Контрольная работа по "Статистике"

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

линейная  ,

параболическая  ,

экспоненциальная 

или .

Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая  зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.).

Оценка параметров осуществляется следующими методами:

1. методом избранных точек,
2. методом наименьших расстояний,
3. методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму  квадратов отклонений фактических  уровней от выровненных:

Для линейной зависимости  параметр обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают, как обобщенный начальный уровень ряда; – сила связи, т. е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост.

Построив уравнение  регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера . Фактический уровень ( ), сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

где – число параметров функции, описывающей тенденцию;

 – число уровней ряда;

 сравнивается с при степенях свободы и уровне значимости (обычно = 0,05). Если , то уравнение регрессии значимо, то есть построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

В качестве примера рассмотрим реализацию аналитического выравнивания по линейной и степенной зависимостям.

Из найденных двух трендов выбирается тренд с большей достоверностью аппроксимации (необходимо выбрать тот тренд, у которого коэффициент достоверности аппроксимации ближе к единице) и оценивается надежность найденных коэффициентов уравнения регрессии по критерию Фишера. Для определения дисперсий в строке 12 записываются данные среднего уровня исходного ряда.

Продление в будущее  тенденции, наблюдающейся в прошлом, носит название экстраполяции.

Возможность экстраполяции  обеспечивается двумя обстоятельствами:

1) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпевают существенных изменений в будущем;

2) тенденция развития  явления характеризуется тем  или иным аналитическим уравнением.

При составлении прогнозов  оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя так называемые доверительные интервалы прогноза. Величина доверительного интервала определяется в общем виде как:

где – среднее квадратическое отклонение от тренда; – табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости .

  Величина  определяется по формуле:

2.5. Анализ сезонных колебаний

 

Если в анализируемой  временной последовательности наблюдаются устойчивые отклонения от тенденции (как в большую, так и в меньшую сторону), то можно предположить наличие в ряду динамики некоторых (одного или нескольких) колебательных процессов. Это особенно заметно, когда изучаемые явления имеют сезонный характер.

Уровень сезонности оценивается с помощью:

1. индексов сезонности;
2. гармонического анализа.

Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени больше среднего уровня либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет. Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года. Индексы сезонности – это, по существу, относительные величины координации, когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда, либо уровень тенденции. Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции .

Если тренда нет или он незначителен, то для каждого месяца (квартала):

                                                                                

 где – уровень показателя за месяц (квартал) ; – общий уровень показателя.

Как отмечалось выше, для обеспечения устойчивости показателей можно взять больший промежуток времени. В этом случае расчет производится

 либо 

где  – средний уровень показателя по одноименным месяцам за ряд лет; – число лет.

При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов, исключающих влияние тенденции. Порядок расчета следующий:

1. для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду ;
2. рассчитывают отношения ;
3. при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) 

                   ( – число лет).

 

Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ. Его выполняют, представляя временной ряд как совокупность гармонических колебательных процессов. Для каждой точки этого ряда справедливо выражение

                

при

Здесь – фактический уровень ряда в момент (интервал) времени ; – выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) , – параметры колебательного процесса (гармоники) с номером , в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки.

Общее число колебательных  процессов, которые можно выделить из ряда, состоящего из уровней, равно . Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник. Параметры гармоники с номером определяются по формулам:

1.                                                                     
2.                                                      

     при

Аппарат гармонического анализа позволяет оценить роль каждого колебательного процесса в  общей дисперсии временного ряда. Удельный вес гармоники с номером  определяется как где – дисперсия ряда, рассчитанная обычным способом;  – дисперсия, вносимая колебательным процессом (гармоникой) с номером :

2.6. Анализ взаимосвязанных рядов динамики

 

Под взаимосвязанными рядами динамики понимают такие, в которых уровни одного ряда в какой-то степени определяют уровни другого.

В простейших случаях  для характеристики взаимосвязи  двух или более рядов их приводят к общему основанию, для чего берут в качестве базисных уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или прироста.

Коэффициенты опережения по темпам роста – это отношение  темпов роста (цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или базисным) другого ряда. Аналогично находятся и коэффициенты опережения по темпам прироста.

Анализ взаимосвязанных  рядов представляет наибольшую сложность  при изучении временных последовательностей. Однако нередко совпадение общих тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью, а прочими неучтенными факторами. Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно следует избавиться от влияния существующих в них тенденций, а после этого провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда. Исследование включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и установление связи между признаками.

Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от предыдущих. Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию Дарбина – Уотсона:

                                          

где – отклонение фактического уровня ряда в точке от теоретического (выравненного) значения.

При имеется полная положительная автокорреляция, при автокорреляция отсутствует, при – полная отрицательная автокорреляция. Прежде чем оценивать взаимосвязь, автокорреляцию необходимо исключить. Это можно сделать тремя способами.

1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных рядов динамики и получают уравнение тренда:

                                                                          

Далее выполняют переход к новым рядам динамики, построенным из отклонений от трендов:

                                                                        

Для последовательностей  выполняется проверка на автокорреляцию по критерию Дарбина – Уотсона. Если значение близко к 2, то данный ряд отклонений оставляют без изменений. Если же заметно отличается от 2, то по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии, т.е.

                                                                                

Более полные уравнения  авторегрессии можно получить на основе анализа автокорреляционной функции, когда определяются число параметров ( ) и соответствующие этим параметрам величины шагов.

Далее подсчитываются новые остатки:

                 

и коэффициент корреляции признаков:

                                                        

2. Корреляция первых разностей. От исходных рядов динамики и переходят к новым, построенным по первым разностям:

                                                            

По  и определяют направление и силу связи в регрессии:

                                              

3. Включение времени в уравнение связи:

В простейших случаях уравнение выглядит следующим образом:

                                                             

         Из перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым является второй, однако более эффективен первый.

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В контрольной работе были проведены статистические исследования в среде Excel. Был проведен анализ интенсивности изменения в течение года такого параметра деятельности предприятия как реализованная продукция (млн. руб.), и рассчитаны средние показателей динамики.

С целью анализа динамического  ряда были рассчитаны следующие абсолютные и относительные показатели динамики:

- абсолютные приросты  уровней ряда динамики;

- базисные и цепные  темпы роста и прироста;

- абсолютные размеры одного процента прироста.

Абсолютный прирост  является важнейшим статистическим показателем динамики. Из таблицы  приложения Б видно, что по сравнению  с январем в каждом последующем  месяце происходило увеличение абсолютных приростов реализованной продукции (млн. руб.). Цепные абсолютные приросты показывают, что в июле (-0,25 млн. руб.), сентябре (-1,56 млн. руб.), декабре (-2,00 млн. руб.) происходило снижение уровней ряда, в других месяцах – повышение.

Распространенным статистическим показателем является темп роста. Из таблицы приложения Б следует, что показатели базисных темпов роста свидетельствуют о том, что по сравнению с январем происходило увеличение реализованной продукции, достигшее в ноябре 124% базисного уровня. Цепные темпы роста показывают, что в развитии показателя имело место снижение помесячных темпов % в сентябре и декабре. Графическое изображение фактических значений уровней ряда на графиках приложения Г подтверждает эти выводы.