Задачи исследования динамических систем

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ

КАРАГАНДИНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет __________________________________

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

 

к курсовой работе

по дисциплине ELBD 1201  "Программные средства моделирования"

по дисциплине "Математические задачи и компьютерное моделирование

в электроэнергетике"

 

для студентов специальности 050718 – "Электроэнергетика"

 

 

на тему: Задачи исследования динамических систем.

 

 

 

 

 

 

Руководитель:      _____________________

^{(должность, ученая  степень, звание)}

__________________

^Ф.И.О.

«___» ___________2011 г

 

 

Студент ______________________

группа _______________________  

«___»  ________________2011 г

 

 

 

 

 

 

Караганда 2011

 

Содержание

 

 

1  Задачи исследования динамических  систем

1.1 Теория динамических систем (динамика)

 

Предыстория динамики — это описание законов механики, становление классической и небесной механики. Представления Ньютона были основаны на предположении, что законы природы могут быть выражены в математических терминах, и физические события могут быть предсказаны и смоделированы с математической точностью. Ключевым понятием в этой концепции является детерминизм: природа подчиняется неизменным законам. Процесс, описываемый детерминированной системой, однозначно определяется заданным начальным состоянием.

История современных динамических систем начинается с А. Пуанкаре в конце XIX в., который указывал, что первоначальное состояние процесса мы можем знать только приближенно и, кроме того, «иногда небольшая разница в начальном состоянии приводит к большой разнице в окончательном явлении. Предсказание становится невозможным, мы имеем явление случайное». Именно А. Пуанкаре впервые обнаружил хаотическое поведение траекторий в задаче трех тел. Отметим, что в данном случае хаотические траектории возникают в строго детерминированной механической системе, подчиненной законам Ньютона.

В настоящее время в основе изучения динамики лежит следующая точка зрения: Изучение долгосрочного асимптотического поведения, и особенно поведения качественных характеристик, требует прямых методов, которые не основываются на знании решений в явном виде. В дополнение к качественному изучению динамических систем определенную роль играют вероятностные методы.

1.2 Непрерывные и дискретные системы

 

Хотя исторически главным объектом исследований в теории динамических систем были потоки, порожденные дифференциальными  уравнениями, в семидесятые годы прошлого века особое внимание было обращено на дискретные динамические системы. Непрерывная динамическая система задается, как правило, автономным дифференциальным уравнением (или системой таких уравнений). Решение такого уравнения имеет вид , где x₀ задает начальное состояние системы при t = t₀, а t трактуется как время. В этом случае эволюция системы описывается кривой в фазовом пространстве. Основные теоремы курса дифференциальных уравнений гарантируют существование решения при достаточно широких предположениях относительно отображения F, однако его нахождение (интегрирование системы) является довольно трудной задачей. Более того, решения большинства дифференциальных уравнений не выражаются через элементарные функции. При решении реальных задач решение строится с использованием численных методов.

В этом смысле дискретные динамические системы являются более простыми для изучения, так как отображение является в этом случае аналогом решения и проблема интегрирования не усложняет понимания эволюции системы. Компьютерное моделирование позволяет легко строить траекторию системы на конечном интервале времени, что дает возможность решать многие задачи.

В 1935 г. Г. Биркгоф впервые применил символическую динамику для кодировки траекторий вблизи гомоклинической орбиты. С. Смейл применил ту же технику при построении так называемой «подковы» — простой модели хаотической динамики. «Подкова Смейла» оказала существенное влияние на теорию хаоса, так как этот пример является типичным, а методы символической динамики оказались тем инструментом, который позволяет описать природу детерминированного хаоса.

Регулярное изучение хаоса  началось в 1960-х годах, когда исследователи  осознали, что даже самые простые нелинейные модели порождают столь же неупорядоченное поведение, как самый бурный водопад. Незаметные различия исходных условий порождают значительное расхождение в результатах, что называют «чувствительной зависимостью от начальных данных». Поскольку абсолютная точность вычислений невозможна, а построение более сложных математических моделей порождает еще большую зависимость от начальных данных, то это неминуемо приводит к системам, допускающим неопределенные или хаотические решения (траектории). Следовательно, хаотического поведения систем избежать нельзя, и мы должны научиться предвидеть хаос и им управлять.

1.3 Символическая динамика

 

Важным инструментом, позволяющим  исследовать такие сложные явления  в динамических системах, как хаос, существование странных аттракторов является метод символической динамики. Название отражает основную идею метода — описание динамики системы при помощи допустимых последовательностей символов (допустимых слов) из конечного набора символов (алфавита). Впервые кодировка траекторий последовательностями символов для описания глобального поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны была применена Ж. Адамаром в 1898 г. Основателем методов символической динамики является Х. Морс. Название «Символическая динамика» ввели Х. Морс и Ж. Хелунд. Большой вклад в развитие методов символической динамики внес Р. Боуэн. Существенное влияние на развитие этих методов оказал упоминавшийся ранее пример «подковы Смейла».

Предположим, что прибор (реальный или условный) фиксирует состояние системы или положение фазовой точки. Эти значение выдаются с некоторой точностью. Например, электронные часы показывают значение t_i, когда реальное значение t лежит в интервале [t_i, t_i + h), где величина h > 0 зависит от конструкции часов. В общем случае можно считать, что фазовое пространство M исследуемой системы покрыто конечным числом ячеек {M_i} и прибор указывает номер или индекс i ячейки, когда точка x лежит в ячейке M_i. Ячейки могут пересекаться, когда стрелка прибора стоит точно на границе M_i и M_j. Тогда любое значение i или j считается правильным. Можно считать, что прибор фиксирует индекс ячейки через равные промежутки времени и траектория системы (т. е. множество последовательных значений фазовой точки под действием системы) кодируется последовательностью индексов . Индексами могут быть символы любой природы: номера, буквы, координаты и т. д. Если символами являются буквы алфавита, то число букв совпадает с числом ячеек, и траектории кодируются последовательностями букв, которые называются допустимыми словами. Таким образом, множество возможных состояний системы (фазовое пространство) разбивается на конечное число ячеек. Каждая ячейка соответствует символу, а «прибор» в каждую единицу времени показывает символ, соответствующий той ячейке, в которой лежит текущее состояние системы. Следует отметить, что по данной последовательности символов однозначно восстанавливается последовательность ячеек, через которые проходит траектория. Ясно, что такое описание динамики будет более точным, когда ячейки выбираются достаточно мелкими. Переход от бесконечного фазового пространства к конечному набору символов можно рассматривать как дискретизацию фазового пространства.

Существует определенное соответствие между последовательностями символов и динамикой системы. Например, периодической орбите системы соответствует  повторение конечного набора символов. Свойство возвращаемости орбиты выражается повторением символа в допустимом слове. В результате динамика системы определяется не конкретными значениями символов, а порядком их следования.

1.4 Численные методы

 

В последние годы методы компьютерного  моделирования стали необходимым  инструментом при исследовании динамических систем. Особенно важное значение имеют вопросы, связанные с теоретическим обоснованием алгоритмов. На практике мы работаем не с точной траекторией системы, а с ее приближением — -траекторией (или псевдотраекторией). Решение о существовании настоящей траектории опирается на результаты теории отслеживания, гарантирующие это существование при определенных условиях на систему.

Достаточно широкое применение получили методы исследования, основанные на использовании символического образа — ориентированного графа, определенным образом построенного по исходной системе (Г. С. Осипенко), а также методы, основанные на интервальной арифметике. В последнем случае рассматривается новый объект — интервал (или интервальный вектор для размерности фазового пространства больше или равной 2), и вводятся новые операции. Определяются правила вычисления вещественных функций над интервалами, правила оценки области значений функции, правила округления. Этот метод позволяет разрабатывать достаточно надежные и эффективные алгоритмы.

Хорошо зарекомендовали себя алгоритмы  поиска инвариантных множеств, в частности, периодических орбит, основанные на алгоритме Ньютона.

Среди задач исследования динамических систем следует выделить следующие, требующие наличия математических моделей:

1. Задачи анализа ДС. 
2. Задачи синтеза управляемых ДС.

Задача  анализа динамических систем решается с целью определения работоспособности  систем и эффективности их функционирования.

Понятие работоспособности ДС часто отождествляют  с устойчивостью.

Определение 3. Динамическая система устойчива, если после прекращения действия на нее внешних возмущающих воздействий  она возвращается в прежнее или  приходит в новое устойчивое состояние.

Рассмотрим  понятие устойчивости на примере  простой системы "шар-поверхность".

 

Пример.

 

На  шар, расположенный на поверхности, действует ограниченный период времени  сила f(t), достаточная для того, чтобы  вывести шар из состояния покоя в точке А.

Последующее перемещение шара определяется формой поверхности и отображается на графике  в виде зависимости перемещения  центра тяжести шара Y от времени t.

На  рис 1 отображается процесс перехода шара в новое устойчивое состояние.

Рисунок 1 - Нейтрально устойчивая система "шар-плоскость"

 

На  рис 2 отображается процесс возвращения шара в прежнее устойчивое состояние.

На  рис 3 процесс неустойчивый — шар не возвращается в прежнее или новое устойчивое состояние.

Рисунок 2 - Устойчивая колебательная система "шар-плоскость"

 

Рисунок 3 - Неустойчивая система "шар-плоскость"

 

Реальная техническая система  должна быть устойчивой. Эффективность  работы устойчивой ДС оценивают по прямым и интегральным оценкам качества. Вычисление оценок проводят по графикам динамических характеристик.

Будем считать, что в результате наблюдения или математического  моделирования ДС получены различные  динамические характеристики устойчивого OИ, изображенные на рис.4 и 5.

Рисунок 4 - Оценка качества монотонных характеристик ДС

Рисунок 5 -Оценка колебательных характеристик ДС

 

2 Методы оценки устойчивости динамических систем. Определение параметров математических моделей из условия устойчивости ДС.

 

Реальная техническая система  должна быть устойчива. Выше (разд. 1) это свойство ДС мы определили как условие, обеспечивающее ее работоспособность. Рассмотренный там же пример (7) показывает один из методов экспериментальной оценки устойчивости ДС: ее нужно вывести из состояния покоя или равномерного движения и наблюдать характер движения. Имея математическую модель ДС, мы можем аналитически или численно имитировать этот эксперимент, то есть решить соответствующие уравнения относительно выходного сигнала. Иногда можно оценить устойчивость и не ре-шая уравнения математических моделей, а оценивая соотношения параметров специальными косвенными методами, разработанными в ТАУ. Приведем без доказательств алгоритмы оценки устойчивости ДС. Пусть линейная (линеаризованная) ДС описывается математической моделью в виде дифференциального уравнения где коэффициенты A0, ..., An, B0, ..., Bm представляют собой параметры ДС, а оператор Р= d/dt. Решение дифференциального уравнения определяется как сумма двух решений — частного решения неоднородного уравнения (1) c правой частью и общего решения уравнения (1) без правой части, то есть с правой частью, равной нулю: Y(t)= Yчаст(t)+ Yобщ(t) (2) В случае Yчаст = const— это будет установившееся значение. В (2) первое слагаемое называют также  вынужденным решением, а второе слагаемое  — переходной составляющей Yп(t), то есть: Y(t)=Yв(t)+ Yп(t) (3) Динамическая система будет  называться устойчивой, если с течением времени при переходная составляющая будет стремиться к нулю . Найдем эту составляющую из (1). Для  этого необходимо решить однородное уравнение  Общее решение (4) может быть найдено в виде Дифференцируя это выражение n раз  и подставляя в (4), получаем алгебраическое выражение, которое принято называть характеристическим: Корни уравнения (6) S1, S2, ..., Sn будут  определять характер переходного процесса в системе. По своему виду уравнение (6) полностью совпадает с левой частью (1). Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием левой части (1) к нулю: В (7) P=S обозначает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения. Так как в решении характеристического  уравнения содержится n корней, то переходная составляющая может быть записана в  виде где P1, P2, ..., Pn — корни характеристического  уравнения, а С1, C2, ..., Cn — постоянные времени, определяемые из начальных  условий. календарь 2011 печать Корни характеристического уравнения  определяются только видом левой  части уравнения (1), а быстрота затухания  и форма переходного процесса определяются как левой, так и  правой частями исходного дифференциального уравнения. Однако устойчивость ДС не зависит  от вида правой части дифференциального  уравнения (1) и определяется только характеристическим уравнением (7). Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассмотрим эти  случаи.