Основы теории управления

Полное устранение рассогласования  в реальных системах не достигается, в силу влияния на систему в реальной среде возмущающих воздействий f(t), ограниченной точности измерительных датчиков и погрешности работы собственно системы стабилизации. Для оценки эффективности решения задач управления вводятся показатели качества управления.

Различают динамические показатели, определяющие качество переходного режима работы системы, к которым относятся различные количественные (числовые) оценки быстродействия и колебательности системы, и точностные показатели, определяющие погрешность системы в установившемся режиме, т. е. по окончании переходного процесса. К динамическим показателям относятся время переходного процесса to (от момента воздействия на систему управляющего или возмущающего сигнала до момента установления нового стабильного состояния равновесия с заданной степенью погрешности) и перерегулирование (относительная величина первого, как правило – максимального, выброса ошибки (t) на колебательном переходном процессе), а к точностным — погрешность стабилизации или слежения, которая связана с установившимся значением ошибки у(t) при t→ ∞ в номинальном равновесном состоянии системы.

Многоканальное управление. В многоканальных задачах управления выходом объекта служит векторная переменная (вектор выхода), и, следовательно, векторными переменными являются также задающие воздействия (вектор задания) и рассогласование (вектор ошибок). Формулировки основных задач многоканального управления (стабилизации, слежения и терминального управления) практически не отличаются от одноканальных. Кроме них для многоканальных объектов возникают задачи декомпозиции и согласованного управления.

Задача согласованного управления предусматривает организацию принудительного взаимодействия каналов системы с целью поддержания заданных соотношений выходных переменных yj(t). Такие соотношения (условия согласования), в простейших случаях принимают вид равенств вида у1(t) = f(y2(t)), соответствующих синхронному движению отдельных частей (каналов) сложной системы. В более общем случае условия согласования записываются в виде: f(y1, y2) =0, где f(•) - заданная функция. Согласованное управление требует координации управляющих воздействий uj(t).

Наиболее наглядные задачи терминального и согласованного управления возникают при управлении пространственным движением многозвенных механических объектов (роботов, станочных механизмов, транспортных средств). Здесь в качестве выходных переменных системы обычно выступают декартовы координаты yj рабочей точки механизма в трехмерном физическом пространстве R3 или двумерном R2 , а задача перемещения рабочей точки механизма из начального положения в точку {yfj} относится к многоканальным терминальным задачам.

Задача декомпозиции в противоположность задаче согласования заключается в устранении взаимного влияния каналов системы с целью сведения задачи управления многосвязным объектом к нескольким более простым одноканальным задачам. Это достигается с помощью соответствующих алгоритмов коррекции управляющих воздействий.

Регуляторы и задающие блоки. В состав устройства управления системы, предназначенной для решения локальных задач, входят задающий блок (ЗБ) и регулятор выходных переменных (рис. 3.1.5).

Рис. 3.1.5.

В современных системах блоку не обязательно соответствует физическое устройство. Это может быть и алгоритм или программа расчетов требуемых переменных (сигналов).

Регулятором называется блок (алгоритм), рассчитывающий управляющее воздействие u(t) с целью решения локальной задачи управления. Регуляторы в системах автоматизации служат для обеспечения определенного качества стабилизации технологических параметров на заданном уровне. Алгоритмом управления называется набор аналитических выражений, используемых для расчета управляющих воздействий, или система операций, выполняемых по определенным правилам. Типовой алгоритм управления, это математическая зависимость между выходным регулирующим воздействием u(t) и входным отклонением ε регулируемой величины y от заданного значения y*. Входной величиной для регулятора является сигнал ε, а выходной – регулирующее воздействие u:

u(t) = U((t),у*(t),...).

В качестве оператора U(•) могут выступать как алгебраические и трансцендентные функции, так и интегро-дифференциальные операторы, булевы функции и пр.

Простейшими алгоритмами управления (регуляторами) являются регуляторы отклонения вида: u(t) = U((t)). В практике принято рассматривать три типовых закона регулирования: пропорциональный П, интегрирующий И, дифференцирующий Д. На базе этих законов в регуляторах реализуют более сложные алгоритмы, являющиеся комбинацией основных: пропорционально-интегральный ПИ, пропорционально-дифференциальный ПД, пропорционально-интегрально- дифференциальный ПИД, и т.п.

Уравнения основных типовых регуляторов:

       П - пропорциональный (статический):

u(t) = kп(t)   W(p) = kп.

       И - интегральный (астатический):

u(t) = kи() d,   W(p) = kи/Tиp.

       ПИ - пропорционально-интегральный (изодромный):

u(t) = kп(t) (kи/Ти)() d,   W(p) = kп + kи/(Тир).

       ПД - пропорционально-дифференциальный:

u(t) = kп(t) kдТи d(t)/dt,   W(p) = kп + kдТдр.

       ПИД - пропорционально-интегрально-дифференциальный:

u(t) = kп(t) kдТд d(t)/dt  (kи/Ти)() d   W(p) = kп + kдТдр + kи/(Тир).

где kп, kд, kи - постоянные коэффициенты.

Задающим блоком называется блок (алгоритм), осуществляющий расчет задающего воздействия y*(t). К простейшим задающим блокам можно отнести задающие рукоятки, реостаты, пульты, генерирующие сигналы для задач стабилизации, где у* = const. В более совершенных системах это аппаратно или программно реализованные генераторы задающих сигналов.

Специальные блоки систем управления. Вспомогательные задачи определения (идентификации) неизмеряемых переменных и неизвестных параметров возникают как в САУ, так и в системах автоматического контроля. Это:

• оценивание переменных состояния объекта в условиях действия шумов (фильтрация, сглаживание, предсказание);

• идентификация параметров, оценивание неизвестных параметров системы.

Для решения перечисленных задач используются наблюдатели и идентификаторы.

Наблюдателем называется блок (алгоритм), предназначенный для оценивания переменных состояния ОУ или внешней среды. Структура наблюдателя включает в себя модель объекта управления, которая вырабатывает прогнозные текущие значения оценки yп(t) выходной переменной y(t). Поведение модели корректируется за счет обратных связей по ошибке наблюдения (невязке)

y(t)= yп(t) - y(t).

Наблюдатели применяются также в системах управления состоянием, в которых не все переменные состояния могут быть измерены или результаты измерения содержат значительные помехи.

Математическая модель (уравнение) объекта управления может содержать коэффициенты j - массо-инерционные, электрические, термодинамические и пр. параметры управляемого процесса и других используемых в САУ устройств. В тех случаях, когда значения параметров изменяются во времени или заранее неизвестны, появляется необходимость в использовании идентификаторов параметров.

Идентификатором называется блок (алгоритм) вида (t)= (у(t), u(t), …), где (*) - динамический оператор, предназначенный для оценивания параметров ОУ по имеющейся информации о текущем состоянии у(t) и входном воздействии u(t) объекта, т. е. для расчета в реальном времени значений (t). Идентификаторы применяются в адаптивных системах управления, в которых параметры регулятора не устанавливаются заранее, а настраиваются в процессе работы. В таких системах часто используются адаптивные алгоритмы управления вида u(t) = U((t), у*(t), (t),...), а вектор оценки (t) может быть получен с помощью алгоритма идентификации.

3.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ [1, 8].

Математической моделью динамической системы принято называть совокупность аналитических выражений и алгоритмов, однозначно определяющих развитие процессов в системе, т. е. ее движение. В зависимости от типа сигналов различаются непрерывные и дискретные модели систем. В зависимости от используемых операторов - линейные и нелинейные, временные и частотные модели. К временным относятся модели, в которых аргументом является время (непрерывное или дискретное). Это дифференциальные и разностные уравнения, записанные в явном виде или в операторной форме. Частотные модели предусматривают использование операторов, аргументом которых является частота соответствующего сигнала.

Аналитические модели вход-выход (ВВ) - это описание связи входных и выходных сигналов динамической системы, которое применяется как для отдельных блоков, так и всей системы управления в целом. Для обозначения входных и выходных сигналов воспользуемся обозначениями, характерными для объекта управления, где входным сигналом является управляющее воздействие u(t), а выходным регулируемая переменная y(t). В этом разделе рассматриваются непрерывные временные модели, описывающие связи входных и выходных переменных динамической системы с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений соответствующего порядка.

Система линейных уравнений объекта. В общем случае модель одноканального объекта управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением (системой уравнений), связывающим входной сигнал управления u(t) и выходной сигнал состояния объекта y(t):

F(y', y", …, y(n), u', u", …, u(m)) = 0.                                      (3.2.1)

Уравнение описывает динамическое состояние ОУ на некотором временном интервале t≥to, и связывает входные сигналы u(t) и их производные u(n)(t) с выходными сигналами y(t) и их производными y(n)(t). Значения у(to) = уо, у'(to) = у'о, ... , y(n)(to) = у(n)о называются начальными значениями (условиями), а число г = n-m ≥ 1- относительной степенью модели.

Классом дифференциальных уравнений, удобным для проведения исследований, являются линейные дифференциальные уравнения. Переход к линейным дифференциальным уравнениям выполняется операцией линеаризации, при которой переменные уравнения (3.2.1) заменяются новыми переменными – отклонениями от некоторого номинального режима (y=y-yн, u= u-uн), начало координат переносится в точку номинального режима, а функция F раскладывается в ряд Тейлора в окрестностях этой точки по частным производным. В результате линеаризации получаем следующую систему линейных уравнений в отклонениях:

A0(t)y(n) + A1(t)y(n-1) +…+ An(t)y = B0(t)u(m) + В1(t)y(m-1) +…+ Bm(t)u.         (3.2.2)        

Порядок системы уравнений равен n по порядку производной y(n)(t), n ≥ m, так как при n < m системы технически нереализуемы. Так как все частные производные представляют собой либо постоянные матрицы, либо матрицы, зависящие только от времени, то полученное уравнение есть либо система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (Aj(t) = aj = const, Bj(t) = bj = const), либо система с переменными коэффициентами, в зависимости от номинальной траектории.

В случае постоянных коэффициентов система называется стационарной. Как правило, входные и выходные величины объекта - скалярные функции, при этом уравнение (3.2.2) принимает вид:

a0y(n) + a1y(n-1) +…+ any = b0u(m) + b1y(m-1) +…+ bmu.               (3.2.3)        

где aj, bj – постоянные коэффициенты (параметры) модели, a0 > 0, b0 > 0, n - порядок модели, 0 ≤ m < n. Решение уравнений таких стационарных объектов относительно y(t) является главным объектом исследований в классической теории автоматического управления.

Система, для которой u(t)≡ 0, называется автономной. Описание автономной системы дается однородным дифференциальным уравнением вида

a0y(n) + a1y(n-1) +…+ any = 0.                                        (3.2.3')        

Передаточная функция системы. Основной метод исследования линейных систем с постоянными коэффициентами - преобразование Лапласа. При нулевых начальных условиях, после преобразования Лапласа уравнения вида (3.2.3), получаем:

L[a0y(n) + a1y(n-1) +…+ any] = L[b0u(m) + b1y(m-1) +…+ bmu].

(a0p(n) + a1p(n-1) +…+ an)Y(p) = (b0p(m) + b1p(m-1) +…+ bm)U(p).            (3.2.4)

Y(p) = L[y(t)] =exp(-pt) y(t) dt,

U(p) = L[u(t)] =exp(-pt) u(t) dt.

Для линейного уравнения преобразование Лапласа отношения выходного сигнала Y(p) к входному сигналу U(p) при нулевых начальных условиях не зависит от самих сигналов и называется передаточной функцией системы W(p).

Y(p) = U(p) (b0p(m) + b1p(m-1) +…+ bm) /(a0p(n) + a1p(n-1) +…+ an),

W(p) = (b0p(m) + b1p(m-1) +…+ bm) /(a0p(n) + a1p(n-1) +…+ an),                (3.2.5)

Y(p) = W(p) U(p).

Передаточная функция W(p) зависит только от самих дифференциальных уравнений и обладает свойством линейности:

Если Y(p) = Y1(p) + Y2(p), то U(p) = W(p)Y1(p) + W(p)Y2(p) = U1(p)+U2(p).

Если Y(p) = сY(p), то U(p) = W(p) Y(p) = с W(p) Y(p).

В общем случае замкнутая система регулирования с обратной связью рассматривается в структурной форме, приведенной на рис. 3.2.1, где используются следующие обозначения сигналов:

Y(p) = W(p)e(p);  W(p) = W1(p)W2(p);

Yос(p) = Wос(p)Y(p);  e(p)=U(p)-Yoc(p).

Рис. 3.2.1.

Выражение выходного сигнала состояния системы через входной сигнал управления:

Y(p)=W(p)(U(p)-Wос(p)Y(p);

Y(p)(1± W(p)Wос(p))=W(p)U(p).

Отсюда главная передаточная функция замкнутой системы:

Wзс(p) = Y(p)/U(p) = W(p)/[1 ± W(p) Woc(p)].

Знак плюс или минус определяется типом обратной связи (отрицательная или положительная). Соответственно, выходной сигнал с учетом сигнала дестабилизирующего воздействия f(t), который суммируется с правой частью выражения (3.2.3):

Y(p)=Wзс(p)U(p) + Wf(p)f(p),

где Wf(p) – передаточная функция по возмущению. В замкнутой системе передаточная функция по возмущению определяется как отношение выходной величины, преобразованной по Лапласу, к функции возмущающего воздействия, преобразованной по Лапласу при нулевых начальных условиях. Возмущающее воздействие может быть приложено к любой точке системы.