Многофакторная динамическая модель взаимодействия общества и природы Дж. Форрестера

    [4]

В качестве цели управления можно выбрать стабилизацию на каком-либо заданном уровне одной или нескольких переменных (переменных состояния, переменных-темпов или переменных-параметров). В этом случае можно выбрать квадратичный критерий управления. Синтез оптимального управления нелинейной системой, тем более при неаналитическом задании нелинейностей, в общем случае является крайне сложным делом даже при таком простом критерии оптимальности, как квадратичный. Однако для линеаризованной подходящим образом системы в отсутствие ограничений на управление найти структуру оптимального управления не составляет труда, поскольку решение задачи оптимального управления линейной системой.

3.1 .ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ МИРОВОЙ ДИНАМИКИ ФОРРЕСТЕРА 

Прежде  всего, проверим, выполняется ли для  модели Форрестера предположение

    [ 3]

Где матрица  A(k, x(k)) в любой момент времени до и после текущего момента.

вычислим  матрицы A(k, x(k)) на интервале времени с t(1) = 1900 г. по t(N) = 2100 г. с шагом h = 1/ 4 года. на неуправляемой стохастической траектории. При этом случайные возмущения оставим только в темпах рождаемости–смертности. Матрицы A(k, x(k)) найдем численным дифференцированием. Вычислим эмпирические средние A и эмпирические дисперсии S2 всех элементов этой матрицы на выбранной траектории:

Для некоторой  конкретной реализации траектории неуправляемого движения стохастической динамической системы, описываемой моделью Форрестера, получаем результат, представленный в табл. 1 и 2

Таблица 1

Таблица 2

 
Эти же данные приведены в логарифмическом  масштабе на рис.1 для абсолютного  значения матрицы A , вытянутой по столбцам, т.е. представленной в виде массива-столбца, составленного путем последовательного присоединения к первому столбцу остальных ее столбцов. Для наглядности соседние по номерам значения массива соединены линиями. с матричными индексами (3,2), (4,2), (2,4), (2,5), имеющие соответственно номера 8, 9, 17, 22, равны 0, т.е. в логарифмическом масштабе равны −∞ , поэтому на рис. 1 они не представлены (пропущены). Эти пропущенные значения надо понимать просто как равные нулю. На этом же рисунке приведены матрицы A m S в том же представлении. Как видно из сравнения табл. 1 и 2 и представленных на рис. 1 массивов, элементы матрицы относительно незначительно флуктуируют на траектории движения (эволюции) системы. Это дает основание считать систему слабо нелинейной и предположение справедливым.[3] 
 
 
 
 
 
 
 

Изменчивость  матрицы А на траектории 

               Рисунок 1- Изменчивость матрицы А на траектории        

Рассмотрим  в качестве примера реализацию и  детерминированной и стохастической модели мировой динамики Форрестера в отсутствие управления и в случае использования модифицированного алгоритма субоптимального ограниченного управления, в котором управления производятся только путем перераспределения капиталовложений (фондов) в сельское хозяйство, а критерием управления является стабилизация численности населения планеты на желаемом мировым сообществом уровне. Возьмем в качестве желаемого значения численности населения x1*=5E+9 (5 млрд) человек при начальном значении в 1900 г.

x1(1)=1, 65E+9 человек. Результаты численного моделирования на двухсотлетнем интервале времени (с 1900 по 2100 г.) неуправляемой и управляемой систем мировой динамики Форрестера в отсутствие и при наличии стохастических возмущений приведены на рис. 2. естественно, в силу ограниченности места мы приводим ход только некоторых переменных модели.   

               Рисунок2-Субоптимальное ограниченное управление 

На рис. 2 приведен ход субоптимальных ограниченных управлений с обратной связью для  детерминированной и стохастической системы. Видно, что на начальном (почти 20-летнем) интервале времени управление принимает максимально возможное значение, т.е. перераспределение капиталовложений в сельское хозяйство производится с максимально возможной скоростью. Затем темп этого перераспределения резко снижается, даже на некоторое время становится отрицательным, а затем стабилизируется на сравнительно невысоком положительном уровне. Такое поведение управления легко объясняется требованием критерия управления стабилизировать численность населения на уровне 5 млрд человек. Действительно, как видно из рис. 3, в начальный момент времени (1900 г.) численность населения (1,65 млрд человек) еще далека от желаемой (5 млрд. человек). Для увеличения численности населения по модели Форрестера требуется существенное увеличение производства продуктов питания, что и потребовало в начальном периоде быстрейшего увеличения доли капиталовложений (фондов) в сельское хозяйство. К концу этого периода население почти достигает, как видно из рис.3, желаемого значения численности, и доля капиталовложений в сельское хозяйство должна на быть резко снижена, чтобы не допустить дальнейшего роста населения.

               Рисунок 3- Динамика численности населения

На приведенных  здесь же кривых роста численности  населения в неуправляемой системе  стабилизация населения в рассматриваемом интервале времени (1900 – 2100 гг.) не наступает (возможно, стабилизация произойдет значительно позже из-за сопровождающего рост населения истощения ресурсов). На рис. 4 представлена относительная (в расчете на душу населения) величина фондов в сельском хозяйстве. На кривых, соответствующих управляемому движению, виден существенный подъем этой величии на участке стимулирования роста населения и стабилизация ее в последующем периоде. На кривых, соответствующих неуправляемой системе, относительная величина фондов в сельском хозяйстве в целом растет вместе с ростом населения. На рис. 5 и 6 приведены темпы рождаемости и смертности населения.    [5]

             Рисунок 4- Относительная величина фондов в сельском хозяйстве 

На рис. 5 и 6 приведены  темпы рождаемости и смертности населения. Видно, что в управляемой системе вместе со стабилизацией численности населения стабилизируются

и темпы рождаемости  и смертности, даже при наличии  весьма значительных собственных (естественных) флуктуаций этих темпов. В неуправляемой системе темпы рождаемости и

смертности растут с ростом численности населения. [5] 
 
 
 

             Рисунок 5- Темп рождаемости 

             Рисунок 6-Темп смертности

Обратим внимание, что колебания темпов рождаемости  и смертности в стохастической системе существенно различаются, хотя темп прироста населения равняется просто разности темпов рождаемости и смертности. Здесь проявляются достаточно сложные влияния на темп смертности материального уровня жизни, уровня питания, уровня загрязнения, плотности населения, учитываемые моделью Форрестера. На рис.7 приведен ход безразмерного относительного уровня питания населения. Этот показатель определяет количество пищи на душу населения в единицах среднего мирового уровня питания на душу населения в каком-нибудь выбранном году (в данном случае в неуправляемой модели это соответствует уровню питания населения в 1940 г.). Видно, что в начальном периоде управляемого процесса благодаря интенсивным капиталовложениям в сельское хозяйство уровень питания населения быстро растет, но с ростом населения уровень питания неизбежно начинает падать, причем падение его в управляемой системе происходит быстрее, чем в неуправляемой (требование стабилизации уровня населения). По достижении некоторого минимального для системы значения уровень питания стабилизируется. [5]

             Рисунок 7- Относительный уровень питания 

 Очевидно, перераспределение капиталовложений в сельское хозяйство должно привести к уменьшению доли фондов в другие сферы человеческой деятельности, в том числе в материальную сферу. Поэтому материальный уровень жизни населения должен снизиться, тем более что капиталовложения в материальную сферу резко снижаются в начальный период интервала управления, затрудняя поддержание и развитие материальной сферы. На рис.8 приведены кривые хода материального уровня жизни при наличии и отсутствии управления. Материальный уровень жизни в модели Форрестера есть безразмерная величина, которая описывает степень изменения эффективности относительной величины фондов на душу населения в сравнении с некоторым стандартом – фиксированным значением.