Синтез и исследование свойств линейной системы автоматического управления

 

2.  Определение коэффициента передачи регулятора, обеспечивающего заданную ошибку по положению

Вид заданной ошибки по положению .

ОПФ ошибки по заданию (рисунок 13):

  (15)

Проведем синтез системы  по точности: определим значение коэффициента передачи регулятора, обеспечивающего  заданное значение ошибки по положению. ОПФ разомкнутой системы в данном случае примет вид:

  (16)

Подставив (3) в (16), получим:

  (17)

Тогда, подставив (17) в (15), имеем ОПФ ошибки по заданию

  (18)

Определим значение ошибки по положению по каналу задания. Выражение для определения ошибки имеет вид:

  (19)

Выражение для вычисления изображения  ошибки по заданию имеет  вид:

  (20),

Тогда, подставив изображение единичного ступенчатого воздействия  в (20) и объединив выражения (18) и (20), получим ошибку по положению по каналу задания:

 

Для определения  приравняем выражение, полученное выше, к заданному значению ошибки :

Отсюда  - коэффициент передачи регулятора, обеспечивающий заданную ошибку по положению. Тогда, подставив полученное значение в (17), получим ОПФ разомкнутой системы с учетом синтеза САУ по точности:

   (21)

 

 

 

 

3.  ЛАЧХ и ЛФЧХ исходной разомкнутой САУ с учетом результатов синтеза САУ по точности (п. 3.1, 3.2)

На рисунке 13 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы (21).

 

              

 

 

 

                Рисунок 14. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.

 

 

 

4. Определение устойчивости и прямых показателей качества

Анализируя графики  ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы (рисунок 13), можно сделать вывод об устойчивости замкнутой САУ (т.к. выполняются условия (13) и (14), см п.2.3), с коэффициентом передачи регулятора .

Запасы устойчивости:

1. по фазе γ=11º;
2. по модулю ΔL= 25 дБ

Построим переходные характеристики САУ по каналам задания и подавления (рисунки 15 и 16) для задания и возмущения ступенчатой формы, определим прямые показатели качества и сведем их в таблицу 4.

 

Рисунок 15. Переходная характеристика замкнутой системы по каналу

                         задания при задании ступенчатой формы.

 

Рисунок 16. Переходная характеристика замкнутой системы по каналу

       подавления при возмущении ступенчатой формы.

 

Таблица 4. Прямые показатели качества(синтез САУ по точности)

Переходная характеристика по каналу задания							Переходная характеристика по каналу подавления
, с	, с			, %			, с			, %
1,25	0,08	1	1,67	67	4,5	0	1	0,013	0,023	77	3,5	0,013

 

Переходные процессы в полученной САУ по каналам задания и подавления колебательные (рисунки 15 и 16), характеризуются наличием больших значений перерегулирования и колебательности (таблица 4), присутствует ошибка по положению по каналу подавления . САУ имеет недостаточный запас устойчивости по фазе (γ=11º).

Таким образом, возникает необходимость в коррекции полученной САУ (синтезе динамики), для обеспечения наиболее оптимальных динамических характеристик переходных процессов и достаточной устойчивости.

 

5.  Анализ ЛАЧХ и ЛФЧХ и выбор способа частотной коррекции

По графикам ЛАЧХ и  ЛФЧХ разомкнутой системы (21), полученной путем синтеза САУ по точности, можно судить об устойчивости замкнутой системы, причем запасы устойчивости по модулю и фазе: γ=11º; ΔL= 25дБ        (см. п.3.3, 3.4). Запас по фазе является недостаточным, что делает систему уязвимой к отклонениям входных параметров и действию внешних факторов.

В качестве способа частотной коррекции выберем последовательное включение корректирующего звена, т.к. синтез последовательного корректирующего устройства по логарифмическим характеристикам является наиболее простым. Его простота определяется свойствами логарифма: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей, логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.  Построение асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ. Построение желаемой ЛАЧХ разомкнутой САУ

Построим асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, ОПФ которой имеет вид (21), для чего произведем предварительные расчеты:

1. ;
2. , ;
3. , ;
4. , ;
5. , .

При построении желаемой ЛАЧХ нужно учитывать следующие рекомендации [1]:

1. исходная и желаемая ЛАЧХ должны совпадать в возможно более широком диапазоне частот;
2. в низкочастотной области наклон ЛАЧХ должен составлять (где - порядок астатизма системы); на частоте ЛАЧХ должна пересекать вертикальную ось в точке , где k коэффициент усиления всей системы;
3. высокочастотная часть ЛАЧХ слабо влияет на динамические характеристики системы, следовательно высокочастотные части желаемой и исходной характеристик должны совпадать;
4. среднечастотная часть определяет качество переходного процесса: если на частоте среза наклон ЛАЧХ составляет , то это обеспечивает допустимую колебательность и перерегулирование, необходимый запас по фазе.

Исходная и желаемая ЛАЧХ и ЛФЧХ приведены на рисунке 17.

Рисунок 17. Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.

 

Составим ОПФ разомкнутой системы исходя из вида графика желаемой ЛАЧХ ( ), приведенного на рисунке 17. Для этого определим по графику частоту сопряжения : , значит . Тогда . Тогда

  (22)

 

 

Запишем уравнение желаемой ФЧХ по (22) для определения верхней частоты сопряжения желаемой ЛАЧХ:

  (23)

Для обеспечения необходимого запаса устойчивости по фазе необходимо выполнение условия:

  (24)

С учетом типового значения запаса устойчивости по фазе и частоты среза желаемой ЛАЧХ , объединив выражения (23) и (24) получим:

.

Тогда и , – верхняя частота сопряжения (рисунок 17).

 

7.  Определение ЛАЧХ последовательного корректирующего звена

При последовательной коррекции  амплитудные и фазовые характеристики системы выражаются уравнениями:

  (25)

Учитывая зависимости между  частотными характеристиками скорректированной  и нескорректированной системы (25), построим ЛАЧХ последовательного корректирующего звена графическим методом (рисунок 18).

 

Рисунок 18. Асимптотическая ЛАЧХ последовательного корректирующего звена.

 

По виду ЛАЧХ последовательного  корректирующего звена определим  его ОПФ:

, следовательно ,

  (26)

Построим переходный процесс САУ с учетом последовательного включения корректирующего звена (26) (рисунки 19 и 20).

 
Рисунок 19. Переходная характеристика скорректированной САУ по каналу

                       задания при задании ступенчатой формы.

 

Рисунок 20. Переходная характеристика скорректированной САУ по каналу

                      подавления при возмущении ступенчатой формы.

 

В таблице 5 приведены  прямые показатели качества САУ с  учетом синтеза по точности и синтеза динамики.

 

Таблица 5. Прямые показатели качества САУ.

Переходная характеристика по каналу задания							Переходная характеристика по каналу подавления
, с	, с			, %			, с
0,04	0,02	0,995	1,07	7,5	0,5	0,005	0,38	0,013	0,013

 

Анализируя прямые показатели качества системы, можно говорить об обеспечении необходимого качества динамических процессов САУ.

 Полученное корректирующее звено с ОПФ вида (26) имеет первый порядок, т.е. не требует проведения дополнительной оптимизации, является физически реализуемым.

 

8.  Выбор схемы и расчет параметров корректирующего звена

Физической реализацией  корректирующего звена с ОПФ  вида (26) является схема пассивного четырехполюсника постоянного тока, приведенная на рисунке 21.

 

 

Рисунок 21. Электрическая схема корректирующего звена.

 

Общий вид ОПФ для схемы приведенной на рисунке 21 имеет вид:

  (27)

Проведем расчет параметров электрической схемы корректирующего  звена, используя соотношения:

   (28)

  (29)

   (30)

Примем  . Тогда с учетом , (см. выражение (27)):

1. из (28)  следует, что

;

2. из (30) выразим :

3. из (29) выразим :

Как видно из расчетов, электрическая схема, реализующая  корректирующее звено,  имеет коэффициент  передачи отличный от коэффициента передачи в выражении (26) . Таким образом, необходимо введение дополнительного усилителя (пропорциональное звено ), с коэффициентом обратным по величине коэффициенту передачи схемы (рисунок 21):

 .

 Таким образом, структурная схема САУ может принять вид, представленный на рисунке 22.

 

Рисунок 22.Структурная схема САУ.

 

Выберем номиналы элементов электрической схемы (рисунок 21) из стандартного ряда E24 (допускаемые отклонения от номинальных значений ±5%):

1. ;
2. ;
3. .

Рассчитаем  новое  значение ОПФ в соответствии с выражениями (28), (29), (30), соответствующее стандартным номиналам элементов , , , приведенным выше:

1. ;
2. ;
3. ;
4. значение дополнительного коэффициента усиления:

       .

Таким образом, ОПФ корректирующего звена определяется выражением:

   (31)

Тогда новое значение ОПФ корректирующего звена в соответствии с (31) примет вид:

   (32)

Таким образом, мы выбрали электрическую схему (рисунок 21), являющуюся физической реализацией корректирующего звена (26), выбрали наиболее подходящие номиналы элементов схемы из стандартного ряда, рассчитали новое значение ОПФ (32), соответствующее значениям номиналов.

 

 

 

 

9.  Определение запасов устойчивости и прямых показателей качества. Определение порядков астатизма и форм инвариантности