Контрольная работа по "Статистике"

 

2. Расчет моды.

Мода (М_о) – это значение признака, повторяющееся с наибольшей частотой. В интервальном ряду распределения мода определяется следующим образом:

Находим модальный интервал, т.е. интервал, которому соответствует наибольшая частота. В данной задаче модальным интервалом будет интервал 
[174 – 196], так как ему соответствует наибольшая частота ( ) .

Внутри модального интервала мода определяется по формуле:

,                 (5)

где – нижняя граница модального интервала (174) ;

d – величина интервала (22) ;

    – частота модального интервала (8) ;

 – частота интервала, предшествующего модальному (6) ;

 – частота интервала, следующего за модальным (5) .

На основании данной формулы  и табл. 4 определим модальные  значения средней выработки.

ВЫВОД. У большинства рабочих данной совокупности выработка составляет 182,8 шт. в месяц.

На рис. 1 изобразим графически моду.

 

3. Расчет медианы.

Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для определения медианы в интервальном ряду сначала определим накопленные частоты, затем по накопленной частоте определяем медианный интервал. Им считается тот, до которого сумма (накопленный итог) численностей меньше половины всей численности ряда , а с прибавлением его численности – больше половины . На основании данных табл. 3 определим накопленные итоги (графа 3 табл. 3). Половина численности ряда, т.е. медиана равна Таким образом, третий интервал является ме- 
дианным, так как накопленный итог предшествующего (2-го) интервала меньше 15 (11<15), а накопленный итог 3-го интервала больше 15 (17>15).

Внутри медианного интервала медиана  определяется по формуле:

,                                      (6)

где – нижняя граница медианного интервала (152) ;

d – величина медианного интервала (22) ;

– численность ряда (сумма частот) (30) ;

 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному (11) ;

 – частота медианного интервала (6) .

ВЫВОД. У 50% рабочих данной совокупности выработка до 166,67 шт., а второй половины рабочих – выше 166,67 шт.

На рис. 2 изобразим графически медиану.

ЗАДАЧА 4

 

По результатам вычислений задач 2, 3 вычислить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Поясните смысл полученных характеристик вариации.

 

РЕШЕНИЕ

 

Вариацией называется колеблемость, изменяемость признаков в пределах совокупности. К показателям вариации относят дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

 

1. Дисперсия – это средний квадрат отклонений. Расчет дисперсии для всей совокупности, представленной в виде сгруппированного ряда в табл. 4, осуществляется по формуле:

σ² = 27 571,867 : 30 = 919,062.                      (7)

где – середины интервалов;  – средняя величина (163,733);  – частота.

Расчет данных для  вычисления дисперсии выполним в  табл. 4.

 

2. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

σ =                                      (8)

 

3. Коэффициент вариации – это относительный показатель, характеризующий долю (удельный вес) среднего квадратического отклонения в средней величине, определяется по формуле:

                       (9)

Если коэффициент вариации больше 33%, то совокупность считается неоднорожной, а средняя величина – нетипичной и неустойчивой.

 

ВЫВОД. В данном случае коэффициент вариации меньше 33% (18,52%), следовательно, совокупность является однородной, а средняя – типичной и устойчивой.

ЗАДАЧА 5

 

На основании аналитической  группировки задачи 1 вычислить общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых  дисперсий. Определите корреляционное отношение по выработке одного рабочего. Сделайте выводы.

 

РЕШЕНИЕ

 

1. Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию, и рассчитывается по формуле:

,                                      (10)

где – общая средняя по всей совокупности.

 

2. Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, 
т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

δ_х²  = ,                                        (11)

где – средние по отдельным группам;

 –численности по отдельным  группам.

 

3. Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

σ² = .                                         (12)

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

                                           (13)

Закон, связывающий три вида дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

σ²_общ = δ² + σ² .                                            (14)

Данное соотношение  называют правилом сложения дисперсий.

Для решения задачи сначала  определим средние по каждой группе. Расчет средних выполнен в табл. 5. Средняя выработка в 1-ой группе (до 3 лет) равна х₁=598:5=119,6 шт; во 2-ой (от 3 до 10 лет) х₂=1206:8=150,75 шт; 
в 3-ей (свыше 10 лет) х₃=3136:17=184,47 шт.

Промежуточные расчеты  дисперсий по группам представлены в табл. 5.

Таблица 5

Расчет данных для определения  внутригрупповых дисперсий.

 

№ рабочего	Выработка (х)
1	2	3	4
До 3 лет
1	126	126 - 119,6 =        6,4	40,96
9	108	108 - 119,6 = – 11,6	134,56
13	123	123 - 119,6 =         3,4	11,56
17	126	126 - 119,6 =        6,4	40,96
20	115	115 - 119,6 =   – 4,6	21,16
Итого: 5	598		249,20
От 3 до 10 лет
2	186	186 - 150,75 =    35,25	1 242,5625
7	128	128 - 150,75 = – 22,75	517,5625
12	166	166 - 150,75 =     15,25	232,5625
16	170	170 - 150,75 =     19,25	370,5625
18	134	134 - 150,75 = – 16,75	280,5625
19	132	132 - 150,75 = – 18,75	351,5625
24	140	140 - 150,75 = – 10,75	115,5625
27	150	150 - 150,75 =   – 0,75	0,5625
Итого: 8	1206	–	3111,50
свыше 10 лет
3	195	195 – 184,47 =    10,53	110,8809
4	182	182 – 184,47 =   – 2,47	6,1009
5	210	210 – 184,47 =     25,53	651,7809
6	180	180 – 184,47 =   – 4,47	19,9809
8	172	172 – 184,47 = – 12,47	155,5009
10	170	170 – 184,47 = – 14,47	209,3809
11	217	217 – 184,47 =      32,53	1058,2009
14	204	204 – 184,47 =     19,53	381,4209
15	182	182 – 184,47 =    – 2,47	6,1009
21	186	186 – 184,47 =       1,53	2,3409
22	145	145 – 184,47 = – 39,47	1557,8809
23	165	165 – 184,47 = – 19,47	379,0809
25	181	181 – 184,47 =   – 3,47	12,0409
26	210	210 – 184,47 =     25,53	651,7809
28	175	175 – 184,47 =   – 9,47	89,6809
29	200	200 – 184,47 =     15,53	241,1809
30	162	162 – 184,47 = – 22,47	504,9009
Итого: 17	3136	–	6038,2353

 

Подставив полученные значения в формулу, получим:

σ₁² = =249,20:5=49,84;    σ₂²= =3111,50:8=388,9375;

σ₃² =

= 6 038, 2353 : 17 = 315, 1903

Средняя из групповых дисперсий:

=(49,84 · 5 + 388,9375 · 8 + 315,1903 · 17) : 30 = 313, 2978

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Средняя (общая) по всей совокупности равна 164,67 шт. (см. табл. 2).

δ_х²  =

=

= [ (119,6 – 164,67)² · 5 + (150,75 – 164,67)² · 8 + (184,47 – 164,67)² · 17 ] : 30 = 612, 378

Таким образом, общая  дисперсия согласно правилу сложения дисперсий:

σ²_общ = δ² + σ² = 612, 378 + 313, 2978 = 925, 6758

На основании правила  сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками, который называется корреляционным отношением:

                          (15)

Величина 0,6615 показывает наличие связи между группировочным и результативным признаками.

Коэффициент детерминации η² равен:

η² = 0,6615² = 0,4376 или 43,76 %                              (16)

Он показывает, что  вариация выработки на 43,76 % зависит от стажа и на 56,24 % (100 % – 43, 76 %) от других неучтенных факторов.

ЗАДАЧА 6

 

По исходным данным задачи 2 и результатам вычислений задачи 3,4 установите:

1. с вероятностью 0,954 возможные пределы средней выработки в генеральной совокупности;
2. с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса численности рабочих, имеющих выработку выше средней;
3. сколько необходимо отобрать рабочих, чтобы с вероятностью 99,7% предельная относительная ошибка выборки не превышала 5%?

 

РЕШЕНИЕ

 

1. Средняя ошибка выборки определяется по формуле:

,           (17)

где k–коэффициент выборочного наблюдения (по условию задачи 10% или 0,1);

σ² – дисперсия выборки (919,062);        n – объём выборки (30 человек).

 

Предельная ошибка выборки  определяется по формуле: ,          (18)

где t – коэффициент доверия (для вероятности 0,954 равен 2)

Определим предельную ошибку средней выработки:

Найдем границы изменения средней  величины в генеральной совокупности:

,                                                (20)

где – выборочная средняя (по результатам Задачи № 3, – 163,733)

= 163,733 ± 10,502

163,733 – 10,502 <

< 163,733 + 10,502;  153,231 < < 174,235

 

ВЫВОД. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя выработка одного рабочего в генеральной совокупности находится в пределах от 153,231 шт. до 174,235 шт. (не ниже 153,231 шт., но не выше 174,235 шт.)

 

2. Определим удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней (163,733 шт.). Таких рабочих 18 человек (Приложение В). Тогда удельный вес их в общей численности составит:

.                                            (21)

Определим среднюю ошибку доли:

  (22)

где w – удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней;

n – объем выборочной совокупности (30 человек);

k – коэффициент выборочного наблюдения (по условию задачи 10% или 0,1)

 

Рассчитаем предельную ошибку доли в случае механического  отбора по формуле:

, или 25,5%                             (23)

где t – коэффициент доверия (t = 3 для вероятности 0,997).

Найдем границы изменения доли в генеральной совокупности:

р = w ± Δ_p                                                   (24)

p = 0,6 ± 0,255 ;                0,6 – 0,255 < р < 0,6 + 0,255;

0,345 < р < 0,855;                  34,5% < р < 85,5%

ВЫВОД. С вероятностью 0,997 можно утверждать, что удельный вес рабочих в генеральной совокупности, у которых выработка выше средней, колеблется от 34,5% до 85,5%.

 

3. Рассчитаем численность рабочих.

Рассчитаем необходимую численность  выборки, при которой относительная  погрешность (ошибка) не превышала бы 5%:

                   (25)

где t – коэффициент доверия (для вероятности 99,7% равен 3);

V_σ – коэффициент вариации (18,52% – результат решения задачи 4);

Δ² – относительная погрешность выборки, %; (по условию задачи равна 5%).

 

ВЫВОД. С вероятностью 99,7% можно утверждать, что численность выборки, обеспечивающая относительную погрешность не более 5%, должна составлять не менее 124 человек.

ЗАДАЧА 7

 

Имеются данные о стаже работы рабочих и их выработке (Прилож. А, Б).

Составить линейное уравнение регрессии, вычислить его параметры, рассчитать коэффициенты корреляции и эластичности. По полученному уравнению регрессии рассчитать теоретические (выровненные) уровни. Результаты расчетов оформить в виде таблицы. Сделать выводы.

 

РЕШЕНИЕ

1. Записываем уравнение прямой в общем виде. Уравнение связи в случае линейной зависимости имеет вид: