Корреляционный анализ

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального  образования 

«СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ  КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

по курсу «Эконометрика»

 

 

 

 

 

                                                                    

Выполнил: Григорян А.Г.

                                                                              Студент 3-его курса

Специальности

080105.65- «Финансы и креды»                                                                Заочного отделения

Преподаватель: Герасимов А.Н.

 

 

 

 

Ставрополь 2013г.

Содержание.

1. Основные  теоретические предпосылки применения  корреляционного анализа.………………………………………………………………………………....3

Задача 1..……………………………………………………………………...…....4

Список используемой литературы……………………………………………..10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Основные теоретические предпосылки применения корреляционного анализа. 
Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которойизменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.                                    

Корреляционный  анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи). 
Теоретические предпосылки применения методики корреляционного анализа:

1. Основной предпосылкой применения корреляционного анализа является необходимость подчинения совокупности значений всех факторных (х1,х2,…, хn) и результативного (Y) признаков r-мерному нормальному закону распределения или близость к нему. Если объем исследуемой совокупности достаточно большой (n > 50), то нормальность распределения может быть подтверждена на основе расчета и анализа критериев Пирсона, Ястремского, Боярского, Колмогорова, чисел Вастергарда и т.д. Если n < 50, то закон распределения исходных данных определяется на базе построения и визуального анализа поля корреляции. При этом если в расположении точек имеет место линейная тенденция, то можно предположить, что совокупность исходных данных (Y, х1, х2,…,хk) подчиняется нормальному распределению.
2. Все случайные процессы xj(f) и yj(f) должны быть стационарными.

Перечисленные выше теоретические  предпосылки корреляционного анализа  являются довольно жесткими ограничениями, однако в ряде случаев они все  же удовлетворяются.

Задача 1.Построить модель связи между указанными факторами, проверить её адекватность, осуществить точечный прогноз методом экстраполяции.

1.1. Исходные данные отложить на координатной плоскости и сделать предварительное заключение о наличии связи.        

      Таб.1                                                                                                         Диагр.1

X	Y
12,5	98,5
11,1	96,3
9,0	99,6
7,9	95,4
8,5	83,7
5,6	75,7
5,0	70,0
6,2	72,2
4,7	69,5
3,0	66,0

Вывод: Из диаграммы 1 видно, что связь между факторами x и y прямая сильная линейная связь.

1.2.Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами х и у, используя шкалу Чеддока.

Таб.2

№					xy
1	12,5	98,5	156,25	9702,25	1231,25	103,75	-5,25	0,053
2	11,1	96,3	123,21	9273,69	1068,93	98,009	-1,709	0,018
3	9,0	99,6	81,0	9920,16	896,4	89,42	10,18	0,102
4	7,9	95,4	62,41	9101,16	753,66	84,921	10,479	0,109
5	8,5	83,7	72,25	7005,69	711,45	87,375	-3,675	0,043
6	5,6	75,5	31,36	5700,25	422,8	75,514	-0,01	0,0001
7	5,0	70,0	25,0	4900	350	73,06	-3,06	0,044
8	6,2	72,2	38,44	5212,84	447,64	77,968	-5,768	0,079
9	4,7	69,5	22,09	4830,25	326,65	71,833	-2,333	0,034
10	3,0	66,0	9,0	4356	198	64,88	1,12	0,017
ИТОГО:	73,5	826,7	621,01	70002,29	6406,78	826,73		0,4991
Среднее зн.	7,35	82,67	62,101	7000,229	640,678	82,673		0,04991

Проверим тесноту связи  между факторами, рассчитаем ЛКК:

 

Вывод: по шкале Чеддока связь сильная.

Проверим статистическую значимость ЛКК по критерию Стьюдента:

1)Критерий Стьюдента: tвыб<=tкр

2)Но: r=0  t_кр=2,31      

t_выб=r_выб*    

Вывод: таким образом поскольку tвыб=5,84<tкр=2,31, то с доверительной вероятностью 90% нулевая гипотеза отвергается, это указывает на наличие сильной линейной связи.

1.3.Полагая, что связь между факторами х и у может быть описана линейной функцией, используя процедуру метода наименьших квадратов, запишите систему нормальных уравнений относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии. Любым способом рассчитайте эти коэффициенты.

Последовательно подставляя в уравнение  регрессии  из графы (2) табл.2, рассчитаем значения  и заполним графу (7) табл.2

1.4.Для полученной модели связи между факторами Х и У рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте предварительное заключение приемлемости полученной модели.

Для расчета заполним 8-ую и 9-ую графу  табл.2

<Екр=12%

Ошибка аппроксимации  в пределах 5%-7% свидетельствует о  хорошем подборе уравнения регрессии  к исходным данным.

Вывод: модель следует признать удовлетворительной.

1.5. Проверьте значимость коэффициента уравнения регрессии A₁ на основе t-критерия Стьюдента.

Решение:                                                                     Таб.3

№
1	12,5	98,5	103,75	27,563	214,6225	250,5889
2	11,1	96,3	98,009	2,921	82,81	185,7769
3	9,0	99,6	89,42	103,632	40,0689	286,6249
4	7,9	95,4	84,921	109,809	8,2369	162,0529
5	8,5	83,7	87,375	13,506	0,0081	1,0609
6	5,6	75,5	75,514	0,0001	4,7089	51,4089
7	5,0	70,0	73,06	9,364	29,7025	160,5289
8	6,2	72,2	77,968	33,270	22,6576	109,6209
9	4,7	69,5	71,833	5,443	209,0916	173,4489
10	3,0	66,0	64,88	1,254	120,7801	277,8889
ИТОГО:	73,5	826,7	826,73	306,761	732,6871	1659,001
Среднее	7,35	82,67	82,673

 

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии  и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы  каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

Чтобы проверить, значимы  ли параметры, т.е. значимо ли они  отличаются от нуля для генеральной  совокупности использую статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигаю гипотезу о незначимом отличии от нуля  параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигаю альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности.

Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0,05.

В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение  t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента.

Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (α) и числа степеней свободы, которое  в случае линейной парной регрессии  равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение  t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение  t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости α.

t_крит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

Вывод:Поскольку 15,01> 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии A₁ подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

1.6 Проверьте адекватность модели в целом с помощью F-критерия Фишера-Снедекора. Сформулируйте выводы.

Коэффициент детерминации R² используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение с k₁=(m) и k₂=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии  производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α.

2. Далее определяю  фактическое значение F-критерия:

 

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

F_табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α.

Уровень значимости α - вероятность  отвергнуть правильную гипотезу при  условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

4. Если фактическое  значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания  отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая  гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32

Вывод: Поскольку фактическое значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

1.7.Рассчитайте средний коэффициент эластичности (Э). Что он означает?

Коэффициент эластичности находится по формуле:

 

Средний коэффициент  эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значенияю.В нашем случае Это озночает, что если фактор измениться на 1%, то в среднем на 0,36% измениться результат.

1.8.Сформулируйте общий вывод относительно полученной модели.

Вычислив все показатели, можно сделать вывод о качественно  составленной модели, так как фактическое значение t-критерия Стьюдента параметра

( t_a1=15,01) выше табличного (t_крит=2,306), значение F-критерия Фишера (F=34,11) также значительно больше табличного (Fкрит = 5,32).