Качественный анализ целей, объекта и предмета исследования

 

 

 

Среди рассмотренных  однофакторных регрессионных моделей  наилучшими статистическими свойствами обладает степенная регрессионная модель, т.к. коэффициент детерминации для данной модели выше, чем у остальных, а средняя ошибка аппроксимации ниже (табл. 5):

 

 

Таблица 5

Результаты  эконометрического моделирования

Регрессионная модель	Критерии выбора
	Коэффициент детерминации R2	Средняя ошибка аппроксимации , %
Линейная функция y = - 1544,55+0,12x станд. ошибка                 787,96                0,0027	0,9908	375,89
Степенная функция y=0,01455 *x1,148 станд. ошибка                  0,0123           0,0602	0,9926	230,5
Логарифмическая функция y= - 105060 + 26087*log10 X станд. ошибка      38462,43                    8563,83	0,353	3703,79

 

Многофакторный  регрессионный анализ

Анализ  линейной множественной регрессии

Изменим спецификацию модели на основе добавления новых  факторов и проведения многофакторного регрессионного анализа.

Построение  уравнения множественной регрессии  начинается со спецификации модели, т.е. решения двух вопросов: отбора факторов и выбора формы уравнения регрессии. В данном случае разрабатывается  линейная регрессионная модель.

Факторы, включаемые в модель множественной регрессии, должны удовлетворять следующим  условиям:

1. должны быть количественно измеримы;
2. не должны коррелировать между собой и не должны находиться в функциональной зависимости. Если коэффициент парной корреляции между двумя факторами , то необходимо исключить из модели один из этих факторов.

В зависимости  от принципа отбора факторов различают  следующие методы построения модели множественной регрессии:

1. метод исключения факторов;
2. метод включения факторов.

Данные методы базируются на использовании корреляционных матриц и частных корреляционных матриц. Правило включения в модель факторов состоит в выполнении двух условий:

1. число включаемых в модель факторов должно быть как минимум в шесть раз меньше объема выборки;
2. коэффициент парной корреляции между факторными признаками должен не превышать 0,8.

В случае, когда  имеется одна независимая и одна зависимая переменная, мерой тесноты  их связи служит парный коэффициент  корреляции :

В случаях, когда  имеется несколько независимых  переменных, необходимо рассчитывать частные коэффициенты корреляции, характеризующие тесноту связи между результативным признаком и соответствующим факторным признаком при устранении влияния других факторов, включенных в модель:

Одним из методов  отбора наиболее существенных факторов является пошаговая регрессия. В  пакете STATISTICA реализованы две процедуры пошаговой регрессии: Пошаговая с включением (метод включения) и Пошаговая с исключением (метод исключения).

В соответствии с первой схемой признак включается в уравнение в том случае, если его включение существенно увеличивает значение множественного коэффициента корреляции, что позволяет последовательно отбирать факторы, оказывающие существенное влияние на результирующий признак даже в условиях мультиколлинеарности системы признаков, отобранных в качестве аргументов из содержательных соображений. При этом первым в уравнение включается фактор, наиболее тесно коррелирующий с y, вторым в уравнение включается тот фактор, который в паре с первым из отобранных дает максимальное значение множественного коэффициента корреляции, и т.д. Существенно, что на каждом шаге получают новое значение множественного коэффициента (большее, чем на предыдущем шаге); тем самым определяется вклад каждого отобранного фактора в объясненную дисперсию y.

Проведем выбор  факторов методом включения. Для этого используется меню Анализ →Множественная регрессия. Далее задаем зависимую переменную – объем балансовой прибыли банков и независимые переменные - все остальные показатели деятельности банков, а затем устанавливаем галочку напротив пункта Пошаговая или гребневая регрессия. В появившемся окне во вкладке Дополнительно выбираем тип процедуры – Пошаговая с включением.

Во вкладке Пошаговый устанавливается тип отображения результатов – На каждом шаге (в этом случае будут выводиться результаты на каждом шаге), а также значения F-включения и F-удаления, равные 3 и 2 соответственно.

Рис. 16.

На первом шаге (рис. 17) в регрессионную модель включается переменная, имеющая наибольший коэффициент корреляции с y. Таковой является переменная x₇ – потребительские кредиты (r_xy = 0,995).

 

Рис.17. Результаты анализа множественной регрессии на первом шаге

Рис. 18. Результаты множественной регрессии на первом шаге

Переменная потребительские кредиты – значима, т.к. наблюдаемое значение t-критерия (рис. 18) превышает критическое значение: t(17) =42,68 > t_кр(0,05; 17) = 2,1098;

Определяется  уравнение простой линейной регрессии:

y= - 1544,55+0,12*x

Полученное  уравнение регрессии значимо, т.к. расчетное значение F-критерия Фишера превышает табличное.

На втором (заключительном) шаге (рис.19) в уравнение регрессии включается переменная x₈ - депозиты. Причем обе переменные: x_{7 и} x₈ являются значимыми (рис.20):

t₇ (16) =2,265 > t_кр(16) = 2,1199

t₈(16) = - 2,253 < t_кр(16) = 2,1199

Уравнение регрессии  также значимо:

F_набл =1131,9 > F_табл(0,05;2;16) = 3,63

Рис. 19. Результаты анализа множественной регрессии на втором шаге

Рисунок 20. Результаты множественной регрессии на втором шаге

После второго шага процесс заканчивается, т.к. для следующего шага наибольшее среди оставшихся факторов значение F_i = (t_i)² будет меньше заданного значения F-включения.

Окончательное уравнение регрессии, полученное в результате выполнения процедуры пошаговой регрессии, имеет вид:

y= - 809,455 + 0,059*X₇ + 0,016 *X₈

где x₇ – потребительские кредиты; x₈ – депозиты.

Проверим  факторы на коллинеарность. Из матрицы парных корреляций (рис. 2) можно заключить, что факторы x₇ – потребительские кредиты и x₈ – депозиты являются коллинеарными, так как их коэффициент корреляции близок к единице.

Если исключим фактор x₈ – депозиты, то мы придем к уравнению однофакторной регрессии, рассмотренному в первой части работы.

y = - 1544,55+0,12x

Поэтому оставим  оба фактора и проанализируем уравнение регрессии, полученное в результате выполнения процедуры пошаговой регрессии, зависящее от двух переменных:

y= - 809,455 + 0,059*X₇ + 0,016 *X₈

 

 

Рисунок 21.

Коэффициент множественный  корреляции r = 0,9965 близок к 1, следовательно, связь между результативной переменной и факторами очень сильная.

Множественный коэффициент детерминации R² = 0,9929 т.е. 99,29 % вариации результативного признака обусловлено изменением факторных признаков, входящих в регрессионную модель.

Полученные  оценки коэффициентов регрессии  показывают среднее изменение результативного  признака, балансовая прибыль, при изменении соответствующего факторного признака на единицу.

Теоретические значения результативной переменной, а также значения остатков для  расчета средней ошибки аппроксимации  рассчитываются нажатием кнопки Анализ остатков во вкладке Остатки/предсказание/наблюдаемые значения окна Результаты множественной регрессии. В появившемся окне Анализ остатков во вкладке Быстрый с помощью кнопки Остатки и предсказанные получаем таблицу предсказанных значений и остатков (рис.22).

Оценка ошибки аппроксимации рассчитана в Excel (табл. 6), основываясь на данных теоретических значений результативного признака, а также значений остатков, полученных с использованием STATISTICA. Для данной регрессионной модели получено значение средней ошибки аппроксимации:

 

Рис. 22. Таблица предсказанных значений и остатков

Таблица 6

Расчет средней  ошибки аппроксимации

№ п/п	Наименование  банка	Наблюдаемые значения	Остатки
1	Кредит Европа Банк	60,4	-1125,79	18,63884106
2	Локо-Банк	708,7	910,05	1,284116269
3	Петрокоммерц	1588,5	-56,62	0,035646528
4	Промсвязьбанк	2022,1	-4132,22	2,04352851
5	Райффайзенбанк	8344,6	47,11	0,005646078
6	Региобанк	470,7	1061,02	2,254127895
7	Ренессанс кредит	1274,7	-879,50	0,689967443
8	Россельхозбанк	2751,3	-4594,19	1,66982372
9	Русский Банк Разви-тия	621,4	881,20	1,418088832
10	Русский Стандарт	6039,3	90,43	0,014973457
11	Русфинанс Банк	1626,2	-2264,80	1,392695855
12	Русь-Банк	536,1	77,97	0,145433203
13	Сбербанк	143460,6	259,77	0,00181071
14	Ситибанк	10332,5	7513,69	0,727189451
15	Социнвестбанк	82,5	763,32	9,25232
16	УРАЛСИБ	5371	-2239,29	0,416922361
17	УРСА БАНК	3715,1	-706,34	0,190127264
18	Юниаструм Банк	392,5	-255,56	0,651115669
19	Юникредит Банк	11931,3	4649,76	0,389710677
			Σ	41,22208498

 

 

Анализ  множественной нелинейной регрессии

Анализ  модели множественной регрессии  на основе степенной функции

Проведем анализ регрессии на основе нелинейных функций. Для этого используется команда  меню Анализ → Углубленные методы анализа → Нелинейное оценивание. В открывшемся меню выбираем пункт Регрессия пользователя – метод наим. квадратов МНК. В окне ввода оцениваемой функции вводим уравнение множественной регрессии на основе степенной функции.

y=a*x₇^b1*x₈^b2

Рис.23.

 

Затем задается метод оценивания и вводится максимальное число итераций.

Рис.24.

 

В окне результатов  процедуры оценивания получены следующие  значения параметров регрессии:

– коэффициент  детерминации модели R² = 0,994

– множественный  коэффициент корреляции R = 0,997.

 

Рис. 25.

Согласно таблице  полученных оценок параметров модели (рис.26) получено регрессионное уравнение:

y=0,03 *x₇^0,78*x₈^0,2875

Среди полученных коэффициентов лишь b₁ является статистически значимыми, т.к. наблюдаемые значения t-критерия для этого коэффициента выше табличного для соответствующего числа степеней свободы.

 

Рис. 26. Оценки параметров модели множественной регрессии

Предсказанные значения результативной переменной, а также значения остатков для  определения средней ошибки аппроксимации (рис. 27) получены нажатием кнопки Наблюдаемые, предсказанные и остатки во вкладке Остатки окна результатов процедуры оценивания.

Рис. 27. Таблица  предсказанных значений и остатков

Оценка ошибки аппроксимации рассчитана в Excel (табл. 7), основываясь на данных предсказанных значений результативного признака, а также значений остатков полученных с использованием STATISTICA. Для данной регрессионной модели получено значение средней ошибки аппроксимации:

Таблица 7

Расчет средней  ошибки аппроксимации

№ п/п	Наименование  банка	Наблюдаемые значения	Остатки
1	Кредит Европа Банк	60,4	-1485,09	24,58759498
2	Локо-Банк	708,7	286,02	0,403587713
3	Петрокоммерц	1588,5	242,40	0,152598715
4	Промсвязьбанк	2022,1	-3167,35	1,566368348
5	Райффайзенбанк	8344,6	355,30	0,042578257
6	Региобанк	470,7	343,06	0,728819183
7	Ренессанс кредит	1274,7	-1005,94	0,789160107
8	Россельхозбанк	2751,3	-3206,99	1,165625672
9	Русский Банк Разви-тия	621,4	263,31	0,423736897
10	Русский Стандарт	6039,3	2,86	0,000474078
11	Русфинанс Банк	1626,2	-847,20	0,520970403
12	Русь-Банк	536,1	-259,19	0,483475127
13	Сбербанк	143460,6	2,46	1,71182E-05
14	Ситибанк	10332,5	7460,90	0,722081223
15	Социнвестбанк	82,5	21,64	0,26231225
16	УРАЛСИБ	5371	-1791,64	0,333575831
17	УРСА БАНК	3715,1	-841,61	0,226537233
18	Юниаструм Банк	392,5	-755,34	1,924435804
19	Юникредит Банк	11931,3	5050,47	0,423295883
			Σ	34,75724482