Статистические методы изучения взаимосвязей финансовых показателей деятельностей банка

4. Вычисление средней арифметической по исходным данным о прибыли банков.

Для расчета  применяется формула средней арифметической простой:

,

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным (178,62 млн. руб.) и по интервальному ряду распределения (180,81 млн. руб.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 37-и банков, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным.

Задание 2.

По исходным данным (табл. 1) с использованием  результатов  выполнения Задания 1 необходимо выполнить  следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Прибыль и Собственный капитал, образовав пять групп с равными интервалами по каждому из признаков, используя методы: аналитической группировки;
2. Измерить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.

Выполнение  задания 2.

По условию Задания 2 факторным является признак Прибыль, результативным – величина Собственного капитала.

1. Установление  наличия и характера корреляционной  связи между признаками Прибыль и Величиной собственного капитала методами аналитической группировки.

Аналитическая группировка  строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную  таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между  факторным признаком Х – Прибыль и результативным признаком Y – Собственный капитал.

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 7:

 

 

 

Таблица 7

Зависимость прибыли от величины собственного капитала

Номер группы	Группы банков по прибыли млн. руб., x	Число банков, fj	Собственный капитал, млн руб.
			всего	в среднем на один банк,
1	2	3	4	5=4:3
1	62-118	7	8521	1217,2857
2	118-174	13	23469	1805,3076
3	174-230	8	22637	2829,625
4	230-286	5	19126	3825,2
5	286-342	4	21134	5283,5
	ИТОГО	37	94887

Вывод. Анализ данных табл. 7 показывает, что с увеличением прибыли от группы к группе систематически возрастает и собственный капитал по каждой группе банков, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле:

,                                                       

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле:

,                                                 

где     –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета показателей  и необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя и  знаменателя формулы имеются в табл. 7 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю :

= =2564,5315 млн руб.

Для расчета  общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 8.

Таблица 8

Вспомогательная таблица для расчета  общей дисперсии

Номер фирмы	Собственный капитал, млн. руб.
1	1969	-595,5315	354657,7675
2	5207	2642,4685	6982639,773
3	840	-1724,5315	2974008,894
4	1828	-736,5315	542478,6505
5	589	-1975,5315	3902724,707
6	1368	-1196,5315	1431687,63
7	2080	-484,5315	234770,7745
8	2400	-164,5315	27070,61449
9	3681	1116,4685	1246501,911
10	5590	3025,4685	9153459,644
11	8587	6022,4685	36270126,83
12	2971	406,4685	165216,6415
13	6930	4365,4685	19057315,22
14	1115	-1449,5315	2101141,569
15	1076	-1488,5315	2215726,026
16	1969	-595,5315	354657,7675
17	4703	2138,4685	4573047,525
18	440	-2124,5315	4513634,094
19	2960	395,4685	156395,3345
20	981	-1583,5315	2507572,011
21	3808	1243,4685	1546213,91
22	530	-2034,5315	4139318,424
23	895	-1669,5315	2787335,429
24	2818	253,4685	64246,28049
25	3034	469,4685	220400,6725
26	1079	-1485,5315	2206803,837
27	2918	353,4685	124939,9805
28	985	-1579,5315	2494919,759
29	2020	-544,5315	296514,5545
30	1576	-988,5315	977194,5265
31	1152	-1412,5315	1995245,238
32	3810	1245,4685	1551191,784
33	2400	-164,5315	27070,61449
34	4077	1512,4685	2287560,963
35	2338	-226,5315	51316,52049
36	1517	-1047,5315	1097322,243
37	2646	81,4685	6637,116492
Итого	94887		120639065,3

Рассчитаем общую дисперсию:

=

Для  расчета межгрупповой дисперсии  строится  вспомогательная таблица 9. При этом используются  групповые средние значения из табл. 7 (графа 5).

Таблица 9

Вспомогательная таблица для расчета  межгрупповой дисперсии

Группы банков по прибыли, млн. руб., x	Число банков,  fj	Среднее значение в группе, млн руб.
62-118	7	1217,2857	-1347,25	12705499
118-174	13	1805,3076	-759,224	7493472,1
174-230	8	2829,625	265,0935	562196,51
230-286	5	3825,2	1260,669	7946425,3
286-342	4	5283,5	2718,969	29571159
ИТОГО	37			58278751

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Определяем  коэффициент детерминации:

 ^{или 48,3%.}

Вывод. 48,3% вариации объёма величины собственного капитала обусловлено вариацией прибыли, а 51,7% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое  корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

Рассчитаем  показатель :

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между прибылью и величиной собственного капитала банков является заметной.

Показатели  и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка  выборочных показателей на их не случайность  осуществляется в статистике с помощью  тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле:

                                    ,

где  n – число единиц выборочной совокупности,

    m – количество групп,

       – межгрупповая дисперсия,

      – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

       – средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина  рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

где – общая дисперсия.

 

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические величины F-критерия  для различных комбинаций  значений  , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F_расч>F_табл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков,  сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F_расч<F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Результаты  представлены в таблице 10.

Таблица 10

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл
37	5	4	32	2,67

 

Вывод: поскольку F_расч>F_табл, то величина коэффициента детерминации =91,8% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками Прибылью и Собственным капиталом правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности фирм.

Задание 3.

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,683 необходимо определить:

1. ошибку выборки средней прибыли и границы, в которых будет находится средний размер прибыли в генеральной совокупности.
2. ошибку выборки доли банков с прибылью 153 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3.

1. Применяя выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), т.к. генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε.

Принято вычислять два вида ошибок выборки - среднюю  и предельную .

Для собственно-случайной  и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка для выборочной средней определяется по формуле:

,

где – общая дисперсия изучаемого признака,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная  ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

,

где     – выборочная средняя,

          – генеральная средняя.

Предельная  ошибка выборки  кратна средней ошибке с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

Коэффициент кратности  t зависит от  значения  доверительной вероятности Р, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал , называемый доверительным интервалом.

Значения параметров, необходимых  для решения задачи, представлены в табл. 11:

Таблица 11

Р	t	n	N
0,683	1	37	1233	180,81	4805,96949

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Рассчитаем  предельную ошибку выборки:

Определим доверительный интервал для генеральной средней: