Багатофакторні економетричні моделі

Друга умова передбачає наявність сталої дисперсії залишків. Цю властивість називають гомоскедастичністю. Проте вона може виконуватись лише тоді, коли залишки u є помилками вимірювання. Якщо залишки акумулюють загальний вплив змінних, які не враховані в моделі, то звичайно дисперсія залишків не може бути сталою величиною, вона змінюється для окремих груп спостережень. У такому разі йдеться про явище гетероскедастичності, яке впливає на методи оцінювання параметрів.

Третя умова передбачає незалежність між залишками і пояснювальними змінними, яка порушується насамперед тоді, коли економетрична модель будується на базі одночасових структурних рівнянь або має лагові змінні. Тоді для оцінювання параметрів моделі використовуються, як правило, дво- або трикроковий метод найменших квадратів.

Четверта  умова означає, що всі пояснювальні змінні, які входять до економетричної моделі, мають бути незалежними між собою. Проте очевидно, що в економіці дуже важко вирізнити такий масив незалежних (пояснювальних) змінних, які були б зовсім не пов’язані між собою. Тоді щоразу необхідно з’ясовувати, чи не впливатиме залежність пояснювальних змінних на оцінку параметрів моделі.

Це явище  називають мультиколінеарністю змінних, що призводить до ненадійності оцінки параметрів моделі, робить їх чутливими до вибраної специфікації специфікації моделі та до конкретного набору даних. Знижується рівень довіри до результатів верифікації моделей з допомогою 1МНК.Отже, це явище з усіх точок зору є дуже небажаним. Але воно досить поширене. Далі розглянемо методи виявлення мультиколінеарності і способи її врахування з допомогою специфікації моделі чи спеціальних методів оцінювання параметрів.

 

 

 

Розділ 2. Типове рішення задач

 

 

Умова завдання:

 

Нехай Y(ВВП, млрд.грн.) знаходиться в деякій залежності від двох змінних X₁ (L, тис.чол.) і Х₂ (К, млрд.грн.), дані представлені в таблиці № 1.1. Взаємозвязок між цими чинниками передбачається лінійний.

Таблиця № 1.1

№ спостереження	Yi1	Xi1	Xi2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	10 12 17 13 15 10 14 12 16 18	2 2 8 2 6 3 5 3 9 10	1 2 10 4 8 4 7 3 10 11

 

Таким чином, передбачається, що:

Y_i = a₀ + a₁ * X_i1+ a₂ * X_i2

або

Y = a₀ + a₁ * X₁ + a₂ *X₂

 

Параметри моделі а₀, а₁, а₂ слід оцінити методом найменших квадратів – МНК в операторному вигляді.

 

1. Порядок виконання роботи (алгоритм рішення)

 

Система нормальних рівнянь  за методом 1МНК запишеться як:

(ХˈХ) ^-1А = ХˈY

 

Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд:

А = (ХХ) ^-1 * ХˈY,

 

де  А – стовпець – вектор, який є результатом розвязання системи нормальних рівнянь;

Х – матриця незалежних змінних;

Хˈ – матриця, транспонована до матриці незалежних змінних;

Y – координати вектора незалежних змінних;

(ХˈХ) – матриця моментів;

(ХˈХ) ^-1 – обернена матриця, яка може бути знайдена так :

 

   |В₁₁ В₁₂ В₁₃|^T

В^-1 = _1__*  |В₂₁ В₂₂ В₂₃| ,

det B    |В₃₁ В₃₂ В₃₃|

 

де В_ji – алгебраїчне доповнення елемента b_ji матриці В.

 

В_ji = (-1)^j+і * M_ji ,

 

де М_ji – мінор для елемента b_ji, тобто визначник матриці, отриманої шляхом викреслення j-го стовпця та і-го рядка;

 

det B – визначник матриці В.

 

 

 

2.2 Розвязання завдання

 

 

№	Yi	Xi1	Xi2	Y	Ui	Ui2
1	10	2	1	10,2559	-0,2559	0,07
2	12	2	2	10,8676	1,1324	1,28
3	17	8	10	16,5324	0,4676	0,22
4	13	2	4	12,0911	0,9089	0,83
5	15	6	8	15,0520	-0,0520	0,00
6	10	3	4	12,2196	-2,2196	4,93
7	14	5	7	14,3117	-0,3117	0,10
8	12	3	3	11,6078	0,3922	0,15
9	16	9	10	16,6609	-0,6609	0,44
10	18	10	11	17,4011	0,5989	0,36
∑						8,37

 

 

 

Крок 1.  Створення матриці Х

 

Х=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 8 2 6 3 5 3 9 10

1 2 10 4 8 4 7 3 10 11

 

 

 

Крок 2. Створення матриці Хˈ ( транспонованої до матриці Х).

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Хˈ = 2 2 8 2 6 3 5 3 9 10

1 2 10 4 8 4 7 3 10 11

 

 

 

Крок 3. Створення вектора Y.

 

Y=	10 12 17 13 15 10 14 12 16 18

 

 

Крок 4. Створення матриці моментів В = (ХˈХ).

 

В = ХˈХ =

10       50      60 50       336    398 60       398    480

 

 

Крок 5. Створення вектора ХˈY та його розрахунок.

 

XˈY=	137 756 908

B = (XˈY) = 7160

 

 

Крок 6. Створення оберненої матриці В^-1.

 

Матриця В^-1 може бути знайдена за такою формулою:

 

   | B₁₁  B₁₂ B₁₃|

 B^-1 = __1__    *   | B₂₁   B₂₂ B₂₃| = __1__ * J

 det B     | B₃₁   B₃₂ B₃₃|   det B

 

де B_ij – алгебраїчне доповнення елемента b_ij , матриці В.

 

B_ij = (-1)^i+j * M_ij – мінор для елемента b_ij, визначник матриці, яка отримана із початкової шляхом викреслювання j-го стовпця та і-го рядка.

det B – визначник матриці В.

 

Розраховуємо мінори:

 

   |336  398|

В₁₁ = |398  480| * (-1)² = 2876

 

|50  398|

В₁₂ = |60   480| * (-1)³ = -120

 

|50  336|

В₁₃ = |60   398| * (-1)⁴ = 260

 

|50    60|

В₂₁ = |398  480| * (-1)³ = -120

 

|10    60|

В₂₂ = |60   480| * (-1)⁴ = 1200

 

|10    60|

В₂₃ = |50   398| * (-1)⁵ = -980

 

|50    60|

В₃₁ = |336   398| * (-1)⁴ = 260

 

|10    60|

В₃₂ = |50   398| * (-1)⁵ = -980

 

|10    50|

В₃₃ = |50   336| * (-1)⁶ = 860

 

Підставляємо значення мінорів у матрицю J:

 

| 2876  -120   260|

J =  | -120  1200  -980|

| 260  -980    860|

 

 

Таким чином, обернена матриця має вигляд:

 

| 0.4017 -0.0168  0.0363|

B^-1 =    | -0.0168 0.1676 -0.1369|

| 0.0363 -0.1369  0.1201|

 

| a₀|

Крок 7. Знаходимо оцінку параметру А =  | a₁| :

| a₂|

A = (XˈX) ^-1 * XˈY = B^-1 * XˈY.

 

| 0.4017 -0.0168 0.0363|    | 137|     |-9.3872|

A =   | -0.0168  0.1676       -0.1369| * | 756| =  | 0.1285|

| 0.0363  -0.1369 0.1201|    | 908|     |-0.6117|

 

ơ² = 1.05

 

Висновок: Оцінка параметрів багатофакторної економетричної моделі

Y = a₀ + a₁ * X₁ + a₂ * X₂ має вигляд Y = -9, 3872 + 0,1285Х₁ - 0,6117Х₂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 3.  Операторна інструкція рішення

задачі на ПК

 

 

Побудова й оцінка параметрів багатофакторної економетричної моделі передбачається в системі  програмних надбудов Microsoft Office. Найбільш орієнтованою програмною надбудовою для вирішення такого класу завдань є MS Excel. Ця програма володіє потужним інтерфейсом для роботи з електронними таблицями.

Загальний вигляд вікна  додатка Excel містить усі стандартні елементи, такі як зона заголовку, горизонтальне меню, дві панелі інструментів, смуги прокрутки, рядок стану.

Перерахуємо елементи вікна, специфічні для програми Excel.

Нижче панелі «Форматування» розташовується рядок формул, в якому набираються і редагуються дані та формули що вводяться у осередок. У лівій частині цього рядка знаходиться список, що розкривається,  - поле імені, в якому висвічується адреса ( або імя) виділеного елементу таблиці. Елемент таблиці, обрамлений сірою рамкою, є виділеним.

Нижче рядка формул знаходиться заголовок стовпця ( з позначеними номерами А, В, С), а в лувій частині екрану – заголовок рядка ( з номерами 1, 2, 3). У лівій частині заголовку стовпця ( або у верхній частині заголовку рядка) є порожня кнопка для виділення всієї таблиці.

У правій частині вікна  бачимо стандартні смуги прокрутки, призначені для переміщення по робочому аркушу ( вгору-вниз, вліво-управо). За допомогою чорних прямокутників на цих смугах можемо розбити таблицю на два або чотири підвікна – по горизонталі, по вертикалі.

Нарешті, рядок з ярличками  листів дозволяє переходити від одного робочого аркуша до іншого в межах робочої книги.

У горизонтальному ( головному  меню) вісім пунктів ( без Довідки):

Файл, Правка, Вигляд, Вставка, Формат, Сервіс, Дані, Вікно.

 

3.1 Уведення даних

 

Для уведення вихідних даних  необхідно створити електронну таблицю.

 

 

 

Мал. 1 Фрагмент електронної таблиці з вихідними даними.

 

За даними таблиці:

Y – витрати на харчування;

X₁ – загальні витрати;

Х₂ – розмір сімї.

 

Модель має вигляд :  Y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂

Необхідно оцінити параметри  а₀, а₁, а₂.

Для того, щоб оцінити  параметри даної моделі необхідно скласти матриці Х, Хˈ, Y

 

Мал. 2  Складання матриць  Х, Хˈ, Y.

 

Знаходження оберненої  матриці.

Поняття оберненої матриці  є одним із центральних у матричних  перетвореннях. Дамо визначення оберненої  матриці та розглянемо її знаходження.

Матриця В^-1 називається оберненою до матриці В, якщо виконується рівність

В^-1 * В = В * В^-1 = Е_n,

де Е_n – одинична матриця порядку n.

Теорема :

 Якщо визначник  (det B) не дорівнює нулю, то матриця буде обернена:

_1_

В^-1 =   |В| J .

 

де  |В| - визначник матриці В;

J – так звана приєднана до В матриця. Вона складається з алгебраїчних доповнень B_ij до елементів а_ij матриці В (де і – рядок, j – стовпчик), доповнення B_ij до елементів а утворюються шляхом викреслювання і – рядока та j – стовбця, а саме:

В₁₁  В₂₁ В₃₁ ...... В_n1

B₁₂  B₂₂ B₃₂ ….. B_n2

.......  ....... ....... ...... .......

В_1n  А_2n В_3n ...... В_nn

Отже:

В₁₁ В₂₁ В₃₁ ...... В_n1

_1_ B₁₂ B₂₂ B₃₂ ….. B_n2      _1_ 

В^-1 = |В| ....... ....... ....... ...... ....... =  |В| ( B_ij)

В_1n В_2n В_3n ...... В_nn 

 

Знаходимо матрицю В^-1, обернуту до матриці В.

Знаходимо детермінант  матриці В:

1. Відкриваємо Майстер функцій, встановлюємо Категорію Математичні

 і Функцію –  «МОПРЕД», натискуємо ОК.

2. Виділяємо діапазон осередків, в яких записана матриця змінних.

3. У вікні Аргументів, що зявилося, автоматично видається наш результат. Натискуємо клавішу ОК або Enter.

 

Мал. 3  Визначення детермінанта

Визначаємо приєднану  матрицю J:

 

Мал. 4 Визначення матриці J

_1_    

Тепер необхідно знайти обернену матрицю В^-1:  В^-1 =   |В| J

 

 

Мал.  5 Знаходження оберненої матриціВ^-1

Знайдемо оператор оцінювання параметрів моделі за методом найменших  квадратів, який має вигляд:

А = (ХˈХ) ^-1 * ХˈY ,

де  А – вектор, який є розвязанням системи рівнянь;

Х – матриця незалежних зманних;

Хˈ – матриця, транспонована до матриці незалежних змінних;

Y – координати вектора незалежних змінних;

(ХˈХ) – матриця моментів;

(ХˈХ) ˈ – обернена матриця.

 

 

Мал. 6  Знаходження оператора оцінювання параметрів моделі за методом найменших квадратів

 

 

 

 

 

 

2. Уведення розрахункових формул

 

 

Далі потрібно обчислити  добуток матриць ХˈХ. Для того, щоб знайти перше значення першого рядка матриці ХˈХ потрібно перший рядок матриці Хˈ (діапазон осередків С28:L28) помножножити на перший стовпець матриці Х (діапазон осередків С16:С25). Аби набути другого значення першого рядка матриці ХˈХ потрібно другий рядок матриці Хˈ(осередки С29:L29) помножити на перший стовпець матриці Х (осередки С16:С25). Теж саме робимо і з наступними значеннями матриці.