Корреляционно-регрессионный анализ

 

Уфа – 2012

 

Лабораторная  работа №1.

 Корреляционно-регрессионный  анализ

 

1.Цель работы – изучить методику выполнения корреляционно-регрессионного анализа, по фактическим данным выполнить корреляционно-регрессионный анализ, проанализировать полученные результаты.

Задача: Определить влияние численности на доходы населения.

2. Исходные данные берем с сайта www.gks.ru.

3. Подготовим исходные данные к корреляционно-регрессионному анализу.

Таблица 1- Исходные данные.

Года	численность населения(у)	Доходы населения (х)
2003	145	5170,4
2004	144,2	6410,3
2005	143,5	811,9
2006	142,8	10196
2007	142,2	12602,7
2008	142	14948
2009	141,1	17008,6

Исходные данные являются полными, адекватными,  однородными, достоверными, сопоставимыми.

4.1. Корреляционный анализ.

4.1.1. Измерение тесноты связи - количественное выражение согласованности и направленности.

Расчитаем коэффициент корреляции.

Таблица 2- Корреляционная матрица.

	Численность населения	Доходы населения
Численность населения	1
Доходы населения	-0,833293772	1

 

Корреляционная  матрица (таблица 2) содержит частные  коэффициенты корреляции. Коэффициенты второго столбца матрицы характеризуют  степень тесноты связи между  результативным (Численность населения) и факторным признаком (Доходы населения). Связь между численностью населения  и доходами населения (r_УХ3 = -0,83329) обратная, сильная.

4.1.2. Проверка значимости.

Полученный  коэффициент корреляции проверяем  на значимость с помощью таблицы  критических значений Пирсона.

Для этого выбираем уровень ошибки=0,1. Вычисляем df(степень свободы) по формуле df=7-2, df=5. Получаем критический коэффициент r=0,669,так как 0,833>0,669 делаем вывод о значимой корреляции (r=0,833;p≤0,1).

Также значимость коэффициента корреляции можно  проверить на основе t-критерия Стьюдента.

1. Вычислим t_расч=3,988;
2. Сравним с табличным значением (Таблица Стьюдента) t_кр (а=0,05; v=5), так как t_расч >t_кр (3,988>2,57), то коэффициент значим (связь подтверждается);
3. Сопоставим по шкале Чеддока n=│r│, из этого следует что характер связи сильный (0,7≤0,833<0,9).

4.2.Регрессионный  анализ

 4.2.1. Выбор регрессионной модели.

Выберем модель с помощью графического анализа (диаграмма рассеивания- корреляционное поле)

Связь близка к линейной, поэтому  в качестве формы модели целесообразно  выбрать линейную функцию.

4.2.2.Критерием выбора модели является коэффициент детерминации.

Таблица 3- Регрессионная статистика.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,833293772
R-квадрат	0,694378511
Нормированный R-квадрат	0,633254213
Стандартная ошибка	3495,407752
Наблюдения	7

 

Линейный коэффициент корреляции R = 0,83329 показывает, что теснота связи между численностью населения и доходами сильная. Коэффициент детерминации (R-квадрат) D = 0,6944, т.е. 69,44% вариации доходы населения объясняются вариацией численности населения.

Таблица 4- Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	138796360,6	138796360,6	11,36010612	0,019879397
Остаток	5	61089376,77	12217875,35
Итого	6	199885737,3

Проверим  значимость коэффициента корреляции, для этого воспользуемся F-критерием, для чего сравним фактическое значение F с табличным значением F_табл. При вероятности ошибки α = 0,05 и степенях свободы v1=k-1=1-1=0, v2=n-k=7-1=6, где k – число факторов в модели, n – число наблюдений, F_табл =4,28. Так как F_факт = 11,360> F_табл =4,28, то коэффициент корреляции значим, следовательно, построенная модель в целом адекватна.

Таблица 5- Коэффициенты регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	144,844394	0,63610362	227,7056592	3,09988E-11
Переменная X 1	-0,000195252	5,79301E-05	-3,370475652	0,019879397

 

Продолжение таблицы 5

	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	143,2092	146,4796	143,2092	146,4796
Переменная X 1	-0,00034	-4,6E-05	-0,00034	-4,6E-05

Используя таблицу 5 составим уравнение регрессии:

У = 144,844 – 0,0002Х 

Интерпретация полученных параметров следующая:

а0 = 144,844 – свободный член уравнения регрессии, содержательной интерпретации не подлежит;

а1 = – 0,0002 – коэффициент чистой регрессии  свидетельствует о том, что при  увеличении доходов населения на 1 тыс.руб. численность населения уменьшатся на 0,0002%

4.2.3.Проверку значимости коэффициентов регрессии осуществим с помощью t-критерия Стьюдента; для этого сравним фактические значения t-критерия с табличным значением t-критерия. При вероятности ошибки α = 0,05 и степени свободы v= n-k-1=7-1-1 =5, где k – число факторов в модели, n – число наблюдений, t_табл =2,57 . Получим: t_факт = -3,37 > t_табл =2,57

Значит, фактор является статистически значимым. В этом случае модель пригодна для  принятия решений.

Вывод: Изучив корреляционно-регрессионный анализ получили, что коэффициент корреляции равен -0,83329, это говорит о том, что связь между численностью и доходами населения обратная, сильная. При проверке значимости коэффициента корреляции выявили что, коэффициент корреляции значим и построенная модель в целом адекватна.

Уравнение регрессии У = 518044,79 – 3556,32Х. Проверку значимости регрессии осуществили с помощью t-критерия Стьюдента и из этого следует что модель пригодна для принятия решений. Коэффициент детерминации составляет 0,6944 – такое его значение говорит о том, что 69,44% изменений численности населения обусловлено влиянием вариации показателя доходов населения.