Основы теории управления

y(t) = k u(t).

Безинерционное звено передаст сигнал без искажения по форме и сдвига во времени, но измененный по амплитуде в k раз. Реальные звенья могут быть отнесены к данному типу условно, так как всегда обладают инерционностью. Однако если переходный процесс в элементах звена протекает за время, малое по сравнению со временем переходного процесса системы в целом, то эти элементы могут считаться безинерционными. 

Рис. 3.5.1.

Динамический  параметр  k  называют коэффициентом усиления. Переходная              характеристика повторяет               ступенчатое входное воздействие 1(t), измененное (увеличенное или уменьшенное) в k раз (рис. 3.5.1):

H(t) = k1(t).

 При k = 1 звено передает входной сигнал на выход, а при k = -1 инвертирует входной сигнал. Передаточная функция звена равна коэффициенту пропорциональности:

W(p) = k.

              Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна k:

h(t) = k (t).

Рис. 3.5.2.

Амплитудно-фазо-частотная характеристика АФЧХ: W(j) = k. АЧХ: A() = k.   ФЧХ: () = 0.   ЛАЧХ: L() = 20 lg k.

Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе (рис. 3.5.2).

Некоторые реальные звенья могут рассматриваться как безинерционные с определенной точностью (жесткий механический рычаг, механический редуктор, потенциометр, широкополосный электронный усилитель и т.п.). Многие датчики сигналов (потенциометрические, индукционные и пр.) также обычно рассматриваются как безынерционные.

Апериодическое инерционное звено первого порядка описывается дифференциальным уравнением: T dy/dt + y(t) = k u(t). Передаточная функция звена:  W(p) = k/(Tp+1).

Динамические свойства определяются значениями двух величин, k и Т. Т – постоянная времени, k – коэффициент передачи (усиления) звена. Переходная функция:

H(p) = W(p) 1(p) = k/[p(Tp+1)].

              При обратном преобразовании Лапласа функции Н(р) по формуле вычетов:

H(t) = k (1-exp(-t/T)

Рис. 3.5.3.

Переходный процесс инерционного звена экспоненциальный - типичный для систем первого порядка (рис. 3.5.3). Выходная величина звена в переходном режиме со скоростью, определяемой величиной Т, следует за изменением входной величины (свойство инерционности). Сигнал на выходе звена нарастает по экспоненте, поэтому звено называют апериодическим. При t→∞ сигнал стремится к значению k.

Весовая функция находится дифференцированием переходной характеристики:

h(t) = (k/T) exp(-t/T) 1(t).

              Множитель 1(t) определяет существование функции при t≥0 и обычно опускается (подразумевается по умолчанию).

По переходной характеристике можно определить передаточный коэффициент k, равный установившемуся значению H(t), и постоянную времени Т по точке пересечения касательной к кривой в начале координат с ее асимптотой. Касательная при t=0 равна k/T, а при t=T значение H(t) = 0.63k. Чем больше Т, тем больше длительность переходного процесса. Практически обычно принимают, что переходной процесс заканчивается при t порядка 3T, что соответствует 95% установившегося значения. Импульсная функция h(t) также имеет касательную k/T при t=0, которая пересекает линию установившегося значения 0 в точке t=Т. Характерен скачок функции в начальный момент времени, возникающий из-за наличия на входе -функции. Так как идеального скачка быть не может, то будет наблюдаться процесс, обозначенный на рис. 3.5.3 пунктиром.

Рис. 3.5.4.

АФЧХ инерционного звена (рис. 3.5.4):

W(j) = k/(Tj +1) = k(Tj-1) /[(Tj+1)(Tj-1)] =

= k [1/( T2+1) - jT/( T2+1)] =

= k exp(-j arctg T /.

Годограф описывает полуокружность с наинизшей точкой на частоте =1/Т, при этом фазовый сдвиг равен -/4, a коэффициент усиления АЧХ равен 0.707k. При изменении частоты от 0 до ∞ радиус-вектор АЧХ монотонно убывает от значения k до 0. Полная АФЧХ для положительных и отрицательных частот представляет собой окружность.

Рис. 3.5.5.

Пример реализации звена RC-цепочкой приведен на рис. 3.5.5. Комплексное уравнение выходного напряжения звена в радиотехнике, определяемое законом Ома, записывается в форме:

Uвых() = [Uвх(j)/(R+1/jC)](1/jC) = Uвх(j)/(jRC+1).

W() = Uвых(j)/Uвх(j) = 1/(jRC+1).

W() = k/(Tp+1), где p=j, T=RC,  k=1.

Рис. 3.5.6

На рис. 3.5.6 приведены комплексные АЧХ и ФЧХ приведенного RC-звена при Т=RC=1 и k=1 на частоте (в радианах) от -10 до 10. Как следует из этого рисунка, звено передает на выход, в основном, только низкие частоты входного сигнала (от -1/RC до 1/RC по уровню 0.707) с нарастающим подавлением высоких частот и увеличением их сдвига по фазе по мере роста частоты. Чем меньше инерционность звена (меньше Т=RC), тем больше амплитудная характеристика по своим значимым значениям вытянута по оси частот (шире полоса пропускания).

ЛАЧХ инерционного звена:

L() = 20 lg |W(j)| = 20 lg k – 10 lg(T22+1).

Чтобы упростить использование ЛАЧХ, вводят понятие асимптотических ЛАЧХ, то есть кусочно - постоянных функций, не сильно отличающихся от истинных. Они применяются не только для инерционного звена, но и для любых более сложных передаточных функций. Переход к асимптотической ЛАЧХ выполняется в следующем порядке (Рис. 3.5.7):

Выделим области низких и высоких частот, по отдельности рассмотрим поведение ЛАЧХ в этих областях и оценим максимальную ошибку, возникающую на границе областей.

В области низких частот   T2ω2 << 1, и можно пренебречь выражением T2ω2. Получаем горизонтальную прямую:  L(ω)=20lgk.

В области высоких частот  T2ω2 >> 1 и значением 1 можно пренебречь. Получаем уравнение прямой с наклоном 10дб./декаду в логарифмических координатах: L(ω)=20lgk - 20lgTω.

Излом асимптотической LАЧХ имеется на ω=1/T (сопрягающая частота), где ошибка максимальна, не зависит от k и T, и равна примерно -3дб.:

ΔL=20lgk-20lgk+10lg(T2ω2+1)= 10lg2 ≈ - 3.03 дб.

Уровень -3 дб. принято считать границей полосы пропускания.

Рис. 3.5.7.

ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении  до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и к значению -/2 при возрастании  до бесконечности. Перегиб кривой на сопрягающей частоте при () = -/4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным сдвигом вдоль оси частот.

Для всех звеньев первого порядка характерен наклон ЛАЧХ 20 дБ/дек и максимальный поворот фазы /2.

При достаточно больших значениях Т звено на начальном участке может рассматриваться как интегрирующее, при малых Т - как безынерционное. Примеры апериодического звена: термопара, электродвигатель, четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.

Интегрирующее (астатическое) звено. Идеальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

dy/dt = k u(t),

Рис. 3.5.8.

т.е. скорость изменения выходной величины пропорциональна значению входного сигнала.

Общее решение: y(t) = y(0) + k u() d.

Пример реализации звена – интегрирующая емкость (рис. 3.5.8).

Рис. 3.5.9.

Передаточная функция звена: W(p) = k/p.

Переходная характеристика при u(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях (рис. 3.5.9):

H(t) = k1() dkt.    H(p) = k/p2.

Весовая функция при u(t) = (t) и нулевых начальных условиях (рис. 3.5.9):

h(t) = k 1(t).    h(p) = k/p.

АФЧХ интегратора: W(j) = k/j = -jk/ = k exp(-j/2)/.

Рис. 3.5.10.

Интегратор ослабляет высокие частоты пропорционально частоте и неограниченно усиливает («накапливает») низкие частоты. Годограф АФЧХ (рис. 3.5.10) расположен вдоль отрицательной мнимой оси. Фазово-частотная характеристика для положительных частот имеет постоянное значение -π/2, т.е. все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90о. Радиус - вектор АЧХ при изменении частоты от 0 до ∞ монотонно убывает от значения ∞, стремясь к 0. Коэффициент усиления бесконечно малых частот теоретически неограничен.

ЛАЧХ интегратора:

L() = 20 lg |W(j| = 20 lg k – 20 lg .

Логарифмическая характеристика представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, которая проходит через точку 0 дБ на частоте  = k.

При k = 1 звено представляет собой “чистый” интегратор W(p) = 1/p. Интегрирующее звено неограниченно "накапливает" входное воздействие. Примеры интегрирующих звеньев: поршневой гидравлический демпфер, электрическая емкость и т.п.

Интегрирующее звено с замедлением (рис. 3.5.11) описывается дифференциальным уравнением:   T d2y(t)/dt2 + dy(t)/dt = k u(t).

Передаточная функция звена: W(p) = k/[p(Tp+1)].

Рис. 3.5.11.

Для нахождения временных характеристик звена удобно представить передаточную функцию в виде суммы:

W(p) = k/p – kT/(1+Tp).

              Соответственно, решение уравнения будет складываться в виде суммы решений для идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка. Переходная характеристика:

H(t) = k[t-T(1-exp(-t/T))] 1(t).

              Весовая функция:

h(t) = k[1-exp(-t/T)] 1(t).

Частотные характеристики звена:

L() = 20 lg [k/()].

График асимптотической ЛАЧХ представляет собой две прямые

L1() = 20 lg(k) – 20 lg(),    < 1/T,

L2() = 20 lg(k/T) – 40 lg(),    > 1/T,

с отрицательными наклонами соответственно 20 и 40 дБ/дек.

Идеальное дифференцирующее звено. Выходная величина звена пропорциональна скорости изменения входной величины (производной от входной величины), а уравнение динамики имеет вид: y(t) = k du(t)/dt. Передаточная функция: W(p) = kp. При k = 1 звено осуществляет чистое дифференцирование W(p) = p.

Рис. 3.5.12.

Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена, а должна быть бесконечно большой.

Близок к идеальному звену операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 3.5.12).

Переходная характеристика:

H(t) = k d1(t)/dt = k (t),

где функция (t) может имитироваться достаточно коротким (<<RC) импульсом с площадью, равной 1.

Импульсная характеристика:

h(t) = k d(t)/dt.

Частотная передаточная функция:

W(j) = kj.

Дифференцирующее звено с замедлением. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала. Реальное дифференцирующее звено является последовательным соединением двух типовых звеньев - идеального дифференцирующего kp и инерционного 1/(Tp+1). В конечном диапазоне рабочих частот характеристики такого звена могут быть сколь угодно близки к идеальным.

Звено описывается уравнением: T dy(t)/dt + y(t) = k du(t)/dt.

Передаточная функция: W(p) = kp /(Tp+1).

Рис. 3.5.13.

При малых значениях Т звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее.

Переходная характеристика:

H(t) = (k/T) exp(-t/T) 1(t).

              Импульсная характеристика:

h(t) = [k(t)/T – (k/T2) exp(-t/T)] 1(t).

Рис. 3.5.14.

              По переходной характеристике, имеющей вид экспоненты (рис. 3.5.13), можно определить передаточный коэффициент k и постоянную времени Т. Примерами звеньев являются четырехполюсники из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности. Дифференцирующие звенья применяются для улучшения динамических свойств САУ.

Частотная передаточная функция:

W(j) = kj/(jT+1).

              Годограф звена (рис. 3.5.14) описывает полуокружность с радиусом, стремящимся к бесконечности, при Т0. При этом годограф прижимается к положительной мнимой полуоси и стремится к годографу идеального дифференцирующего звена. Частота =1/T считается максимальной, до которой реальное звено может приниматься за близкое к идеальному.

Рис. 3.5.15.

Частотные характеристики звена приведены на рис. 3.5.15. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное. При   ∞ коэффициент передачи звена стремится к k/T. Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг стремится к нулю при   ∞.

Апериодическое звено второго порядка. Дифференциальное уравнение звена:

T2 d2y(t)/dt2 + 2T dy(t)/dt + y(t) = k u(t),

где  коэффициент (декремент) затухания (демпфирования). Передаточная функция:

W(p) = k/(T2p2 + 2 Tp + 1).

Корни характеристического уравнения:

p1,2 = (- ±)/T.

Звено будет апериодическим второго порядка, если корни вещественные, или колебательным, если корни комплексные.

Если  ≥ 1, то знаменатель W(p) имеет два вещественных корня и может быть разложен на два сомножителя:

T2p2+2Tp+1 = (T1p+1)(T2p+1),   T1,2 = T ±).

Рис. 3.5.16.

Переходная характеристика и весовая функция:

H(t) = k(1-(T1/(T1-T2)) exp(-t/T1) + (T2/(T1-T2)) exp(-t/T2)) 1(t).

h(t) = (k/(T1-T2)) (exp(-t/T1) – exp(-t/T2)) 1(t).

Такое звено эквивалентно двум последовательно включенным апериодическим звеньям первого порядка с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т1 и Т2. Амплитудная частотная характеристика:

A() = k/[].