Задачи по "Статистике"

1. Общая дисперсия учитывает влияние всех факторов, от которых зависит величина изучаемого признака Х

 

       

     где - общая средняя по всей выборке.

2. Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки.

     Эта дисперсия определяется по формуле: 

        

     здесь – внутригрупповые средние, n_i – число вариант в i – ой группе, k – число групп, суммирование производится по различным группам.

3. Внутригрупповые дисперсии

 

       

     отражает  рассеяние значений x_j признака, относящихся к одному уровню группировочного фактора, поэтому она определяется не этим фактором, а другими причинами.

4. Средняя внутригрупповая дисперсия , а так же как и , характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле:

 

       
 
 

     Можно доказать, что имеет место правило  сложения дисперсий 

 

       

     Отношение показывает, какую долю общей дисперсии составляет дисперсия, возникающая под влиянием группировочного фактора, т.е. позволяет оценить влияние этого фактора на величину изучаемого признака Х. При сравнение колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того признака в разных совокупностях используются относительные показатели вариации. Наиболее распространенным среди относительных показателей вариации является коэффициент вариации 

       

     Его применяют также и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

     Решение:

     1. Найдем среднюю из внутригрупповых  дисперсий 

      (руб²) 

     Определим среднюю зарплат по цеху для основных рабочих профессий (общую среднюю) 

      (руб).

 

      Находим межгрупповую дисперсию 

       

     Используя правило сложения дисперсий, найдем общую дисперсию заработной платы: 

      (руб²) 

     2. Оценим однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы с помощью коэффициента вариации 

      % 

     Так как V<33%, то совокупность считается однородной.

     3. Общая дисперсия заработной платы  рабочих цеха обусловлена различиями  в профессии на 

       

     Эта же дисперсия обусловлена влиянием других причин на 

       

 

      Задача 4 

     По 14-ти предприятиям городского хозяйства (i – порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц (у млн. руб.) и уровне механизации труда (х, %). Статистические данные приведены в таблице: 

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
yi	90	77	90	91	101	105	99	65	90	91	110	109	89	98
xi	95	64	93	64	99	100	96	70	85	90	100	98	95	99

 

     Для выявления наличия корреляционной связи между объемом продукции  и уровнем механизации труда  требуется:

1. Построить аналитическую таблицу и дать графическое изображение линии связи
2. Измерить тесноту связи между признаками с помощью коэффициента корреляции рангов; проверить его достоверность.

     Решение:

     Таблица 1 Аналитическая таблица для построения графика линии связи между  объемом продукции и механизации  труда

i	xi	уi
2	64	77
14	64	91
8	70	65
9	85	90
10	90	91
3	93	90
1	95	90
13	95	89
7	96	99
12	98	109
5	99	101
14	99	98
6	100	105
11	100	110

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. Для обеспечения наглядности  при построении графического  изображения линии связи между  объемом продукции и механизации  труда необходимо построить аналитическую таблицу данных, в которой изучаемые предприятия расположить в порядке возрастания признака х – уровня механизации труда, % (Таблица 1).

     Изобразим связь между признаками графически, расположив по оси х значения уровня механизации труда, а по оси у – сведения об объеме выпущенной продукции по изучаемым предприятиям.

 

     2. Для того, чтобы вычислить коэффициент ранговой корреляции, нужно сначала провести ранжировку объектов и получить две согласованные последовательности рангов. Для определения ранга значений каждого признака построим два ранжированных ряда изучаемой совокупности по каждому из признаков отдельно в порядке их возрастания (Таблицы 2 и 3).

     Для повторяющихся индивидуальных значений признака ранг определяется как средняя арифметическая соответствующих номеров. Например, значения признака х по предприятиям № 2 и № 9 одинаково (= 64) и в ранжированном ряду занимают №№п.п. №1 и №2. Расчет ранга для этих двух значений: (1+2)/2 = 1,5.

     Таблица 2 Ранжированный ряд совокупности по признаку х

i	xi	№ п.п.	nx
2	64	1	1,5
14	64	2	1,5
8	70	3	3
9	85	4	4
10	90	5	5
3	93	6	6
1	95	7	7,5
13	95	8	7,5
7	96	9	9
12	98	10	10
5	99	11	11,5
14	99	12	11,5
6	100	13	13,5
11	100	14	13,5

 

     Таблица 3 Ранжированный ряд совокупности по признаку у

i	уi	№ п.п.	nу
8	65	1	1,0
2	77	2	2,0
13	89	3	3,0
1	90	4	5
3	90	5	5
9	90	6	5
4	91	7	7,5
10	91	8	7,5
14	98	9	9,0
7	99	10	10,0
5	101	11	11,0
6	105	12	12,0
12	109	13	13,0
11	110	14	14,0

 

     Для расчета коэффициента корреляции рангов Спирмена необходимо сопоставить порядковые номера (ранги) в порядке возрастания признака x ( ) и признака y ( ), затем найти сумму квадратов разностей рангов и далее по формуле:

 

      ,