Многофакторная динамическая модель взаимодействия общества и природы Дж. Форрестера

   2.1 ФОРМАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ ДЖ. ФОРРЕСТЕРА 

   Обозначим для каждого момента дискретного времени

, через  вектор состояния динамической системы Форрестера, включающий в себя только переменные-уровни:

   x1(k) =P (численность населения, чел.);

   x2(k) =POL (уровень загрязнения);

   x3(k) =CI (фонды);

   x4(k) =NR (природные ресурсы);

   x5(k) =CIAF (часть фондов в сельском хозяйстве).

   Нижний  индекс указывает номер соответствующей  переменной в векторе-столбце   состояния                   ,

   где n – размерность вектора состояния (n =5);

   T – знак транспонирования.

   Переменные-темпы  и переменные-параметры объединим  в вектор-столбец 

   

   компонентами:

   p₁(k) =QL (качество жизни, ед. удовлетворенности);

   p₂(k) =BR (темп рождаемости, чел./год);

   p₃(k) =DR (темп смертности, чел./год);

   p₄(k) =POLG (темп образования загрязнения);

   p₅(k) =POLA (темп разложения загрязнения);

   p₆(k) =CIG (темп фондообразования);

   p₇(k) =CID (темп износа фондов);

   p₈(k) =NRUR (темп использования природных ресурсов);

   p₉(k) =FR (относительный уровень питания);

   p₁₀(k) =MSL (материальный уровень жизни);

   p₁₁(k) =ECIR (эффективность фондов);

   p₁₂(k) =CR (относительная плотность населения);

   p₁₃(k) =CIRA (относительная величина фондов в сельском хозяйстве);

   p₁₄(k) =CIR (относительная величина фондов);

   p₁₅(k) =POLR (относительное загрязнение);

   p₁₆(k) =CFIFR ( предписываемая уровнем питания часть фондов );

   p₁₇(k) =CIQR ( доля капиталовложений в зависимости от качества жизни).

   Все переменные p_i(k) в каждый момент дискретного времени t(k) являются, в конечном                     счете, функциями переменных состояния x(k):

    ,                                                                  (1)  [2]                                

 где   вектор-функция-столбец размерности m. Конкретно же каждая функция в модели Форрестера задается как сложная табличная функция переменных p(k) и x(k).

Объединим векторы x(k) и p(k) в единый вектор-столбец y(k) переменных задачи:

,  так что,                                                                          (2)

                                                                             

y(k)=[ P, POL, CI NR, CIAF, QL, BR ,DR, POLG, POLA, CIG, CID, NRUR, FR, MSL ,ECIR,

CR, CIRA, CIR, POLR, CFIFR, CIQR].

С учетом (1) получаем ;                                                 (3)  [2]

Таким образом, вектор y(k) всех переменных модели полностью определяется вектором состояния x(k). Вектор состояния x(k) будем называть также фазовым вектором.

Введем  n-вектор-функцию:

 [2]

где τ = CIAFT – время задержки изменения части фондов в сельском хозяйстве (в годах). Как видим, вектор-функция f(k,x(k)) является функцией переменных-темпов, некоторых переменных-параметров и переменных состояния. Но с учетом (1) эта функция, в конечном счете, есть сложная функция переменных состояния (фазовых переменных) x(k): f (k,x(k)).

Обозначив через h=DT шаг дискретизации по времени , k=1,N−1, запишем систему уравнений динамики модели Форрестера в векторной форме:

 [2].                                                                                      (4)

с начальным  условием Х(1) = [PI, POLI, CII, NRI, CIAFI ]^T ,

где при  t=t₍₁₎

(для  t (1) = 1900 г. PI=1,65E+9 чел.,

для t(1) = 1970 г. PI=3,6E+9 чел.,

для t(1) = 2000 г. PI=5,3E+9 чел.,

x1(1) = PI

x2 (1) = POLI ,

x3 (1) = CII ,

x4 (1) = NRI ,

x5 (1) = CIAFI .

Примем, согласно Форрестеру , следующие начальные  условия: t(1) = 1900 , t(N) = 2100 , h=DT=0,25(годы),

PI=1,65 E+9 (чел. в 1900 г.),

POLI=0,2 E+9 (ед.загрязнения),

CII=0,4 E+9 (ед. фондов),

NRI=900 E+9. (ед. природных ресурсов),

CIAFI=0,2 (безразмерна – начальная часть фондов в сельском хозяйстве). Нормальные значения параметров модели:

BRN = 0,078 (нормальный темп рождаемости, часть/год, – примем его равным этому значению вместо 0.04,чтобы удовлетворить значению численности населения PI=5,3E+9 чел. в 2000 г.,

CIAFN=0,3 (нормальная часть фондов в сельском хозяйстве, безразмерна),

CIGN=0,05 (нормальное фондообразование, ед. фондов/чел.год),

CIDN=0,025.(нормальный износ фондов, часть/год),

DRN=0,028(нормальный темп смертности, часть/год),

NRUN=1(нормальное потребление природных ресурсов, ед.ресурсов/год),

PDN=26,5 (нормальная плотность населения, чел./кв.км.),

POLN=1 (нормальное загрязнение, ед. загрязнения/чел.год),

ECIRN = 1 (нормальная эффективность относительной величины фондов, ед.фондов/чел.), FN=1 (нормальный уровень питания, безразмерен).

Приведем  также значения некоторых констант:

LA=135E+6 (площадь земли, кв.км.),

POLS=3.6E+9(стандартное загрязнение, ед. загрязнения),

τ = CIAFT=15 (время задержки изменения части фондов, лет),

QLS=1 (стандартное качество жизни, ед. удовлетворенности),

 FC=1 (коэффициент питания).

Остальные значения констант модели и таблично заданные зависимости между переменными опускаем. Уравнение состояния (4) позволяет, с учетом соотношений (1), (2) или соотношения (3), получать из вектора состояния x(k) в момент времени t(k) вектор состояния x(k +1) в следующий момент дискретного времени t(k +1) и вычислять в этот момент новое значение вектора переменных модели [2].

                                                       (5)

     Это позволяет шаг за шагом проследить изменение всех переменных модели. Если со временем значения параметров модели изменяются, предусмотрено их «клиппирование» (вырезание и замена другими значениями в заданные моменты времени). Тем самым обеспечивается необходимая нестационарность модели, изменчивость ее параметров. Именно эта особенность модели отражается в первом аргументе функции , выражающем явную зависимость уравнения состояния (4) от времени.

2.2.СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 

Векторное уравнение состояния мировой  динамики (4), соответствующее модели Форрестера, не содержит случайно изменяющихся факторов, является детерминированным. Введение в модель стохастических возмущений позволило бы «проигрывать» более реалистические траектории мировой динамики. В связи с этим введем в правую часть уравнений (4) случайные флуктуации переменных-темпов в виде гауссовских «белых» (некоррелированных во времени) последовательностей случайных векторов ξ(k) с нулевыми математическими ожиданиями

и дисперсионными матрицами

 

где M{⋅} – оператор математического ожидания:

.                                                       (6)

При стационарных стохастических возмущениях матрицы D(k) = D остаются постоянными во времени. Однако в общем случае эти матрицы могут изменяться. Структура матриц D(k) должна быть такой, чтобы с изменением шага h дискретизации по времени флуктуации переменных состояния модели не изменялись. Это обеспечивается введением обратно пропорциональной зависимости дисперсий Dii(k) компонент ξi(k) вектора ξ(k) от шага h .

                                                                              (7)

где σ₁(k) – среднеквадратичное отклонение (СКО) темпа рождаемости-смертности;

σ₂(k)– СКО темпа загрязнения;

σ₃(k) – СКО темпа фондообразования;

σ₄(k)– СКО темпа потребления природных ресурсов;

σ₅(k) – СКО темпа изменения части фондов в сельском хозяйстве.

При моделировании  стохастической динамики будем для  простоты считать возмущения темпов стационарными с постоянной диагональной дисперсионной матрицей.

,

при следующих  ориентировочных значениях СКО темпов:

  [3] 
 
 
 
 

3 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 

Поставим  задачи синтеза оптимального управления системой, описываемой детерминированной  моделью Форрестера (4) или более  общей стохастической моделью (6).

     Одним из основных выводов работы Форрестера является тревога, вызванная постоянным ростом численности населения планеты, прогрессирующим загрязнением окружающей среды, истощением природных ресурсов, уменьшением площадей для сельскохозяйственной деятельности и другими явлениями, могущими привести к возможному существенному снижению качества питания и уровня жизни людей. Мировая динамика нестабильна, далека от равновесия. В связи с этим возникает вопрос, нельзя ли ввести в модель мировой динамики стабилизирующие факторы, глобальные управления, способные удерживать ее в состоянии некоторого равновесия. Очевидно, такие управляющие факторы могут быть введены только в правую часть уравнений динамики (4) или (6). В простейшем случае эти управления могут линейно влиять на темпы изменения переменных состояния, то есть входить в правую часть

уравнений состояния аддитивно:

,                              [4]     (8)

где u(k)– вектор управляющих воздействий; B – матрица передачи управлений соответствующей размерности. Управления u(k) могут влиять на темпы роста населения, темпы загрязнения, темпы роста фондов, темпы использования природных ресурсов и, наконец, на долю капиталовложений в сельское хозяйство. Для синтеза оптимального управления необходимо задать цель управления, обычно связываемую с минимизацией некоторого аддитивного функционала на траектории переменных системы и управлений: