Корреляционный анализ

Квантили распределения

Здесь рассматриваются  только непрерывные случайные величины, хотя данные понятия справедливы  и для дискретного случая.

Определения:

1. Квантилем (односторонним) порядка p ( ) называют решение уравнения и это решение обозначается .  Здесь - функция распределения некоторой случайной величины Х, то есть по определению функции распределения. Когда необходимо указать на распределение случайной величины Х, дополнительно указывают .

Пример 

Квантиль уровня 0,7 для стандартного нормального  распределения  , что может быть найдено по таблицам значений функции распределения стандартной нормальной величины. Таблица 2.

Сущность  понятия:

Следует непосредственно  из определения  . Отсюда видно, что интервал содержит долю распределения, равную p.

2. Двухсторонним квантилем порядка p ( ) называют решение уравнения и это решение обозначается . Когда необходимо указать на распределение случайной величины Х, дополнительно указывают . В силу того, что берется симметричный относительно нуля интервал , то понятия двухстороннего квантиля можно использовать только для симметричных распределений, в частности для стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента. 

Пример 

Двухстороння  квантиль уровня 0,7 для распределения  Стьюдента с 10 степенями свободы  , что может быть найдено по специальным таблицам. Таблица 3.

Сущность  понятия:

Следует непосредственно  из определения  . Отсюда видно, что  интервал содержит долю распределения, равную p.

Связь этих характеристик.

Положим, что для некоторого распределения  затабулированы только односторонние квантили.

1. Необходимо найти двухсторонний квантиль порядка p.

.

Замечание:

Применять эту формулу  возможно лишь тогда, когда необходимо найти  двухстороннюю квантиль уровня p, а односторонние квантили для рассматриваемого распределения известны, то есть можно найти квантиль .

Пример:

Нужно найти  . По таблицам для функции распределения стандартной нормальной величины находим одностороннюю квантиль , и получаем, что

Пусть теперь для некоторого симметричного распределения известны только двухсторонние квантили.

2. Необходимо найти одностороннюю квантиль уровня p.

Выясним какого уровня двухстороннего квантиля является односторонняя квантиль порядка p, а  для этого рассмотрим вероятность 

Отсюда из определения двухстороннего квантиля получаем связь

Пример:

Нужно найти  . По таблицам двухсторонних квантилей находим и, окончательно, получаем, что