Багатофакторні економетричні моделі

За одиницю сукупності спостережень часто беруть певний економічний  об’єкт, що функціонує. Вибрати одиницю  сукупності — означає визначити рівень об’єкта моделювання, наприклад великий технологічний агрегат, цех, підприємство, галузь і т.ін.

Розрізняють три способи  формування вибірки: часову, просторову і просторово-часову.

Якщо сукупність спостережень вивчається у статиці (просторова вибірка), то всі дані можна зобразити у вигляді матриці розміром n ´ m, в якій   кожний рядок несе інформацію про одиницю вибіркової сукупності, а стовпець характеризує певну ознаку.

Часова вибірка містить набір значень ознак функціонування окремого об’єкта в динаміці m ´ T, тобто по суті складається з двовимірного чи багатовимірного часового ряду.

Просторово-часова вибірка є комбінацією просторової і часової вибірок n ´ m ´ T.

 

1.3.2. Поняття однорідності спостережень

Існує багато різноманітних  підходів до аналізу та оцінювання ступеня однорідності сукупності спостережень, на основі якої будується економетрична модель. Проте багато дослідників, хоча й мають неоднакові погляди на цю проблему, одностайні в тому, що економічні сукупності, як  правило,  неоднорідні.

В економетричному дослідженні  ми користуємося поняттям відносної  однорідності, і може йтися лише про досягнення розумного ступеня  однорідності спостережень, для якого можна було б забезпечити достатню точність економічних висновків. Поняття однорідності сукупності спостережень охоплює якісну і кількісну однорідність. Під першою треба розуміти однорідність, яка визначається однотипністю економічних об’єктів, їх однаковою якістю та певним призначенням, а під другою — однорідність групи одиниць сукупності, що визначається на основі кількісних ознак. При цьому обидва поняття діалектично взаємопов’язані, і кількісна однорідність можлива лише за наявності одноякісності явищ та процесів, що утворюють сукупність спостережень.

Ознаки, які включаються  у вибірку для кожної одиниці спостереження, будуть виступати потім як змінні економетричної моделі, тому, формуючи сукупність спостережень, треба забезпечити порівнянність даних у просторі та часі.

 

Це означає, що дані вихідної сукупності спостережень повинні мати:

1) однаковий ступінь агрегування;

2) однорідну структуру  одиниць сукупності;

3) одні й ті самі  методи розрахунку показників  у часі;

4) однакову періодичність  обліку окремих змінних;

5) порівнянні ціни  та однакові інші зовнішні  економічні умови.

 

1.3.3. Точність вихідних даних

Висновки, які можна  зробити в результаті економетричного  моделювання, цілком зумовлені якістю вихідних даних — їх повнотою та вірогідністю. Це одна з найважливіших особливостей економетричного моделювання, на яку звертають увагу багато видатних економетристів. Так, наприклад, О. Моргенштерн ступінь точності даних, які необхідні для дослідження, ставить в пряму залежність від тієї конкретної мети, заради якої виконується вимірювання. При економічних розрахунках постає питання про точність (помилку) економічних показників. Похибки показників виникають і нагромаджуються при побудові алгоритму розрахунку, при формуванні даних, у процесі обчислень. Найістотніші похибки можуть виникати при переведенні понять економічної теорії в показники. Ці помилки можна назвати помилками, пов’язаними з розрахунком економічних показників. Вони спричинюються неточністю і неповнотою визначення змісту показників, невідповідністю між вимогами і фактичним змістом, коли в принципі не можна точно виміряти економічні процеси та явища.

Усі помилки поділяються на систематичні та випадкові.

Систематичні  помилки або мають постійну величину, або змінюються, підпорядковуючись певній функціональній залежності. Вони завжди однонапрямлені і можуть бути істотними за величиною.

Випадкові помилки зумовлюються впливом випадкових чинників при формуванні показників. При повторних розрахунках економічних показників такі помилки можуть взаємно погашатись. Проте це не означає, що й економічні наслідки випадкових помилок мають ті самі властивості. Часто відхилення в оцінці показника в будь-який бік призводять до втрат або економічні наслідки є нелінійною функцією випадкових помилок. Тому, формуючи сукупність спостережень для побудови економетричної моделі, слід звертати увагу на можливість існування помилок у вихідних даних. Якщо немає змоги позбутись цих помилок (а впевненість в їх наявності існує), то слід використовувати спеціальні методи оцінювання параметрів економетричної моделі, про які йтиметься далі.

 

1.3.4. Вибір змінних і структура зв’язків

Економетричне моделювання  базується на деякій сумі професійних  знань про об’єкт дослідження. До завдань попереднього аналізу належить вирішення таких основних питань:

1) визначення набору  змінних, які описують процес  функціонування досліджуваних об’єктів;

2) аналіз взаємозв’язків  між окремими змінними;

3) установлення переліку  допустимих операцій над змінними  і зв’язками, тобто вибір раціонального  типу економетричної моделі.

Питання вибору результативних ознак (економічних  показників), що моделюються, вирішується відносно просто. Вони часто задані формулюванням мети дослідження. Вибір незалежних змінних (ознак-факторів) є процесом послідовного уточнення початкової гіпотези. У цьому процесі можна вирізнити такі етапи: формування початкової гіпотези про набір незалежних змінних; експертна оцінка цього набору; аналіз взаємозв’язків; добір і звуження кола істотних для моделювання змінних.

В основу формування початкової гіпотези про набір змінних покладено  загальну схему функціонування об’єкта, що моделюється. На перелік змінних, які вносяться до початкового набору, має вплив призначення моделі, тип дослідження і т.ін.

Звуження початкового  набору змінних — процес багатостадійний, який відбувається на всіх етапах побудови моделі: під час проведення апріорного аналізу і формування робочої гіпотези (ще до збору вихідних даних), на етапі їх попереднього аналізу і перетворення і навіть на етапі побудови моделі. В основу процесу звуження набору змінних на стадії формування робочої гіпотези покладено результати експертного опитування та змістовні міркування різного типу; можливість і точність вимірювань; трудомісткість збору даних; діапазон варіації і можливість регулювання значень змінних; максимально допустиме їх число; функціональні зв’язки та ряд інших міркувань.

 

 

1.4 Оцінка параметрів рівняння багатофакторної регресії

Оцінки параметрів є вибірковими характеристиками і повинні мати такі властивості:

1) незміщеності;

2) обгрунтованості;

3) ефективності;

4) інваріантності.

Вибіркова оцінка параметрів називається незміщеною, якщо вона задовольняє рівність

 

У розглядуваному випадку 

Оскільки згідно з  першою умовою , то .

Отже, оцінка параметрів 1МНК є незміщеною.

Незміщеність — це мінімальна вимога, яка ставиться  до оцінок параметрів . Якщо оцінка незміщена, то при багаторазовому повторенні випадкової вибірки попри те, що для окремих вибірок, можливо, були помилки оцінки, середнє значення цих помилок дорівнює нулю.

Різниця між математичним сподіванням оцінки і значенням  оціненого параметра 

 

називається зміщенням оцінки.

Не можна плутати помилку  оцінки з її зміщенням. Помилка дорівнює і є випадковою величиною, а зміщення — величина стала.

Дуже важливою властивістю оцінки є її обгрунтованість.

Вибіркова оцінка параметрів А називається обгрунтованою, якщо при досить малій величині  > 0 справджується cпіввідношення

 

Іншими словами, оцінка обгрунтована, коли вона задовольняє  закон великих чисел. Обгрунтованість помилки означає, що чим більші будуються вибірки, тим більша ймовірність того, що помилка оцінки не перевищуватиме достатньо малої величини e.

Для обгрунтованості оцінок, здобутих на основі 1МНК, мають виконуватися три умови:

1) ,  де  Q  —  додатно визначена матриця;

2)   де  Q — додатно визначена матриця;

3)

Третя властивість оцінок Â — ефективність — пов’язана з величиною дисперсії оцінок.

Тут доречно сформулювати важливу  теорему Гаусса — Маркова, що стосується ефективності оцінки 1МНК.

Теорема Гаусса — Маркова. Функція оцінювання за методом 1МНК покомпонентно мінімізує дисперсію всіх лінійно незміщених функцій вектора оцінок :

   для   ,

де  — дисперсія оцінок , визначених згідно з 1МНК, — дисперсія оцінок , визначених іншими методами.

Отже, функція оцінювання 1МНК  у класичній лінійній моделі є найкращою (мінімально дисперсійною) лінійною незміщеною функцією оцінювання. (Цю властивість називають BLUE).

З означення дисперсії  випливає, що — параметр розподілу випадкової величини А, яка є мірою розсіювання її значень навколо математичного сподівання.

Вибіркова оцінка параметрів А називається ефективною, коли дисперсія цієї оцінки є найменшою.

Нехай ефективна оцінка параметрів , а — деяка інша оцінка цих параметрів. Тоді

тобто це відношення називається  ефективністю оцінки. Очевидно, що ; чим ближче до одиниці, тим ефективнішою є оцінка. Цікаво, що відношення може бути функцією сукупності спостережень , причому зі збільшенням може швидко змінюватися.

Незміщена оцінка , дисперсія якої при задовольняє умову називається асимптотично ефективною оцінкою.

Пошук ефективних оцінок параметрів — досить складна справа. Проте оскільки дисперсія середнього арифметичного значення оцінки, яка  має  вимірів, дорівнює то, як можна довести, що дає ефективну оцінку параметрів А.

Ще одна важливість оцінок — їх інваріантність.

Оцінка  параметрів називається інваріантною, якщо для довільно заданої функції оцінка параметрів функції подається у вигляді . Іншими словами, інваріантність оцінки базується на тому, що в разі перетворення параметрів за допомогою деякої функції таке саме перетворення, виконане щодо , дає оцінку нового параметра.

Інваріантність оцінок має велике практичне значення. Наприклад, якщо відома оцінка дисперсії генеральної  сукупності і вона інваріантна, то оцінку середньоквадратичного відхилення можна дістати, добувши квадратний корінь із оцінки дисперсіі. Коефіцієнт кореляції R є інваріантною оцінкою до коефіцієнта детермінації .

 

 

 

 

 

5. Передумови використання методу найменших квадратів.

Нехай економетрична  модель у матричній формі має  вигляд

 

де Y — вектор значень залежної змінної;

X — матриця незалежних змінних розміром (n — число спостережень, m — кількість незалежних змінних);

A — вектор оцінок параметрів моделі;^*

u — вектор залишків.

Щоб застосувати 1МНК  для оцінки параметрів моделі, необхідне  виконання таких умов:

1) математичне сподівання  залишків дорівнює нулю, тобто

 

2) значення u_i вектора залишків u незалежні між собою і мають постійну дисперсію, тобто

  

де Е — одинична матриця;

3) незалежні змінні моделі не  пов’язані із залишками:

 

4) незалежні змінні  моделі утворюють лінійно незалежну  систему векторів, або, іншими словами, незалежні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто :

 

,

де X_k — k-й вектор матриці пояснювальних змінних; X_j — j-й вектор цієї матриці пояснювальних змінних X, .

Перша умова, здавалося б, є очевидною. Адже коли математичне сподівання залишків не дорівнює нулю, то це означає, що існує систематичний вплив на залежну змінну, а до модельної специфікації не введено всіх основних незалежних змінних. Якщо ця передумова не виконується, то йдеться про помилку специфікації.

зауважимо, що коли економетрична модель має вільний член, то майже завжди за рахунок його значення можна скоригувати рівняння так, щоб математичне сподівання залишків дорівнювало нулю. Отже, для таких моделей перша умова практично виконуватиметься завжди.