Задачи исследования динамических систем

Для отображения результатов моделирования  в ПК «МВТУ» используются типовые  блоки Временной график, Фазовый портрет, График Y от X. Последний из этих блоков позволяет отображать результаты расчета в линейно распределенных объектах, например, можно отобразить распределение напряжения в длинной линии. Графические окна, связанные с этими блоками, имеют средства для автомасштабирования, нахождения координат любой точки графика, а также для оформления графиков (заголовки, подписи, цветовое оформление). Дополнительные возможности для отображения результатов моделирования предоставляют блоки библиотеки Анимация, позволяющие создавать движущиеся объекты.

Удобным средством просмотра результатов в процессе моделирования является блок Параметры горячей линии, который инициализируется после 2-х кратного щелчка левой клавишей мыши по линии связи. В результате появляется окно с текущими значениями сигналов (несколькими для векторной линии). Это позволяет определить значение любой переменной в любой момент модельного времени, что упрощает отладку сложных моделей. В ПК «МВТУ» есть и другие средства отладки. Например, можно найти все алгебраические контуры с указанием блоков, удаление которых размыкает эти контуры. Можно включить режим отладки, тогда после каждого шага интегрирования можно посмотреть значения всех переменных. Средства диагностики обеспечивают выдачу диагностических сообщений («Переполнение», «Деление на 0» и т.д.) с указанием конкретного блока, где произошла данная ошибка.

Для оперативного управления процессом  моделирования используется режим  КОНТРОЛЬ И УПРАВЛЕНИЕ, позволяющий  с помощью специальной библиотеки создать Панель управления с расположенными на ней виртуальными аналогами переключателей, ручных регуляторов, лампочек и измерительных приборов. Все эти устройства можно связать с конкретными переменными модели. Пример такой панели управления показан на рис. 8.

 
 

Рис. 8. Панель управления.

3. Оптимизация

При решении задачи оптимизации  в ПК «МВТУ» необходимо задать оптимизируемые параметры (обозначим их p₁, ..., p_n) и наложить на них ограничения вида

p_{i min} ≤ p_i ≤ p_{i max} , i = 1, ..., n.

Эти параметры задаются как глобальные. Критерии качества вычисляются в  процессе моделирования. Они формируются  типовыми блоками и задаются как  глобальные переменные с помощью  блоков В память. На критерии (обозначим их Q₁, ..., Q_m) также накладываются ограничения вида

Q_{i min} ≤ Q_i ≤ Q_{i max} , i = 1, ..., m.

Задача оптимизации формулируется  следующим образом: найти значения оптимизируемых параметров, при которых  выполняются все заданные ограничения. Для решения этой задачи на основе нормированных частных критериев программа оптимизации формирует общий критерий, который минимизируется с помощью поисковых алгоритмов (некоторые из них приведены в [12]). Оптимизации заканчивается, если выполняется хотя бы одно из трех условий: 1) выполняются все ограничения; 2) приращения по параметрам меньше заданных; 3) превышено максимальное число моделирований. Если на какой либо из критериев наложить заведомо невыполнимые ограничения, то в зависимости от этих ограничений он будет минимизирован либо максимизирован. Подобным образом можно решать задачи условной оптимизации, а в общем случае – задачи многокритериальной оптимизации.

В качестве примера рассмотрим оптимизацию  параметров ПИД-регулятора с передаточной функцией

для системы с объектом, имеющим  передаточную функцию

.

(файл \Demo\Оптимизация\Opt_PID.mrj). Структурная  схема, подготовленная для решения  этой задачи в ПК "МВТУ" показана  на рис. 9, где объект представлен  макроблоком. В этой схеме сформированы  следующие критерии качества: T –  время переходного процесса; y_max – максимальное значение выходной переменной; y'_max – максимальное значение производной выходной переменной. Критерий T сформирован в блоке Язык программирования, программа которого имеет вид

Листинг 7

input e;

if abs(e)>0.05 then T=time;

output T;

Рис. 9. а – модель оптимизируемой системы; б – объект (макроблок).

 

Потребуем, чтобы добротность по ускорению была не менее 4 с-2. Зададим  ограничения на оптимизируемые параметры: 0 ≤ K_p ≤ 10, 4 ≤ K_i ≤ 20, 0 ≤ K_d ≤ 20. Зададим ограничения на критерии: 0 ≤ T ≤ 2, 0 ≤ y_max ≤ 1.3, 0 ≤ y'_max ≤ 3. Ограничения на параметры и критерии, а также метод оптимизации и вид (способ формирования) общего критерия (аддитивный, квадратичный, минимаксный, мультипликативный) задаются в диалоговом окне Параметры оптимизации.

Зададим в окне глобальных параметров начальные значения оптимизируемых параметров: K_p = 1; K_i = 5; K_d = 1. Выполнив моделирование, получим переходный процесс, показанный на рис. 10 красной линией. Такой процесс не удовлетворяет заданным требованиям, поэтому произведем оптимизацию, в результате которой получим K_p = 4.3; K_i = 4.0; K_d = 1.1. По желанию пользователя эти значения автоматически переносятся в окно глобальных параметров. Переходный процесс при таких параметрах (синяя линия на рис. 10) удовлетворяет всем заданным требованиям.

Рис. 10. Переходный процесс до оптимизации (красная линия) и после оптимизации (синяя линия).

4. Анализ

В этом режиме производится линеаризация системы в окрестности текущей  точки на траектории решения и  последующий расчет частотных характеристик  либо передаточных функций. Для определения  состояния системы необходимо предварительно произвести ее инициализацию (расчет начального состояния) либо моделирование.

Расчет частотных характеристик  выполняется путем подстановки s = jω и решения полученной системы линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. При наличии в системе дискретных блоков принимается z = e^jωT и используется гармонически линеаризованная модель экстраполятора нулевого порядка, задаваемая передаточной функцией W(s) = (1 - e^-sT) / (sT), где T – период экстраполяции.

При расчете частотных характеристик  необходимо задать с помощью блоков В память имена переменных, относительно которых будут рассчитаны характеристики. Далее эти имена используются для указания входов и выходов; кроме этого задается вид характеристики (АЧХ, ЛАХ, ФЧХ, Вещественная, Мнимая). Можно также построить годографы Найквиста, Попова, Михайлова, кривую D-разбиения. Результаты выводятся в соответствующее графическое окно.

При расчете передаточных функций, их полюсов и нулей также указываются  входы и выходы. Рассчитываются коэффициенты, полюсы и нули для каждой из заданных таким образом передаточных функций. Если входы и выходы не указаны, то будут рассчитаны коэффициенты характеристического полинома и корни характеристического уравнения. Расчет выполняется с использованием алгоритмов, приведенных в [12].

Алгоритмы анализа могут быть реализованы  также и с помощью блока Язык программирования, что значительно расширяет круг решаемых задач (пример реализации алгоритма расчета годографа Найквиста был приведен выше).

5. Синтез

 

Как и анализ, синтез выполняется  по линеаризованной модели, и для  определения состояния системы  необходимо предварительно произвести ее инициализацию либо моделирование. Для расчета параметров регулятора используется интерполяционный принцип [13], позволяющий формализовать широко распространенные в инженерной практике частотные и корневые методы синтеза систем управления.

5.1. Частотный метод

Приведем основные соотношения  частотного метода, реализованного в  ПК «МВТУ». В общем случае структура  линейной системы с одним входом и одним выходом имеет вид, показанный на рис. 11, где u₀ – входное воздействие, u₁ – сигнал управления, y₀ – выходная (управляемая) переменная, y₁, y₂, ..., y_m – измеряемые переменные, G(s) = [G_ij(s)] – матричная передаточная функция неизменяемой части размером (m + 1) · 2, K(s) = [K₁(s), K₂(s), ..., K_m(s),] – векторная передаточная функция регулятора. Примем передаточные функции регулятора в виде

(5.1)

K_i(s) = N_i(s) / D(s), i = 1, ..., m

где N₁(s), ..., N_m(s), D(s) – полиномы числителей и общего знаменателя.

Рис. 11. Структура одномерной системы.

Обозначим через W(s) передаточную функцию  системы от входа u₀ к выходу y₀, и пусть W_эт(s) – желаемая передаточная функция (эталонная модель), удовлетворяющая заданным требованиям к динамике системы. Зададим набор частот ω₁, ω₂, ..., ω_n и потребуем, чтобы выполнялись условия

(5.2)

W(jω_i) = W_эт(jω_i), i = 1, ..., n.

На основе соотношений (5.2) можно  составить систему линейных алгебраических уравнений, позволяющую найти неизвестные  коэффициенты передаточных функций (5.1) регулятора. Хотя бы один из этих коэффициентов должен быть задан заранее, иначе система будет иметь бесконечное множество решений. Некоторые коэффициенты могут быть заданы из условий требуемого порядка астатизма, заданной добротности, фильтрующих свойств регулятора и т.д. Полученная система уравнений имеет комплексные коэффициенты, поэтому ее можно представить в виде системы из 2n уравнений с действительными коэффициентами. Пусть p – число неизвестных параметров регулятора, тогда из условия равенства числа уравнений и числа неизвестных получим при четном p число узловых частот n = p / 2. При нечетном p для узловой частоты ω₁ формируется только одно уравнение по методу наименьших квадратов, тогда n = (p + 1) / 2.

При синтезе частотным методом  в ПК "МВТУ" формируются две модели, одна из которой – модель синтезируемой системы, а вторая (эталонная) имеет желаемую передаточную функцию. В каждой из этих моделей с помощью блока В память обозначаются вход и выход. Обозначаются также входы и выход регулятора. В общем случае нужно найти передаточные функции регулятора (от каждого из его входов к выходу), в частном случае это могут быть коэффициенты. В специальном окне задаются: тип регулятора (непрерывный или дискретный), набор узловых частот, имена входов и выходов, порядки и некоторые из коэффициентов полиномов, входящих в (5.1).

Формирование желаемой передаточной функции по заданным требованиям  является нетривиальной задачей, поэтому  в ПК «МВТУ» создан каталог типовых  эталонных моделей (\Demo\Синтез\Etalons). Необходимо только выбрать модель, соответствующую нужному типу ЛАХ и задать некоторые ее параметры (обычно это значения добротности и запаса устойчивости по фазе).

Для рассмотренной выше системы  управления с ПИД-регулятором выберем  эталонную модель с астатизмом 2-го порядка, в которой зададим добротность 5 с ^-2 и запас по фазе 45°. Узловые частоты зададим 0.1 и 3.5 с ^-1 (последнее значение примерно равно частоте среза эталонной системы). Подготовленная для решения задачи синтеза схема (файл \Demo\Синтез\Freq_Syn\Synt_PID.mrj) показана на рис. 12. Определяемыми параметрами являются здесь коэффициенты весового сумматора. В обратные связи включены ключи, которые используются для размыкания систем при расчете частотных характеристик. В результате синтеза получим K_p = 4.7; K_i = 5.0; K_d = 1.1. Частотные характеристики (ЛАХ и ФЧХ) эталонной и синтезированной систем приведены на рис. 13. Видно, что на низких и средних частотах кривые практически совпадают. Переходные характеристики в эталонной и синтезированной системах, представленные на рис. 14, также практически совпадают.

Рис. 12. Модель для решения задачи синтеза частотным методом.

Рис. 13. ЛАХ и ФЧХ эталонной  системы (красная линия) и синтезированной  системы (синяя линия)

Рис. 14. Переходная характеристика эталонной системы (красная линия) и синтезированной системы (синяя линия).

 

Необходимо отметить, что синтез приведет к ожидаемым результатам, если выбранная структура регулятора позволяет обеспечить выполнение заданных требований. В противном случае частотная характеристика может существенно отличаться от желаемой в точках, отличных от узловых. В результате качество системы может быть хуже заданного. В таких случаях следует снизить требования либо усложнить регулятор (повысить порядок, добавить обратные связи), что приведет к увеличению числа узловых частот.

5.2. Корневой  метод

При синтезе корневым методом обозначаются входы и выход регулятора, а  также задается желаемое расположение доминирующих полюсов, число которых  должно быть равно числу неизвестных  параметров регулятора. В частном  случае можно задать все полюсы замкнутой системы, а в качестве измеряемых использовать все переменные состояния, тогда решается задача модального управления в стандартной постановке.

Для рассматриваемой системы управления с ПИД-регулятором (файл \Demo\Синтез\ Root_Syn\Synt_PID.mrj) зададим полюсы -2 + j; - 2 - j; -3. В результате расчета получим K_p = 3.2; K_i = 2.4; K_d = 0.72 и полюсы -2 + j; - 2 - j; -3; -5.0; -35; -100. Заданные полюсы действительно оказались доминирующими. Если же задать полюсы -3; -4; -5, то один из полюсов синтезированной системы окажется равным -0.21, но тогда заданные полюсы уже не будут доминирующими. В таких случаях следует либо изменить структуру регулятора, либо задать другое расположение полюсов.

6. Исследование  адаптивного ПИ-регулятора

 

ПК "МВТУ" является удобным инструментом не только для решения инженерных задач, но и при выполнении научных исследований. В частности, он использовался при разработке и отладке алгоритмов настройки и адаптации регуляторов на основе интерполяционного метода [14]. Рассмотрим применение ПК "МВТУ" для исследования адаптивной системы с ПИ-регулятором.

Настройка параметров регулятора осуществляется на основе интерполяционного условия

(6.1)

,

где G(s) и W_эт(s) – передаточные функции объекта и разомкнутой эталонной системы, а частота настройки выбрана равной частоте среза эталонной системы ω_с. Из (6.1) получим