Статистика – наука, изучающая количественные стороны массовых явлений в конкретных условиях места и времени

 

Расчёты для определения средней и показатели вариации.

Продолж. ремонта одного вагона, xi	Кол-во отремон. вагонов fi	Накоп. част.	Центр вари- ации	xi∙fi	-5,9 -3,4 -0,9 1,6 4,1	|xi- |	| xi- |fi	(xi- )2	(xi- )2fi
1-5 6-10 11-15 16-20 св.20	5 14 30 26 15	5 19 49 75 90	1,5 4 6,5 9 11,5	7,5 56 195 234 172,5	-5,9 -3,4 -0,9 1,6 4,1	5,9 3,4 0,9 1,6 4,1	29,5 47,6 27 41,6 61,5	34,81 11.56 0,81 2,56 16,81	174,05 161,84 24,3 66,56 252,15
	90			665			207,2	66,55	678,9

Для решения используем формулу средней арифметической взвешенной

Для нахождения перейдём от интервального ряда к дискретному, т.е. найдем центр варианты:

х1=

х2=

х3=

х4=

х5=

Проведём предварительные расчёты

x1 ∙ f1 = 1,5 ∙ 5=7,5

x2 ∙f2 = 4 ∙ 14 = 56

x3 ∙ f3 = 6,5 ∙ 30 = 195

x4 ∙ f4 = 9 ∙ 26 = 234

x5 ∙ f5 = 11,5 ∙ 15 = 172,5

 

7

∑= f1 + f2 + f3 + f4 + f 5=90

Отсюда

Вывод: в среднем продолжительность ремонта одного вагона составляет 7,4 часа.

Рассчитаем показатель вариации.

1. Рассчитаем размах вариации 

R=xmax-xmin=11,5-1,5=10

Вывод: разница между max и min затратами времени на ремонт одного вагона.

Рассчитаем среднее линейное отклонение.

По формуле взвешенной

Проведём предварительные расчёты

х1 - = 1,5 – 7,4 = -5,9

х2 - = 4 – 7,4 = -3,4

х3 - = 6,5 – 7,4 = -0,9

х4 - = 9 – 7,4 = 1,6

х5 - = 11,5 – 7,4 = 4,1

 

/х1- /f1= 5,9 ∙ 5 = 29,5

/х2- /f2= 3,4 ∙ 14 = 47,6

/х3- /f3= 0,9 ∙ 30 = 27

/х4- /f4= 1,6 ∙ 26 = 41,6

/х5- /f5= 4,1 ∙ 15 = 61,5

∑/хi- /fi= 29,5 + 47,6+ 27 + 41,6 + 61,5=207,2

 

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение

по формуле взвешенной

 

Проведём предварительные расчёты

(х1- )2 = -5,92 = 34,81

(х2- )2 = -3,42 = 11,56

(х3- )2 = -0,92 = 0,81

(х4- )2 = 1,62 = 2,56

(х5- )2 = 4,12 = 16,81

 

(х1- )2f1 = 34,81* 5 =174,05

(х2- )2f2 = 11,56* 14 = 161,84

(х3- )2f3 = 0,81* 30 = 24,3

8

(х4- )2f4 = 2,56 * 26 = 66,56

(х5- )2f5 = 16,81* 15 = 252,15

Отсюда:

9,5

 

=

Дисперсия 2 =  9,52=90,25      

Вывод: , , 2 – показывают отклонения от среднего времени ( = 7,4 часа) в большую или меньшую стороны

 

Рассчитаем коэффициент вариации

 

ν

 

ν=

Вывод: так  как  ν = 128%, а 128 > 33, следовательно совокупность не однородна.

 

Рассчитаем моду.

Mo = xMo+ I Mo

Для дискретного ряда, так как fmax=30 следовательно Мо=6,5 часа и интервал 11 – 15 является модальным.

Мо=11+4∙

Вывод: наибольшее количество вагонов было отремонтировано за время 12 часов.

 

Рассчитаем медиану.

Ме=

Найдём медианный интервал, для этого рассчитаем накопление частоты

Число 22,5 находится в сумме накопленных частот равной 49, следовательно интервал 11 – 15 является медианным.

 

9

Me = 11+4

Вывод: медиана = 4,5 часа, следовательно первая половина ряда это время затрачиваемое на ремонт вагонов которое меньше 7 часов, а вторая половина ряда это время которое больше 7 часов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

Тема: «Ряды динамики»

 

Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: время и конкретное значение показателя, или уровень ряда.

Ряды динамики различаются по следующим признакам:

1. по времени – моментальные и интервальные ряды.

Интервальный ряд – последовательность, в которой уровень явлений относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени.

Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени, то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель – общий выпуск продукции за год,  общие затраты рабочего времени, общий объём продаж акций и т.д., сумма же уровней моментного ряда, хотя иногда и подсчитывается, но реального содержания, как правило, не имеет;

2. по форме представления уровней  – ряды абсолютных, относительных  и средних величин;

3. по расстоянию между датами  или интервалами времени –  полные и неполные хронологические ряды. Полные ряды динамики имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом   с равным интервалом. Это равностоящие ряды динамики. Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается.

4. по числу показателей – изолированные и комплексные ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя, имеем изолированный ряд динамики. Комплексный ряд динамики получаем в том случае, когда хронологической последовательности дается система показателей, связанных между собой единством процесса или явлений.

Анализ рядов динамики начинается с определения того, как именно изменяются ряды (увеличиваются, уменьшаются) в абсолютном и относительном выражении. Чтобы проследить за направлением и размером изменений уровня во времени, для рядов динамики рассчитывают таки показатели как:

1. абсолютный прирост ΔYi – рассчитывается как разность между двумя уровнями ряда, он показывает на сколько уровень одного периода больше или меньше уровня какого-либо предшествующего периода и может иметь знак «+» при увеличении уровней  или знак «-» при уменьшении уровней.

В зависимости от базы сравнения абсолютный прирост может рассчитываться по базисной или цепной схеме. Вычитая из каждого уровня предыдущий, рассчитывают абсолютный прирост по цепной схеме:

ΔYi=Yi – Y0

 

2. темп роста (Тр) – относительный показатель рассчитываемый как отношение двух уровней ряда. Темп рота рассчитывается:

а) по цепной схеме

11

Тр =

 

б) по базисной схеме

Тр =

Темпы роста рассчитываются в %. Он показывает на сколько раз уровень данного периода больше или меньше уровня какого-либо предшествующего периода, или сколько % составляет уровень данного периода по отношению к какому-либо другому уровню.

3. темп прироста (Тпр) – относительный показатель показывающий на сколько % уровень данного периода больше или меньше какого-либо предшествующего уровня. Темп прироста можно вычислить двумя способами:

а) по цепной схеме

Тпр =

  по базисной схеме

Тпр =

б) учитывая взаимосвязь Тр и Тпр

 

Тпр=Тр-100%

 

4. абсолютное значение одного  процента прироста. Он рассчитывается  формуле:

А =

Данный показатель рассчитывается только по цепной формуле, он показывает сколько абсолютных единиц приходится на 1 % прироста (уменьшение).

5. средний темп роста ( , средний темп прироста ( . Они показывают изменения показателя за период в целом.

В рядах динамики уровни которых являются месячными или квартальными показателями,  на ряду со случайными колебаниями часто наблюдаются сезонные колебания, под которыми понимается периодически повторяющиеся из года в год повышение и снижение уровней в отдельные месяцы или кварталы.

Уровень сезонности оценивается с помощью:

- индексов сезонности

- гармонического анализа.

 

Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции f(t).

Индекс сезонности рассчитывается по формуле

Is =

 

12

Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ. Его выполняют, представляя временной ряд как совокупность гармонических процессов.

 

Задание № 3.

1.По данным таблицы вычислите:

1.1 Основные аналитические показатели ряда динамики (по цепной и базисной схемам):

- абсолютный прирост;

- темпы роста;

- темпы прироста;

- абсолютное значение 1% прироста;

1.2. Средние показатели ряда динамики:

- средний уровень ряда динамики;

- среднегодовой темп роста;

- среднегодовой темп прироста. 

Показатели	Годы
	1996	1997	1998	1999	2000	2001
Денежные доходы населения, млн. руб.	910,7	1346,8	1629,3	1705,3	2737,0	3356,4

 

2. По данным таблицы  вычислите  индекс сезонности и изобразите  графически сезонную волну.

	янв.	февр.	март	апр.	май	июнь	июль	авг.	сент.	окт.	нояб.	дек.
Yi	15920	7229	3614	2413	511	441	127	511	3484	4384	21948	28361

 

Решение: