Багатофакторні економетричні моделі

Для перемножування матриць  слід використовувати стандартну продцедуру «МУМНОЖ».

 

Щоб викликати продцедуру перемножування матриць, необхідно:

1. Активізувати осередок, в який буде записаний результат ( у нашому випадку це осередок С33).
2. На панелі інструментів обираємо Вставка – Функція. Відкривається перше діалогове вікно Майстра функцій. У списку Категорія обираємо пункт Математичні, а у списку Функція – пункт «МУМНОЖ».
3. Натискаємо клавішу Enter. Відкривається друге діалогове вікно Майстра функцій.
4. Вводимо аргументи в полях Масив 1 і Масив 2. У рядок Масив 1 вводимо значення осередків С28:L28, а в рядок Масив 2 значення осередків С16:С25.

5.   Тепер натискаємо ОК ( або клавішу Enter). В осередку С33 з’явилося перше значення матриці ХˈХ.

 

 

 

Мал. 7 Перемножування матриці Хˈ на Х за допомогою продцедури «МУМНОЖ»

 

У такий спосіб знаходимо  усі значення добутку матриць  ХˈХ.

 

На наступному етапі  за аналогією обчисляємо добутки  матриць XˈY з матрицею XˈX.   Для цього необхідно кожен рядок матриці Хˈ помножити на стовпець матриці Y.

 

 

Мал. 8 Перемножування матриці Хˈ на Y за допомогою продцедури «МУМНОЖ»

 

Далі знайдемо детермінант  матриці ХˈХ. Для цього використовуємо функцію «МОПРЕД»:

1. Виділяємо осередок С38.
2. На панелі інструмантев обираємо Вставка – Функція. Відкривається перше діалогове вікно Майстра функцій. У списку Категорія обираємо пункт Математичні, а у списку Функція – пункт «МОПРЕД».
3. Натискаємо клавішу Enter. Відкривається друге діалогове вікно Майстра функцій.
4. У полі Масив уводимо діапазон осередків С33:Е35 (матриця ХˈХ)
5. Тепер натискаємо ОК ( або клавішу Enter). В осередку С38 з’явилося значення, яке ми шукали.

 

Мал. 9 Діалогове вікно функції «МОПРЕД»

 

Тепер потрібно знайти матрицю J зворотну матриці ХˈХ. З цією метою обчислимо її визначники:

 

|В₁₁ В₁₂ В₁₃|  |10 50 60  |

Х’Х =  |В₂₁ В₂₂ В₂₃| = |50 336 398|

|В₃₁ В₃₂ В₃₃|  |60 398 480|

 

|В₂₂ В₂₃|

В₁₁ = |В₃₂ В₃₃| =  (В₂₂*В₃₃) – (В₃₂*В₂₃) * (-1)² =

 

(336*480) – (398*398) * (-1)² = 2876

 

|В₂₁ В₂₃|

В₁₂ = |В₃₁ В₃₃|   = (В₂₁*В₃₃) – (В₃₁*В₂₃) * (-1)³ = -120

 

|В₂₁ В₂₂|

В₁₃ = |В₃₁ В₃₂|   = (В₂₁*В₃₂) – (В₃₁*В₂₂) * (-1)⁴ = 260

 

 

|В₁₂ В₁₃|

В₂₁ = |В₃₂ В₃₃|   = (В₁₂*В₃₃) – (В₃₂*В₁₃) * (-1)³ = -120

 

|В₁₁ В₁₃|

В₂₂ = |В₃₁ В₃₃|   = (В₁₁*В₃₃) – (В₃₁*В₁₃) * (-1)⁴ = 1200

 

|В₁₁ В₁₂|

В₂₃ = |В₃₁ В₃₂ |  = (В₁₁*В₃₂) – (В₃₁*В₁₂) * (-1)⁵ = -980

 

|В₁₂ В₁₃|

В₃₁ = |В₂₂ В₂₃|   = (В₁₂*В₂₃) – (В₂₂*В₁₃) * (-1)⁴ = 260

 

|В₁₁ В₁₃|

В₃₂ = |В₂₁ В₂₃|   = (В₁₁*В₂₃) – (В₂₁*В₁₃) * (-1)⁵ = -980

 

|В₁₁ В₁₂|

В₃₃ = |В₂₁ В₂₂|  = (В₁₁*В₂₂) – (В₂₁*В₁₃) * (-1)⁶ = 860

 

 

Отже, матриця J матиме вигляд:

 

|2876 -120 260|

J =  |-120 1200 -980|

|260 -980 860|

 

 

Для того, щоб знайти матрицю  В^-1 (транспоновану матрицю J), використовуємо наступну формулу:

 

      1    |В₁₁ В₁₂ В_13|

В^-1 = det B |В₂₁ В₂₂ В_23|

|В₃₁ В₃₂ В_33|

 

 

Отримуємо матрицю В^-1

 

|0,4017 -0,0168 0,0363|

В^-1 = |-0,0168 0,1676        -0,1369|

|0,0363 -0,1369 0,1201|

 

 

 

 

 

 

 

Мал. 10  Розрахунок матриці В^-1

 

На наступному етапі  роботи потрібно знайти вектор стовпець А, який розраховують за формулою:

А = В^-1* ХˈY

 

Для цього необхідно за допомогою функції «МУМНОЖ» кожен рядок матриці В^-1 помножити на стовпець матриці ХˈY.

 

Отже, у результаті проведенних  нами дій отримуємо стовпець з  трьома значеннями ( 9,3872; 0,1285; 0,6117), який і є вектором А .

 

 

 

 

Мал.  11 Розрахунок вектора А

 

 

Тепер вираховуємо Ơ²:

 

_n

∑ u_i²

Ơ²_u =    _i=1

n-2

 

U_i = Y_i – Y

 

Знаходимо значення Y, U_i, U_i² 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мал. 12 Розрахунок показників Y, U_i, U_i²

 

8,37

Ơ² =10-2  =  1,05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновки

 

1. Методи управління економічними системами та процесами базуються на широкому застосуванні математичних методів та ПК. Математика, проникаючи в сутність економічної науки, приносить із собою точність  та  універсальність розв’язків, строгість і довершеність наукових концепцій.

2. Математична модель містить у собі три групи елементів:

1) характеристику об’єкта, який потрібно визначити (невідомі величини), — вектор Y;

2) характеристики зовнішніх умов щодо об’єкта, який моделюється, — вектор X;

3) сукупність внутрішніх параметрів об’єкта — A.

Множина умов та параметрів X і A можуть розглядатися як екзогенні величини, тобто такі, що визначаються за межами моделі, а величини, що входять до вектора Y, — як ендогенні, тобто такі, що визначаються за допомогою моделі.

3. Усі математичні моделі поділяються на дві групи: структурні та функціональні. Структурні моделі відбивають внутрішню організацію об’єкта, його складові частини, внутрішні параметри, їх зв’язок із «входом» та «виходом» і т.ін. Функціональні моделі описують сутність об’єктів, що моделюються, через найважливіші прояви цієї сутності: діяльність, функціонування, поводження.

4. Розрізняють три види структурних моделей:

1) Y_j = f_j ( A, X );

2) y_i ( A,X,Y ) = 0;

3) імітаційні моделі.

У моделях першого виду всі невідомі величини зображуються у вигляді явних функцій від зовнішніх умов і внутрішніх параметрів об’єкта.

У моделях другого  виду невідомі визначаються одночасно із систем співвідношень і-го виду.

В імітаційних  моделях невідомі величини визначаються також одночасно із вхідними параметрами, але конкретний вигляд співвідношень  невідомий.

5. Функціональні моделі описують поводження об’єкта так, що, задаючи значення «входу» X, можна дістати значення «виходу» Y без залучення інформації про параметри A, тобто Y = A( X ). Побудувати функціональну модель — означає знайти оператор A, який пов’язує X і Y.

6. Якщо функціональна модель поряд з екзогенними змінними X містить стохастичну складову u, тобто Y = f( X, u ), то вона належить до класу економетричних моделей. оскільки величина Y залежить від стохастичної змінної u, то вона є стохастичною, а отже, економетрична модель також є стохастичною.

7. Побудова економетричної моделі можлива за таких умов:

1) наявність  достатньо великої сукупності  спостережень вихідних даних;

2) однорідність сукупності  спостережень;

3) точність і вірогідність  вихідних даних;

4) висунення гіпотези  про набір змінних і структуру  зв’язків.

8. Сукупність спостережень можна зобразити у вигляді упорядкованого набору (матриці) даних з параметрами n, m, T, де n — число одиниць сукупності ( ); m — число ознак, які описують кожну одиницю ( ); T — проміжок часу, за який вивчається ознака певного спостереження. За способом формування розрізняють три види вибірок: часову, просторову і просторово-часову. Просторова сукупність спостережень вивчається в статиці, її можна зобразити у вигляді матриці розміром n ´ m. Часова вибірка містить набір значень ознак функціонування окремого об’єкта в динаміці, тобто по суті складається з дво- чи багатовимірного часового ряду. Просторово-часова вибірка є комбінацією просторової і часової вибірок.

9. Поняття однорідності сукупності спостережень охоплює якісну і кількісну однорідність. Під першою треба розуміти однорідність, яка визначається однотипністю економічних об’єктів, їх однаковою якістю та певним призначенням, а під другою — однорідність групи одиниць сукупності, що визначається на підставі кількісних ознак.

10. Щоб забезпечити порівнянність ознак спостережень у просторі та часі, необхідно мати:

1) однаковий ступінь  агрегування;

2) однакову структуру  одиниць сукупності;

3) одні й ті самі  методи розрахунку показників  у часі;

4) однакову періодичність  обліку окремих змінних;

5) порівнянні ціни  та інші однакові економічні  умови.

11. Формуючи сукупність спостережень для побудови економетричної моделі, необхідно звертати увагу на можливість існування помилок вихідних даних. Якщо немає змоги позбутися цих помилок, то необхідно вдатись до спеціальних методів оцінювання параметрів економетричної моделі.

12. Вибір змінних моделі може охоплювати такий перелік задач:

1) визначення набору  змінних, які описують процес  функціонування досліджуваних об’єктів;

2) аналіз структурних  зв’язків між окремими змінними;

3) установлення переліку  допустимих операцій над змінними  і зв’язками, тобто вибір раціонального типу економетричної моделі.

13. Економетричні моделі описують вплив багатьох чинників на економічні процеси та явища. Причому для організації цих зв’язків може використовуватись не одне рівняння, а їх система. Якщо економетрична модель характеризує зв’язок двох змінних, одна з яких є результативною (залежною), то така модель називається простою.

14. Конкретна аналітична форма взаємозв’язку між економічними показниками згідно з простою економетричною моделлю вибирається на підставі змістовного тлумачення цього зв’язку. Найпростішою є лінійна форма між двома змінними:

Y = a₀ + a₁X ,

де a₀ і a₁ — невідомі параметри; Y — залежна змінна; X — незалежна змінна.

Можливі і інші форми  залежності між двома змінними, наприклад:

 

15. Наведені форми залежності кількісно описують взаємозв’язок між економічними показниками лише в середньому, а кожне індивідуальне значення відрізнятиметься від обчисленого з допомогою функції, оскільки на цей зв’язок впливають і інші фактори, серед яких є випадкові, не враховані при вимірюванні.

16. Щоб урахувати наявність впливу факторів, які не входять до економетричної моделі, вводиться стохастична складова. Математичний аналіз цієї складової дає змогу зробити висновок про те, чи можна вважати її випадковою величиною, чи вона містить систематичну частину відхилень, яка може бути зумовлена наявністю тих чи інших помилок у моделюванні. Економетрична модель у такому разі подається у вигляді

Y = a₀ + a₁X + u .

17. У класичній лінійній економетричній моделі змінна u інтерпретується як випадкова змінна, що має розподіл з математичним сподіванням, яке дорівнює нулю, і постійною дисперсією . Це дає змогу розглядати змінну u як стохастичне збурення (помилку, відхилення). Згідно з центральною граничною теоремою стохастична складова економетричної моделі розподілена за нормальним законом.

18. Якщо економетрична модель вимірює зв’язок між двома змінними, то кожну пару спостережень над цими змінними можна зобразити у двовимірній системі координат. У результаті дістаємо кореляційне поле точок. Згідно з гіпотезою про лінійність зв’язку через кореляційне поле точок можна провести принаймні кілька прямих ліній, які різняться своїми параметрами a₀ і a₁.

19. Щоб певна пряма адекватно описувала фактичну залежність, необхідно застосувати такий метод оцінювання параметрів моделі і , коли відхилення фактичних значень від розрахункових будуть мінімальними. У цьому разі мінімізації підлягає сума квадратів відхилень (залишків):

,

на якій грунтується метод найменших квадратів (1МНК).

20. Необхідною умовою мінімізації залишків є перетворення на нуль похідних цієї функції за кожним із параметрів і . У результаті утворюється система нормальних рівнянь

розв’язком якої є  знаходження невідомих оцінок параметрів  і .

21. Оскільки оцінки найменших квадратів такі, що лінія регресії проходить обов’язково через точку середніх значень ( , ), то оцінки параметрів моделі можна дістати так:

;    ;

, .

22. для фактичних значень незалежної змінної модель має вигляд:

Y = a₀ + a₁X + u ,

а для розрахункових:  

Тому залишки обчислюються згідно з рівністю

u = Y – 

.

Незміщена оцінка дисперсії  залишків подається так: