Основы теории управления

Wf(p) = Y(p)/f(p) = W2(p)/[1+Woc(p)W(p)].

Передаточная функция по ошибке:

We(p) = e(p)/U(p) = 1/[1 + W(p) Woc(p)].

Передаточная функция по ошибке - основное средство исследования точности САУ. C учетом возмущающего воздействия:

e(p)=We(p)U(p) + Wef(p)f(p),

где Wef(p) - передаточная функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке):

Wef(p) = e(p)/f(p) = -W2(p)Woc(p)/[1 + W(p) Woc(p)].

Передаточная функция по обратной связи:

WYoc(p) = Yoc(p)/U(p) = W(p) Woc(p)/[1 + W(p) Woc(p)].

Типовые звенья САУ. Полиномы числителя и знаменателя передаточной функции (3.2.5) можно разложить на простейшие множители по их корням:

W(p) = N(p)/P(p) =  [(p-p1ч)…(p-pmч)] / [(p-p1з)…(p-pnз)],             (3.2.6)

где μ = b0 /a0 – константа, piч – множество корней числителя N(p)=0, piз – множество корней знаменателя P(p)=0. Корни числителя передаточной функции называют нулями, корни знаменателя – полюсами. Комплексно сопряженные корни объединяются в квадратурные полиномы с вещественными коэффициентами: (p-α+jβ)(p-α-jβ) = p2-2αp+β2+α2.

После такого представления в числителе и знаменателе будет некоторое количество скобок первого и второго порядка с вещественными числовыми коэффициентами, каждую из которых можно рассматривать, как элементарную передаточную функцию, практически реализуемую в силу вещественности коэффициентов. Если вынести из всех скобок свободные члены и объединить их произведение в общий множитель К, то получим уравнение:

W(p) = K [W1(p)…Wz(p)],                                       (3.2.7)

где z=n+m, если все корни вещественные, z < n+m, если есть комплексные корни. Коэффициент К принято называть коэффициентом усиления системы. Заметим, что W(0) = К = bm/an, т.е. его числовое значение равно коэффициенту усиления на нулевой частоте ("постоянном токе").

              Классификация звеньев производится по виду их передаточных функций, независимо от исполнения (механические, гидравлические, электрические и пр.). Передаточные функции типовых звеньев, из которых синтезируются системы, обычно имеют числитель или знаменатель, равный единице. Ниже приводятся выражения передаточных функций основных типовых звеньев систем:

1. К - Усилительное звено.

2. p - Дифференцирующее звено.

3. 1/p - Интегрирующее звено (интегратор).

4. K/(Tp+1) - Инерционное (апериодическое) звено.

5. K/(T2p+2dTp+1) - Колебательное звено.

6. K(Tp+1) - Форсирующее звено.

7. K(T2p+2dTp+1) - Форсирующее звено 2-го порядка.

Здесь Т – определенный временной коэффициент (постоянная времени). Звенья 2, 6 и 7 не реализуются в строгом теоретическом смысле, существуют только их приближения.

Типовые входные воздействия. Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия. Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются ступенчатое, импульсное и гармоническое. Любой сигнал u(t), имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых воздействий ui(t) и на основании принципа суперпозиции получить результирующее изменение выходной величины y(t) в виде суммы реакций системы на каждую из составляющих.

Рис. 3.2.1.

Единичная ступенька. Особое значение в теории автоматического управления имеет ступенчатое воздействие 1(t) = 1 при t≥0, 1(t) = 0 при t<0 (сигнал u1(t) на рис. 3.2.1). Все остальные воздействия могут быть сведены к нему. Так, например, импульсный сигнал может быть представлен двумя ступенчатыми сигналами одинаковой величины противоположными по знаку, поданными один за другим через интервал времени t(сигнал u(t) на рис. 3.2.1).

Преобразование Лапласа для единичной ступеньки:

1(p) =exp(-pt) dt = 1/p.                     (3.2.8)

Линейно нарастающее воздействие (t(t)=t при t≥0, t(t) = 0 при t<0) представляет собой интеграл по времени от единичной ступеньки:

t(t) =1() d,   1(t) = d t(t) /dt.

Преобразование Лапласа:

t(p) =t exp(-pt) dt = 1/p2.                     (3.2.9)

Экспоненциальная функция exp(t). Преобразование Лапласа:

L[exp(t)] =exp(t) exp(-pt) dt = 1/(p-).                    (3.2.10)

Выражение справедливо и при любом комплексном α.

Гармонические воздействия  sin ωt и соs ωt. 

На основе формулы Эйлера exp(jωt) = cos ωt + j sin ωt соответственно имеем cos ωt = Re exp(jωt), sin t = Im exp(jt). Преобразования Лапласа:

L[sin ωt] = L[Im ejωt] = Im L[ejωt] = Im (1/(p-jω)) = Im((p+jω)/(p2+ω2)) =

= Im(p/(p2+ω2)+jω/(p2+ω2)) = ω/(p2+ω2).

L[cos ωt] = Re L(ejωt) = Re (1/(p-jω)) = Re((p+jω)/(p2+ω2)) = p/(p2+ω2).

Дельта - функция δ(t) - математическая модель очень короткого конечного воздействия большой мощности (единичный импульс). Определение δ(t)-функции даётся через интеграл свёртки с любой другой интегрируемой функцией x(t):

(t-t0) x(t) dt = x(t0).

Отсюда, при x(t)=1:

(t) dt = 1,    (t) exp(-pt) dt = 1,    L[(t)] = 1.            (3.2.11)

Единичный импульс физически представляет собой очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота - к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Дельта - функция связана с единичной ступенчатой и линейно-нарастающей функцией выражением:

(t) = d1(t) /dt = d2 t(t) /dt2.

3.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ [7, 8].

Понятие временных характеристик. Зависимость изменения выходной величины системы от времени при подаче на ее вход единичного воздействия (импульса Дирака) при нулевых начальных условиях называется импульсным откликом системы или импульсной переходной характеристикой h(t). Эту функцию называют также функцией веса. Так как системы управления являются физически реализуемыми системами, импульсный отклик систем является односторонней каузальной функцией (h(t)=0 при t<0).

Как известно из теории сигналов и систем, отклик системы на единичный импульс определяется сверткой:

h(t) ③ (t) = h() (t-) d = h(t).

Выходной сигнал в каждый момент времени ti зависит не только от входного сигнала в этот момент времени, но и от сигналов на входе во все предыдущие моменты времени ti-  с “весом”, равным значениям функции h(), т.е. в данном случае от сигнала t) при t=0.

Преобразование Лапласа свертки функций отображается произведением их изображений:

h(p) = W(p) L[(t)] = W(p) 1 = W(p).                                  (3.3.1)

В действительности дельта-функция в чисто теоретическом плане не реализуется. Реальные импульсные воздействия на системы всегда конечны по величине и продолжительности. Но если их продолжительность достаточно мала по сравнению со временем переходного процесса в системе (длительностью переходной характеристики в пределах заданной погрешности), то входное воздействие можно считать приближением к дельта-функции и применять для оценки переходных процессов в системе.

Не меньшее значение в САУ уделяется переходной характеристике H(t), реакции системы на единичное ступенчатое воздействие. Изображение Лапласа:

H(p) = W(p)/p.                                                  (3.3.2)

Переходная и импульсная переходная характеристики называются временными характеристиками. Каждая из них является исчерпывающей характеристикой системы и любого ее звена при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии.

Экспериментальное определение временных параметров системы и отдельных ее звеньев можно проводить подачей единичных импульсных сигналов или единичных ступеней на их входы с измерением реакции на выходах. Если на вход подать d(t) ≈ (t) и зарегистрировать на выходе hd(t) ≈ h(t), то изображение Лапласа передаточной функции определится выражением:

L[hd(t)] = Wd(p) ≈ W(p).

              Соответственно, при подаче на вход ступенчатой функции 1(t) регистрируется переходная функция H(t) и вычисляется W(p):

W(p) = L[dH(t)/dt].

              Для произвольного входного воздействия u(t) при t≥0 переходной процесс на выходе звена при известных функциях H(t) или h(t) и нулевых начальных условиях:

y(t) = u(0)H(t) +H() u(t-) d,      y(t) = h() u(t-) d.

Физическая реализуемость. Передаточная функция является физически реализуемой, если возможно создание устройства или программы, которые позволяют реально получить или вычислить выход блока с такой передаточной функцией для реальных типовых входных сигналов и их комбинаций. На выходе систем не должно появляться стремящихся к бесконечности значений сигналов в конечные моменты времени при подаче на вход конечных сигналов.

Заведомо физически нереализуемой является передаточная функция (3.2.5) с порядком числителя большим порядка знаменателя. Строго говоря, физически нереализуемой является и функция с порядком числителя равным порядку знаменателя. В первом случае после деления числителя на знаменатель выделяется, помимо прочего, несколько идеальных дифференцирующих звеньев. Во втором случае при делении числителя на знаменатель выделяется усилительное звено. Заметим, что даже идеальный усилитель не может быть физически реализован, не говоря уже об идеальном дифференцирующем звене, так как в обоих случаях частотная характеристика системы не стремятся к нулю на больших частотах.

3.4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ [7, 8, 9, 14].

Понятие частотных характеристик  является важнейшим понятием, широко применяемым в теории управления. Методы, основанные на применении частотных характеристик, являются наиболее удобными в инженерной практике в классе систем с одним входом и выходом.

Функция W(j), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией. Она может быть получена путем замены p на j в выражении W(p). В более общей формулировке частотную передаточную функцию можно представить в виде отношения частотных спектров выходного и входного сигнала:

W(j) = Y(j)/U(j) = W(p)|p=j.

Частотная передаточная функция линейного звена является изображением Фурье его импульсной функции и может определяться по интегральному преобразованию:

W(j) =h(t) exp(-jt) dt.

Для односторонних функций h(t), W(j) есть комплексная функция, которую иногда называют амплитудно-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ):

W(j) = A() exp(j()) = P() + jQ(),

где P() - вещественная,  Q() - мнимая частотные характеристики, А() - амплитудная частотная характеристика (АЧХ), () - фазовая частотная характеристика (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

A() = Um /Ym = |W(j)| =,

() = arctg(Q()/P()).

Рис. 3.4.1.

Годограф, приведенный на рис. 3.4.1, является стандартным методом отображения АФЧХ на комплексной плоскости с координатами ReW(ω) и ImW(ω). Параметром на кривой годографа является частота, изменяющаяся в интервале от 0 до ∞. Для произвольной частоты ω радиус вектор в точке W(jω) показывает амплитуду выходного сигнала, а угол (ω) - сдвиг фазы между выходным и входным сигналом. Иногда W(jω) называют комплексным коэффициентом передачи, подразумевая, что АФЧХ является обобщением обычного коэффициента усиления К на случай его зависимости от частоты и фазового сдвига, также зависящего от частоты. Комплексно сопряженные ветви АФЧХ, отличающиеся знаком j, зеркальны относительно вещественной оси.

Для частотного анализа систем применяется также раздельное построение графиков АЧХ и ФЧХ, если в том появляется необходимость.

Логарифмические частотные характеристики. В практике автоматики широкое применение находят частотные характеристики в логарифмических масштабах. Применение логарифмического масштаба позволяет наглядно изображать характеристики в большом диапазоне частот, представлять характеристики отрезками ломанных линии и определять характеристики сложных систем простым суммированием характеристик, входящих в эти системы элементов.

Частота в логарифмическом масштабе измеряется в декадах. Две частоты 1 и 2 отличаются на одну декаду если 2/1 = 10, lg(2/1) = 1. Относительные амплитуды в логарифмическом масштабе выражаются в децибелах. Две мощности w1 и w2 отличаются на один децибел, если 10 lg(w1/w2) = 1.  Так как мощности относятся как квадраты образующих их первообразных (напряжений, токов, сил и т.д.), то две первообразные a1 и а2 будут отличаться на один децибел, если 10 lg(а12 /а22) = 1  20 lg(а1/а2) = 1. 

В CАУ широко используются логарифмические амплитудная (ЛАЧХ) и фазовая (ЛФЧХ) частотные характеристики (рис. 3.4.2). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

lg[W(j)] = lg[A() exp(j()] = lg[A()]+lg[exp(j()] = L() + ().

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое умножается на 20, то есть L()=20 lg A(). Величина L() откладывается по оси ординат в децибелах. Изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20 дБ. По оси абсцисс откладывается частота  в логарифмическом масштабе, единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение  в 10 раз.

Рис. 3.4.2.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина () откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: - ≤  ≤ .

Частотные характеристики являются исчерпывающими характеристиками системы, по которым можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

3.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМ [1, 7, 8, 9].

Элементарными звеньями называются простейшие составные части (блоки) системы, поведение которых описывается алгебраическими уравнениями или дифференциальными уравнениями (1-2)-го порядков:

a0 y"(t) + a1 y'(t) + a2 y(t) = b0 u'(t) + b1 u(t).                                 (3.5.1)

Передаточная функция элементарного звена имеет вид:

W(p) = (b0 u'(t) + b1 u(t)) / (a0 y"(t) + a1 y'(t) + a2 y(t)).                         (3.5.2)

Безинерционное (пропорциональное, усилительное) звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной. И в статике, и в динамике описывается уравнением: