуле:

 

Вероятность отказа равна 8,5%. 

5. Найдем среднее  число занятых линий по формуле:

 

 

Среднее число  занятых линий равняется 1,99. 

6. Коэффициент  занятости линий   =

7. Найдем среднее  число свободных линий по формуле:

Среднее число  свободных линий равно 5,99 

8.Коэффициент  простоя линий   

Коэффициент простоя  можно было посчитать другим методом 1-0,25=0,75 

 

      Вывод: качество обслуживания абонентов неплохое так как вероятность отказа составляет 8,5%, но эффективность использования линий низкая потому что очень высокий процент простоя линий связи 75%. 

ЗАДАЧА 3. 

     В таблице 3.1 приведены затраты времени  почтальона (в минутах) на проход между пунктами доставки на участке. Используя метод "ветвей и границ", найти маршрут почтальона, при котором затраты времени на его проход будут минимальными. 

Таблица 3.1

Исходные  данные

 

Решение:  

      Задачу  решаем методом теории графов, известным как метод "ветвей и границ". 

      Матрица считается приведенной, если в каждой строке и каждом столбце содержит не менее одного нуля. Для приведения исходной матрицы сначала в каждой строке находится наименьший элемент и вычитается из элементов своей строки, затем в приведенной по строкам матрице в каждом столбце находится наименьший элемент и вычитается из элементов своего столбца – получается приведенная матрица.

      Обозначим за Г множество всех обходов почтальона (т. е. всех простых ориентированных  остовных циклов). Поскольку граф –  полный, это множество заведомо не пусто. Сопоставим ему число φ(Г), которое будет играть роль значения на этом множестве оценочной функции: это число равно сумме констант приведения данной матрицы весов дуг графа и является оценкой снизу для стоимости минимального тура коммивояжёра. Приведённую матрицу весов данного графа следует запомнить, обозначим ее через С₁. 

     Подсчитаем  φ(Г). Для этого выполним приведение матрицы весов.

Сначала – по строкам: 

 
 

Теперь −  по столбцам: