Статистические методы социальных и экономических явлений и процессов

Дисперсия (σ²) – квадрат среднего квадратического отклонения.

Простая дисперсия:

,                         [10]

 

Взвешенная дисперсия:

,                         [11]

Рассчитаем взвешенную дисперсию:

 

тыс.руб.

 

Коэффициент вариации (К_ν) – это показатель типичности средней величины:

                                     [12]

где σ – среднее квадратическое отклонение; x̅ – средняя арифметическая.

Рассчитаем коэффициент вариации за 1 квартал 2011 года:

 

 

Считается, что если К_ν ≥ 40%, то средняя нетипична, а исследуемая совокупность неоднородна.

Таким образом, так как коэффициент вариации больше 40 %, то можно сделать вывод, что средняя нетипична, а исследуемая совокупность неоднородна.

Отдельные значения в  совокупности  в среднем отличаются на 4115 тыс.руб. от средней арифметической.

Наиболее характерным  значением исследуемого признака для  данной совокупности является 8230 тыс. руб.

Среднее квадратическое отклонение показывает, что  на 6823,96 тыс. руб. отличаются отдельные значения в совокупности от средней арифметической.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Анализ связи  между признаками по аналитической  группировке

Аналитическая группировка  строится для анализа связей между признаками. Процедура построения:

1.По имеющимся данным  выбирается признак-фактор (влияющий) и признак-результат (меняющийся  под влиянием факторного) с помощью  метода логического или экономического  анализа.

2.Строится группировка по признаку-фактору.

3.В каждой группе  рассчитывается среднее значение  признака-результата, как простая  средняя арифметическая из значений  результативного признака у единиц, попадающих в  данную группу.

4.Строится аналитическая  группировочная таблица.

Макет аналитической группировки

Интервалы группировки по признаку-фактору	Количество единиц в группе	Среднее значение признака-результата
(xj )	(fj )	(y̅j.)
Итого:	N объём стат. совокупности	y̅ общ.

y̅ _{общ.  =}  Σ y̅_j ∙ f_j                    [13]

                                                        Σf_j

Построим аналитическую  группировку.

Имеются данные о количестве выручки от реализации сельскохозяйственной продукции за 1 квартал 2011 г.

В этом распределении группы хозяйств – это признак-фактор. Количество выручки – признак-результат.

Аналитическая группировка  зависимости количества выручки от нахождения в определённой группе  хозяйств.

Таблица № 10.

Группы хозяйств по количеству выручки  от реализации сельскохозяйственной продукции  за 1 квартал 2011 г. , тыс.руб.	Количество хозяйств, шт.	Среднее значение выручки по группе
1. 0 - 4115	7	1875,6
2. 4115 - 8230	3	6508
3. 8230 - 12345	1	11467
4. 12345 - 16460	1	15463
5. 16460 - 20575	4	19285
Итого:	16	54598,6

Количественные характеристики связи можно определить с помощью дисперсионного анализа и расчета показателя силы связи.

Межгрупповая дисперсия характеризует  вариацию изучаемого признака под влиянием признака – фактора, лежащего в основе группировки. Она рассчитывается по формуле:

            [14]

где - групповые средние результативного признака;

      - групповые частоты;

      - общая средняя результативного признака в совокупности.

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Средняя внутригрупповая  дисперсия характеризует случайную  вариацию внутри каждой группы, возникающую  под влиянием побочных факторов, отличных от признака фактора.

Сначала рассчитываются внутригрупповые  дисперсии по каждой группе аналитической группировки:

     [15]

 

где - отдельные значения результативного признака в j – й группе;

       - среднее значение результативного признака в j-й группе;

        - частота в j-й группе.

Рассчитаем внутригрупповую  дисперсию:

Затем рассчитывается средняя  внутригрупповая дисперсия:

,       [16]

Рассчитаем среднюю  внутригрупповую дисперсию:

 

Общая дисперсия рассчитывается по формуле:

       [17]

Рассчитаем общую дисперсию:

Мерой тесноты связи  между результативным и факторным  признаками является коэффициент детерминации:

,        [18]

Рассчитаем коэффициент  детерминации:

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением:

 

,            [19]

 

Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение:

 

 

Показатель силы связи определяет, насколько изменится признак- результат при изменении признака-фактора на одну его единицу:

 

      [20]

 

где - средние значения результативного признака в первой и последней группах аналитической группировки;

       - середины интервала факторного признака в первой и последней группах аналитической группировки.

 

 

Таким образом, связь прямая, так как показатель силы связи больше нуля (1,06).

Коэффициент детерминации 0,87 показывает, что на 87% изменения  признака-результата (количества выручки) зависит от признака-фактора (группы хозяйств).

Вариация изучаемого признака  под влиянием признака-фактора равна 2173512515,9375 тыс.руб.в квартал. Случайная вариация внутри каждой группы равна 313228137,25 тыс. руб.

Эмпирическое корреляционное отношение равно 0,93 (ближе к 1), поэтому можно сказать, что связь тесная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Выборочное  обследование

В статистике различают  два способа наблюдения в зависимости  от полноты охвата объекта: сплошное и несплошное. Разновидностью несплошного  наблюдения является выборочное.

Под выборкой понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели по совокупности определяются по некоторой её части, полученной на основе случайного отбора.

Основным принципом  выборочного наблюдения является обеспечение  равной возможности попадания в  отобранную часть любой из единиц изучаемой совокупности.

Характеристики, полученные по выборке, распространяются на всю  совокупность.

Совокупность, из которой  производится отбор, называется генеральной  совокупностью. Отобранная для обследования часть называется выборочной совокупностью  или выборкой.

Выборка должна достаточно точно представлять генеральную  совокупность. Различия между показателями выборочной и генеральной совокупности объясняются ошибками выборки.

Ошибка выборки представляет собой среднее квадратическое отклонение выборочной средней и выборочной доли от средней и доли генеральной совокупности. Выборочная доля – доля единиц выборки, обладающих изучаемым признаком. Генеральная доля – доля единиц генеральной совокупности, обладающих изучаемым признаком.

Средняя ошибка выборки  по выборочной средней определяется по формуле:

,      [21]

где μ_x̅ - средняя ошибка по выборочной средней;

σ^{2 –} генеральная дисперсия;

n – численность выборочной совокупности

На практике значение генеральной дисперсии может  быть не известно. Его можно заменить выборочной дисперсией (S²) при следующих условиях:

- если объём выборки  больше либо равен 100, σ² = S²;

- если объём выборки  меньше 100, σ² = S² .

Средняя ошибка выборки тем больше, чем больше вариация признака в генеральной совокупности и чем меньше объём выборки.

Средняя ошибка выборки  по выборочной доле определяется по формуле:

,  [22]

где р – доля признака в генеральной и выборочной совокупности;

(1- p) – доля единиц генеральной и выборочной совокупности, не обладающих изучаемым признаком.

Теорией вероятности  доказано, что генеральная средняя (x̅) не выйдет за пределы, равные величине средней ошибки (μ_x̅) не во всех возможных выборках, а только в 6 827 и 10 000, т.е. ожидаемую ошибку можно утверждать с вероятностью P = 0, 6827. Данная вероятность представляет собой величину интервала вероятности Лапласа при t = 1. Величину t называют коэффициентом доверия или нормированным отклонением, а вероятность P – доверительной вероятностью. С целью повышения вероятности приходится расширять пределы возможных ошибок, увеличивая коэффициент доверия. Например, при t = 2 утверждать, что генеральная средняя не выйдет за пределы рассчитанных ошибок, можно с вероятностью P = 0,954; при t = 3 с вероятностью P = 0,997. Найти значение нормированного отклонения при заданной вероятности можно по  «Таблице значений интервала вероятностей» в статистических справочниках и учебниках.

Средняя ошибка, умноженная на коэффициент t называется предельной ошибкой выборки или допустимой погрешностью:

- допустимая погрешность  по средней величине:  ∆x = t μ_x̅ ;

- допустимая погрешность по доле: ∆p = t μ_p ;

Приведённые выше формулы  справедливы при повторном отборе. При бесповторном отборе в подкоренное выражение вводится множитель:

,

где n – объём выборки ; N – объём генеральной совокупности.

Таким образом, формулы  для расчёта ошибок выборки выглядят так:

              [23]

.   [24]

При применении выборочного  обследования важно правильно рассчитать объём выборки. Для расчёта необходимой  численности выборки предполагают величину предельно допустимой ошибки выборки (∆) и доверительную вероятность (P). Формула расчёта необходимой численности выборки:

,             [25]

где t – находится по таблице по заданной доверительной вероятности;

∆ - задаётся исследователем, исходя из тебуемой точности расчётов;

σ² – принимается по предыдущему обследованию, либо рассчитывается:

- если известно наибольшее  и наименьшее значения признака  в генеральной совокупности, ;

- если известно среднее  значение признака в генеральной  совокупности, .

Если рассчитанный объём  выборки превышает 5% от объёма генеральной совокупности, делается пересчёт на бесповторный отбор:

.        [26]

 Для выборочного  обследования выбрана таблица  № 3.

Из общего количества хозяйств Глазовского района была проведена 20%-ная случайная бесповторная выборка с целью определения среднего количества выручки в квартал. Определить  с вероятностью 0,95 доверительные пределы, в которых лежит средний объём выручки для всех хозяйств Глазовского района.

Результаты выборки  следующие:

Группы хозяйств по количеству выручки от реализации с/х продукции за 1 квартал 2011 г. , тыс.руб. x	Количество хозяйств, шт.     f	Среднее значение выручки по группе     x'
1. 0 - 4115	7	1875,6
2. 4115 - 8230	3	6508
3. 8230 - 12345	1	11467
4. 12345 - 16460	1	15463
5. 16460 - 20575	4	19285
Итого:	16	54598,6