Индексный метод в изучении производственных показателей (на примере основных производственных фондов)

 

Расчет общей дисперсии по формуле:

.

Общая дисперсия может быть также  рассчитана по формуле:

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

 – квадрат средней величины  значений результативного признака.

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле:

,

где – групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится  вспомогательная таблица 9. При этом используются групповые средние значения из табл. 7 (графа 5).

Таблица 9

Вспомогательная таблица для расчета  межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по фондовооруженности, млн руб.	Число предприятий,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
290,6 – 315,6	1	40,00	-42,00	1764,00
315,6 – 340,6	1	48,81	-33,19	1101,58
340,6 – 365,6	9	64,04	-17,96	2903,05
365,6 – 390,6	9	82,68	0,68	4,16
390,6 – 415,6	6	97,06	15,06	1360,82
415,6 – 440,6	4	117,09	35,09	4925,23
Итого	30			12063,85

 

Расчет межгрупповой дисперсии :

.

Расчет эмпирического коэффициента детерминации :

 или 87,01%.

Вывод. 87,01% вариации среднегодовой стоимости ОПФ предприятий обусловлено вариацией фондовооруженности, а 12,99% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

.

Значение показателя изменяются в  пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 10):

Таблица 10

Шкала Чэддока

	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

 

Расчет эмпирического корреляционного  отношения :

 

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь  между фондовооруженностью и среднегодовой стоимостью ОПФ предприятий является весьма тесной.

 

3. Оценка статистической значимости  коэффициента детерминации  .

Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействие какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей  на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле:

,

где n – число единиц выборочной совокупности,

m – количество групп,

 – межгрупповая дисперсия,

 – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

 – средняя арифметическая  групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

где – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости α и параметров k₁, k₂, зависящих от величин n и m : k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений α, k₁, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия для различных комбинаций значений α, k₁, k₂. Уровень значимости α в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F_расч>F_табл, коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков, сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F_расч<F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических  величин F-критерия для значений α=0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже:

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48

 

Расчет  дисперсионного F-критерия Фишера для оценки = 87,01%, полученной при = 462,148, = 402,128:

F_{расч .}

Табличное значение F-критерия при α = 0,05:

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл (α, 5,24)
30	6	5	24	2,62

 

Вывод: поскольку  F_расч>F_табл, то величина коэффициента детерминации = 87,01% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками фондовооруженность и среднегодовая стоимость ОПФ предприятий правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности предприятий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3.

По результатам  выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

1. Ошибку  выборки средней величины фондовооруженности  труда работников и границы,  в которых будет находиться  средняя величина фондовооруженности  труда для генеральной совокупности  предприятий.

2. Ошибку  выборки доли предприятий с  фондовооруженностью труда работников 380,6 тыс. руб./чел. и более, а  также границы, в которых будет  находиться генеральная доля.

Решение:

1. Определим  ошибку выборки средней величины  фондовооруженности труда работников  и границы, в которых будет  находиться средняя величина  фондовооруженности труда для  генеральной совокупности предприятий.

Применение  выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени  достоверности оценок показателей  генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и  адекватно представлены в выборке  статистические свойства  генеральной  совокупности. Как правило, генеральные  и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения  признаков единиц, отобранных из генеральной  совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять  два вида ошибок – среднюю и предельную .

Средняя ошибка выборки -–это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[ ].

Величина  средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа  отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной  и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле:

,

где – общая дисперсия выборочных значений признаков,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная  ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

,

где – выборочная средняя,

 – генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических  исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р = 0,954, Р = 0,997, реже Р = 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой .

Значения  t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 11):

Таблица 11

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

 

По условию  задания выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 10% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 300 предприятий. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 12: