Статистические методы изучения взаимосвязей финансовых показателей деятельностей банка

Прибыль на единицу активов (R_a) характеризует прибыльность банка от кредитной деятельности с точки зрения использования активов и рассчитывается по формуле:

 

Маржа прибыли (R_m) отражает удельный вес чистой прибыли в сумме полученных банком доходах и определяется по формуле:

 

 

 

2. Расчётная часть.

 

Исходные данные:

Имеются следующие выборочные данные о деятельности российских банков (выборка 3%-ная механическая), млн. руб.:

Таблица 1

№ банка п/п	Прибыли	Собственный капитал	№ банка п/п	Прибыли	Собственный капитал
1	62	1969	20	148	981
2	175	5207	21	165	3808
3	83	840	22	198	530
4	153	1828	23	163	895
5	118	589	24	240	2818
6	170	1368	25	224	3034
7	139	2080	26	165	1079
8	200	2400	27	213	2918
9	244	3681	28	64	985
10	268	5590	29	111	2020
11	342	8587	30	119	1576
12	329	2971	31	93	1152
13	289	6930	32	189	3810
14	66	1115	33	203	2400
15	121	1076	34	237	4077
16	129	1969	35	215	2338
17	166	4703	36	153	1517
18	67	440	37	306	2646
19	282	2960

 

Признак прибыль, число групп – пять. Связь  между признаками – прибыль и  величина собственного капитала.

Задание 1.

По исходным данным (табл. 1) необходимо выполнить следующее:

1. Построить статистический ряд распределения банков по прибыли, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.
3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Выполнение Задания 1.

1. Построение интервального ряда распределения банков по прибыли.

Для построения интервального ряда распределения  определяем величину интервала h по формуле:

,

где –наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k - число групп интервального ряда.

h =

млн. руб.

При h = 56 млн. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница, чел.	Верхняя граница, чел.
1	62	118
2	118	174
3	174	230
4	230	286
5	286	342

 

Для определения числа фирм в  каждой группе строим разработочную    таблицу 3 (данные графы 4 потребуются при выполнении Задания 2).

Таблица 3

Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения  и аналитической группировки

Группы банков по прибыли млн. руб.	Номер банка	Прибыль млн. руб.	Собственный капитал млн руб.
62-118	1	62	1962
	28	64	985
	14	66	1115
	18	67	440
	3	83	840
	31	93	1152
	29	111	2020
Всего	7	546	8521
118-174	5	118	589
	30	119	1576
	15	121	1076
	16	129	1969
	7	139	2080
	20	148	981
	4	153	1828
	36	153	1517
	23	163	895
	21	165	3808
	26	165	1079
	17	166	4703
	6	170	1368
Всего	13	1909	23469
174-230	2	175	5207
	32	189	3810
	22	198	530
	8	200	2400
	33	203	2400
	27	213	2918
	35	215	2338
	25	224	3034
Всего	8	1617	22637
230-286	34	237	4077
	24	240	2818
	9	244	3681
	10	268	5590
	19	282	2960
Всего	5	1271	19126
286-342	13	289	6930
	37	306	2646
	12	329	2971
	11	342	8587
Всего	4	1266	21134
Итого	37	6609	94887

На основе групповых итоговых строк  «Всего» табл. 3 формируем итоговую таблицу 4, представляющую интервальный ряд распределения банков по прибыли.

Таблица 4

Распределение банков по прибыли

Номер группы	Группы банков по прибыли млн. руб., x	Число банков, fj
1	62-118	7
2	118-174	13
3	174-230	8
4	230-286	5
5	286-342	4
	ИТОГО	37

Приведем еще три характеристики полученного ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 5

Структура банков по прибыли

Номер группы	Группы банков по прибыли млн. руб., x	Число банков, f		Накопленная частота Sj	Накопленная частость, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	62-118	7	19	7	19
2	118-174	13	35	20	54
3	174-230	8	22	28	76
4	230-286	5	13	33	89
5	286-342	4	11	37	100
	ИТОГО	37	100

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности банков показывает, что их распределение по прибыли не является равномерным: преобладают банки с прибылью от 118 млн. руб. до 174 млн. руб. (это 13 банков, доля которых составляет 35%); самые малочисленные группы банков имеют 286-342 млн. руб. включает 4 банка, что составляет по 11% от общего числа фирм.

2. Нахождение моды и медианы  полученного интервального ряда  распределения графическим методом  и путем расчетов.

Для определения  моды графическим методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму  распределения фирм по изучаемому признаку.

М_о

Расчет конкретного значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

 

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h – величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно  табл. 4 модальным интервалом построенного ряда является интервал 118-174 чел., т.к. он имеет наибольшую частоту (f₂=13). Расчет моды:

Вывод. Для рассматриваемой совокупности банков наиболее распространенная прибыль характеризуется средней величиной 148,54 млн. руб.

Для определения  медианы графическим методом  строим по данным табл. 5 (графы 2 и 5) кумуляту распределения фирм по изучаемому признаку.

М_е

Рис. 2. Определение  медианы графическим методом

Расчет  конкретного значения медианы для  интервального ряда распределения  производится по формуле:

,

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Определяем  медианный интервал, используя графу 5 табл. 5. Медианным интервалом является интервал 118-174 млн. руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j=20 впервые превышает полусумму всех частот ( ).

Расчет  медианы:

Вывод. В рассматриваемой совокупности банков половина из них имеют прибыль не более 167,54 млн. руб., а другая половина – не менее 167,54 млн. руб.

3. Расчет характеристик ряда  распределения

Для расчета характеристик ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строим вспомогательную таблицу 6 ( – середина интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для нахождения характеристик  ряда распределения

Группы банков по прибыли млн. руб.	Середина интервала,	Число банков, fj
62-118	90	7	630	-91	8281	57967
118-174	146	13	1898	-35	1225	15925
174-230	202	8	1616	21	441	3528
230-286	258	5	1290	77	5929	29645
286-342	314	4	1256	133	17689	70756
ИТОГО		37	6690			177821

Рассчитаем  среднюю арифметическую взвешенную:

Рассчитаем  среднее квадратическое отклонение:

Рассчитаем  дисперсию:

σ² = 69,3251² = 4805,96949.

Рассчитаем  коэффициент вариации:

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина прибыли банков составляет 181 млн. руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 69,3251 млн. руб. (или 38,3%), наиболее характерная прибыль банков находится в пределах от 112 до 250  млн. руб. (диапазон ). 

Значение V_σ = 38,3% превышает 33%, следовательно, вариация прибыли банков в исследуемой совокупности фирм умеренная (средняя) и совокупность по данному признаку неоднородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме значительно ( =181млн. руб., Мо=148,54 млн. руб., Ме=167,54 млн. руб.), что не подтверждает вывод об однородности совокупности банков.